（浙江专版）2020年高考数学一轮复习 正弦定理和余弦定理 11页

1 第 06 节 正弦定理和余弦定理 【考纲解读】 考 点 考纲内容 5 年统计 分析预测 正弦定理和 余弦定理 掌握正弦定理、余 弦定理及其应用 2014 浙江文 18；理 10， 18； 2015 浙江文 16；理 16； 2016 浙江文 16；理 16； 2017 浙江 14； 2018 浙江 13. 1.正弦定理或余弦定理独立命题； 2.正弦定理与余弦定理综合命题； 3.与三角函数的变换结合命题； 4.考查较为灵活，题型多变，选择题、填 空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦 定理，解答题往往综合考查定理在确定三 角形边角中的应用，多与三角形周长、面 积有关；有时也会与平面向量、三角恒等 变换、立体几何等结合考查. 5.备考重点： (1) 掌握正弦定理、余弦定理； (2) 掌握几种常见题型的解法. 【知识清单】 1.正弦定理 正弦定理： asin A＝ bsin B＝ csin C＝2R，其中 R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变 形为： a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； sin A＝ a2R，sin B＝ b2R，sin C＝ c2R等形式，以解决不同的三角形问题． 面积公式 S＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B 2. 余弦定理 余 弦 定 理 ： ， ， . 变形公式 cos A＝b2＋c2－a22bc ，cos B＝a2＋c2－b22ac ，os C＝a2＋b2－c22ab 3. 正弦定理与余弦定理的综合运用 2 应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应 注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理． 【重点难点突破】 考点 1 正弦定理 【1-1】【2018 届河南省新乡市第一中学】在 中，内角 的对边分别为 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ,故选 A. 【1-2】【2018 届浙江省嘉兴市高三上期末】在锐角 中，内角 所对的边分别是 ，若 ，则 的取值范围是________． 3 【答案】 【1-3】在 中，角 的对边分别为 ，若角 依次成等差数 列，且 ， ，则 . 【答案】 【解析】∵ 依次成等差数列，∴ ，由正弦定理 ， ∴ ，∴ 或 （舍去），∴ ， ∴ . 【领悟技法】 已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． 已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是 解题的难点，应引起注意． 已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知 a，b，A，则 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a＜bsin A a＝bsin A bsin A＜a ＜b a≥b a＞b a≤b 解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 4 【触类旁通】 【变式 1】【2018 届安徽合肥一中、马鞍山二中等六校第一次联考】在 中，角 的对边分别为 .已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由 得 ，由正弦定理 ，所以 ， 故选 A. 【变式 2】【2017 浙江台州上学期】已知在 中，内角 的对边分别为 且 ，则 的面积为__________． 【答案】 【解析】由题设条件 得 ，则由 可得 ， 与 联立可得， ，故 ，由正弦定理 ，则 ，所以 的面 积 ，应填答案 . 考点 2 余弦定理 【2-1】【2018 届浙江省绍兴市 3 月模拟】在 中，内角 为钝角， ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题得 ，由余弦定理得 故选 A. 【2-2】【2018 年浙江卷】在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 a= ，b=2， A=60°，则 sin B=___________，c=___________． 5 【答案】 (1). (2). 3 【解析】分析:根据正弦定理得 sinB,根据余弦定理解出 c. 详解：由正弦定理得 ,所以 由余弦定理得 （负值舍去）. 【2-3】在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ，若 ， ， ，则 _______， 的面积 _______． 【答案】 【解析】由余弦定理可得 ；由三角形的面积公式可得 ，应填答案 和 . 【领悟技法】 已知三边 ，由余弦定理求 ，再由 求角 ，在有解时 只有一解. 已知两边和夹角 ，余弦定理求出对对边. 【触类旁通】 【变式 1】【2018 届广东茂名五大联盟 9 月】 的内角 的对边分别是 ，已知 ， ， ，则 等于( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】由余弦定理得 ，即 ，所以 ，应选答 案 B. 【变式 2】【2018 届安徽合肥调研】在 中，角 对应的边分别为 ， ，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 6 考点 3 正弦定理与余弦定理的综合运用 【3-1】【2018 届安徽省安庆市第一中学热身考】已知锐角 的三个内角 的对边分别 为 ，若 ，则 的值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由 、倍角公式和正弦定理得 ，故 ，根据 是 锐角三角形可得 ，于是可得所求范围． 详解：∵ ， ∴ ， 由正弦定理得 ， ∴ ， ∴ ． ∵ 是锐角三角形， ∴ ，解得 ， ∴ ， ∴ ． 即 的值范围是 ． 【3-2】【2018 届广东省阳春市第一中学月考】在 中，内角 的对边分别为 ，且 ． 7 （1）求 ； （2）若 ，求 ． 【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1）由正弦定理将边化为角得 ，即得 ．再根据三角形内角范围得 ．（2）由正弦定理将角化为边得 ， 再根据余弦定理得 ，解方程组可得 ． （2）由 及正弦定理，得 ，① 由余弦定理 得， 即 ，② 由①②，解得 ． 【3-3】【2018 年天津卷理】在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 . （I）求角 B 的大小； （II）设 a=2，c=3，求 b 和 的值. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ， . 8 （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及 a=2，c=3，B= ，有 ，故 b= ． 由 ，可得 ．因为 a