2020高考数学三轮冲刺 专题 坐标与距离公式练习（含解析） 13页

坐标与距离公式 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1. 过点，斜率为k的直线，被圆截得的弦长为，则k的值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）A 解：设直线方程为，即，‎ 圆截得的弦长为，‎ 圆心到直线的距离为，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：A．‎ 设直线方程为，利用圆截得的弦长为，求出圆心到直线的距离为1，即可得出结论．‎ 本题考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，确定圆心到直线的距离为1是关键．‎ ‎2. 若两平行直线：与：之间的距离是，则 ‎ A. 0 B. ‎1 C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：由题意，解得，即直线：，‎ 所以两直线之间的距离为，解得，‎ 所以，‎ 故选C．‎ 13‎ 化简直线，利用两直线之间的距离为，求出m，即可得出结论．‎ 本题考查两条平行线间的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎3. 点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值是 ‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎（正确答案）B 解：由题意作图如下，‎ 当点P是曲线的切线中与直线平行的直线的切点时，与直线距离最近；‎ 故令解得，；‎ 故点P的坐标为；‎ 故点P到直线的最小值为；‎ 故选：B．‎ 画出函数的图象，故当点P是曲线的切线中与直线平行的直线的切点时，然后求解即可．‎ 本题考查了几何意义的运用及导数的综合应用，平行线之间距离的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．‎ ‎4. 曲线上的点到直线的最短距离为 ‎ A. B. C. D. 2‎ ‎（正确答案）A 13‎ 解：设与直线平行且与曲线相切的直线方程为．‎ 设切点为，‎ ‎，‎ 斜率，‎ 解得，因此．‎ 切点为．‎ 则点P到直线的距离．‎ 曲线上的点到直线的最短距离是．‎ 故选：A．‎ 设与直线平行且与曲线相切的直线方程为设切点为，利用导数的几何意义求得切点P，再利用点到直线的距离公式即可得出．‎ 本题考查了导数的几何意义和两条平行线之间的距离、点到直线的距离公式，属于中档题．‎ ‎5. 在平面直角坐标系中，记d为点到直线的距离当、m变化时，d的最大值为 ‎ A. 1 B. ‎2 C. 3 D. 4‎ ‎（正确答案）C 解：由题意，，‎ 当时，‎ ‎．‎ 的最大值为3．‎ 故选：C．‎ 13‎ 由题意，当时，由此能求出d的最大值．‎ 本题考查点到直线的距离的最大值的求法，考查点到直线的距离公式、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎6. 圆的圆心到直线的距离为 ‎ A. 1 B. ‎2 C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：圆的圆心为，‎ 圆的圆心到直线的距离为：‎ ‎．‎ 故选：C．‎ 先求出圆的圆心，再利用点到到直线的距离公式求解．‎ 本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用．‎ ‎7. 已知M为曲线C：为参数上的动点设O为原点，则的最大值是 ‎ A. 1 B. ‎2 C. 3 D. 4‎ ‎（正确答案）D 解：曲线C：为参数 ‎ 转化为：，‎ 则：圆心到原点的距离为3，‎ 故点M到原点的最大值为：．‎ 故选：D．‎ 直接把圆的参数方程转化为直角坐标方程，进一步利用两点间的距离公式求出结果．‎ 本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程的转化，两点间的距离公式的应用．‎ 13‎ ‎8. 理科已知两点，，若点P是圆上的动点，则面积的最小值为 ‎ A. 6 B. C. 8 D. ‎ ‎（正确答案）B 解：求面积的最小值，即求P到直线AB的最小值，即为圆心到直线AB的距离减去半径．‎ 直线AB的方程为，即，圆，即，圆心为，半径为1 ‎ 圆心到直线AB的距离为，到直线AB的最小值为 ‎ ‎，‎ 面积的最小值为 ‎ 故选B．‎ 求面积的最小值，即求P到直线AB的最小值，即为圆心到直线AB的距离减去半径利用三角形的面积公式可得结论．‎ 本题考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎9. 设两条直线的方程分别为和 ，已知a、b是关于x的方程的两个实根，且，则这两条直线间距离的最大值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）B 解：因为a，b是方程的两个实根，‎ 所以，，两条直线之间的距离，‎ 所以，‎ 13‎ 因为，‎ 所以，‎ 即，所以两条直线之间的距离的最大值是．‎ 故选：B．‎ 利用方程的根，求出a，b，c的关系，求出平行线之间的距离表达式，然后求解距离的最值．‎ 本题考查平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查计算能力．‎ ‎10. 已知F是抛物线的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到该抛物线准线的距离为 ‎ A. B. C. 4 D. 5‎ ‎（正确答案）B 解：是抛物线的焦点 准线方程，‎ 设 ‎ ‎ ‎ 解得，‎ 线段AB的中点横坐标为 ‎ 线段AB的中点到该抛物线准线的距离为．‎ 故选B．‎ 根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到该抛物线准线的距离．‎ 本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．‎ 13‎ ‎11. 在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：与点，若直线l上存在点M满足为坐标原点，则实数a的取值范围是 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎（正确答案）D 解：设，‎ 直线l：，点，直线l上存在点M，满足，‎ ‎，‎ 整理，得，‎ 直线l上存在点M，满足，‎ 方程有解，‎ ‎，‎ 解得：，‎ 故选：D．‎ 设，由已知条件利用两点间距离公式得，由此利用根的判别式能求出实数a的取值范围．‎ 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式和一元二次方程式根的判别式的合理运用．‎ ‎12. 设m，，则的最小值为 ‎ A. 3 B. ‎4 C. 9 D. 16‎ ‎（正确答案）C 解：令点，． ‎ 点P在直线上，点Q的轨迹为单位圆：．‎ 因此的最小值为：单位圆上的点到直线的距离的平方，‎ 13‎ 故其最小值．‎ 故选：C．‎ 令点，点P在直线上，点Q的轨迹为单位圆：因此的最小值为：单位圆上的点到直线的距离的平方，即可得出．‎ 本题考查了直线与圆的方程、点到直线的距离公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13. 已知实数x，y满足的最小值为______．‎ ‎（正确答案）‎ ‎【分析】‎ 由题意得，所求的最小值就是原点到直线的距离本题考查的意义，以及点到直线的距离公式的应用，其中明确表示直线上的点与原点的距离，是解决问题的关键，属中档题．‎ ‎【解答】‎ 解： 表示直线上的点与原点的距离，其最小值就是原点到直线 的距离，‎ 故答案为．‎ ‎14. 已知，若点为直线：和：的交点，和分别过定点A和B，则的最大值为______ ．‎ ‎（正确答案）5‎ 解：动直线：过定点，‎ 动直线：化为，得，过定点．‎ 13‎ 此两条直线互相垂直，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号．‎ 故答案为：5．‎ 求出定点A，B的坐标，由于此两条直线互相垂直，可得，再利用基本不等式的性质即可得出．‎ 本题考查了直线系、相互垂直的直线位置的关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎15. 直线为参数被圆为参数所截得的弦长为______．‎ ‎（正确答案）‎ 解：由，得，‎ 由，得，‎ 两式平方作和得：．‎ 圆心坐标为，半径为5．‎ 圆心到直线的距离．‎ 直线被圆所截弦长为．‎ 故答案为：．‎ 分别化直线与圆的参数方程为普通方程，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理得答案．‎ 本题考查参数方程化普通方程，考查了直线与圆位置关系的应用，考查垂径定理的应用，是基础题．‎ 13‎ ‎16. 已知实数、、、满足：，，，则的最大值为______．‎ ‎（正确答案）1‎ 解：设，，‎ ‎，，‎ 由，，，‎ 可得A，B两点在圆上，‎ 且，‎ 即有，‎ 即三角形OAB为等边三角形，‎ ‎，‎ 的几何意义为点A，B两点 到直线的距离与之和，‎ 显然，‎ 即的最大值为1，‎ 故答案为：1．‎ 设，，，，由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，，的几何意义为点A，B两点到直线的距离与之和，由两点的距离最短可得所求最大值．‎ 本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于中档题．‎ 三、解答题（本大题共3小题，共30分）‎ 13‎ ‎17. 已知曲线：为参数，：为参数．‎ 化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ 若上的点P对应的参数为，Q为上的动点，求PQ中点M到直线：为参数距离的最小值．‎ ‎（正确答案）解：把曲线：为参数化为普通方程得：，‎ 所以此曲线表示的曲线为圆心，半径1的圆；‎ 把：为参数化为普通方程得：，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；‎ 把代入到曲线的参数方程得：，‎ 把直线：为参数化为普通方程得：，‎ 设Q的坐标为，故 所以M到直线的距离，其中，‎ 从而当，时，d取得最小值．‎ 分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线表示一个圆；曲线表示一个椭圆；‎ 把t的值代入曲线的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线的参数方程设出Q的坐标，利用中点坐标公式表示出M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．‎ 此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．‎ 13‎ ‎18. 已知抛物线上的点M到直线l的最小距离为 点N在直线l上，过点N作直线与抛物线相切，切点分别为A，B．‎ 求抛物线方程．‎ 当原点O到直线AB的距离最大时，求三角形OAB的面积．‎ ‎（正确答案）‎ ‎【小题1】‎ 设与抛物线相切，且与l：的最小距离为，则 所以或舍去，‎ 所以抛物线方程为．‎ ‎【小题2】‎ 设，，，则 过点A的切线方程为，‎ 点N在直线上，故有，‎ 同理，，‎ 故直线AB的方程为，‎ 代入整理可得，‎ 所以AB恒过，‎ 点O到直线AB距离最大，显然直线AB的方程为，‎ 代入抛物线方程，整理得，‎ 所以，，‎ 所以所以原点O到直线AB的距离最大时，三角形OAB的面积为 ‎【小题1】略 ‎【小题2】略 13‎ ‎19. 在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位，若曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为为参数，设P是曲线上任一点，Q是曲线上任一点．‎ 求与交点的极坐标；‎ 已知直线l：，点P在曲线上，求点P到l的距离的最大值．‎ ‎（正确答案）解：曲线的极坐标方程为，转化为的直角坐标方程为，‎ 曲线的参数方程为为参数，转化为的普通方程为 由，‎ 得或 又，‎ 所以与的交点极坐标为与 圆的圆心到直线l的距离为，‎ 圆半径为2‎ 所以点P到l的距离的最大值为．‎ 直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化进一步建立方程组，求出结果．‎ 直接利用点到直线的距离公式求出结果．‎ 本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，二元二次方程组的解法，点到直线的距离公式的应用．‎ 13‎