备战2020年高考数学一轮复习 第二十单元 平面解析几何综合单元B卷 理 8页

第二十单元 平面解析几何综合 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．若直线与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为( )‎ A．0 B．‎1 ‎C．2 D．0或1‎ ‎2．已知双曲线的右焦点为，若过点的直线与`双曲线的右支有且只有一个交点，‎ 则此直线斜率的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3．经过抛物线的焦点，倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则线段的长为（ ）‎ A．2 B． C． D．16 ‎ ‎4．若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，‎ 则的最大值为（ ）‎ A．2 B．‎3 ‎C．6 D．8‎ ‎5．设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于( )‎ A． B．‎2 ‎C． D．3‎ ‎6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，‎ 两点，若的最大值为5，则的值是( )‎ A．1 B． C． D．‎ ‎7．已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．过椭圆内一点，且被这点平分的弦所在直线的方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点作直线，，分别交椭圆于，两点，且斜率分别为，，若点，关于原点对称，则的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知，为抛物线上的不同两点，为抛物线的焦点，若，‎ 则直线的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．双曲线的左、右焦点分别、，为双曲线右支上的点，的内切圆与 轴相切于点，则圆心到轴的距离为（ ）‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎12．抛物线上两点、关于直线对称，且，则 等于（ ）‎ A．2 B．‎1 ‎C． D．3‎ 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分． 请把答案填在题中横线上）‎ ‎13．已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于，两点，，‎ 为的准线上一点，则的面积为 ．‎ ‎14．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为 ．‎ ‎15．已知焦点在轴上椭圆，点在椭圆上，过点作两条直线与椭圆分别交于，两点，若椭圆的右焦点恰是的重心，则直线的方程为 ．‎ 3‎ ‎16．过点作抛物线的两条切线，(，为切点)，若，则的值为 ．‎ 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的，两点．‎ ‎（1）如果直线过抛物线的焦点，求的值；‎ ‎（2）如果，证明：直线必过一定点，并求出该定点．‎ ‎18．(12分)已知圆经过椭圆的右焦点及上顶点．过椭圆外一点，作倾斜角为的直线交椭圆于，两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若右焦点在以线段为直径的圆的内部，求的取值范围．‎ 3‎ ‎19．（12分）如图所示，已知圆，定点，为圆上一动点，点在上，‎ 点在上，且满足，，点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）过点且倾斜角是的直线交曲线于两点,，求．‎ ‎20．(12分)已知直线，圆，椭圆的离心率，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过圆上任意一点作椭圆的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．‎ 3‎ ‎21．(12分)如图，椭圆长轴端点为，，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且，．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．(12分)设椭圆的焦点分别为，，点，且．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、、、四点(如图所示)，试求四边形面积的最大值和最小值．‎ 3‎ 教育单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B）‎ 第二十单元 平面解析几何综合 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．【答案】C ‎【解析】∵直线与圆没有交点，∴，∴，‎ ‎∴，∴点在椭圆内，故选C．‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】由题意知，焦点为，双曲线的两条渐近线方程为．‎ 当过点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，‎ 数形结合可知应选B．‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】设，，由题意知的方程为，由，‎ 得，，，∴‎ ‎，故选D．‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】由椭圆的方程得，，设，为椭圆上任意一点，则，当且仅当时，‎ 取得最大值6，故选C．‎ ‎5．【答案】D ‎【解析】双曲线的一条渐近线方程为，由方程组，消去，‎ 得有唯一解，所以，所以，，故选D．‎ ‎6．【答案】C ‎【解析】由椭圆的方程可知，由椭圆的定义可知，，‎ 所以，由椭圆的性质可知，过椭圆焦点的弦中通径最短，且，‎ ‎∴，，故选C．‎ ‎7．【答案】A ‎【解析】如图，‎ ‎∵点在抛物线的内部，由抛物线的定义，等于点到准线的距离，‎ 过作的垂线交抛物线于点，则点为取最小值时所求的点．当时，‎ 由得，所以点的坐标为，故选A．‎ ‎8．【答案】A ‎【解析】设直线与椭圆交于，两点，由于，两点均在椭圆上，‎ 故，，两式相减得，‎ ‎∵，，∴，∴直线的方程为，即，故选A．‎ ‎9．【答案】D ‎【解析】设点，，，∴‎ ‎，∴的值为，故选D．‎ ‎10．【答案】C ‎【解析】∵，∴，∴，设，则，设点，‎ 在抛物线准线上的射影分别为，，过作的垂线，交线段的延长线于点，‎ 则，，‎ ‎∴，∴，由对称性可得直线的斜率为，故选C．‎ ‎11．【答案】D ‎【解析】根据圆外一点到圆的切线长相等得，又，‎ ‎∴，∴．∵轴，∴轴，∴圆心到轴的距离为4．‎ 故选D．‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】∵，又，∴，‎ 由于在直线上，即，，‎ ‎∵，，∴，即，∵，，∴，．故选C．‎ 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分． 请把答案填在题中横线上）‎ ‎13．【答案】9‎ ‎【解析】设抛物线的方程为，则，∴，∴．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】由双曲线知，它的渐近线方程为，‎ ‎∵一条渐近线与直线平行，∴，则，∴双曲线方程为，‎ 则，，，∴．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】将点代人椭圆的方程可得，所以椭圆的方程为，椭圆的焦点，，，，设，，直线的斜率为，‎ 由，‎ 代人椭圆的方程可得，‎ ‎∴的中点坐标为，所求的直线方程为．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】设切线方程为，由，联立并化简得，由题意，，即，‎ 又两切线垂直，∴，∴．‎ 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）由题意知，抛物线焦点为，设，代入抛物线，‎ 消去得．‎ 设，，则，，‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎（2）设，代入抛物线，消去得，‎ 设，，则，，‎ ‎∴‎ ‎，∴．∴直线过定点．‎ ‎∴若，则直线必过一定点．‎ ‎18．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵圆经过点，，∴，，‎ ‎∴，，∴，椭圆的方程为．‎ ‎（2）由题意知直线的方程为，，‎ 由消去，整理得．‎ 由，解得，‎ ‎∵，∴．‎ 设，，则，，‎ ‎∴．‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎∵点在圆内部，∴，即，解得．‎ 又，∴，故的取值范围是．‎ ‎19．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1），，∴为的垂直平分线，∴，‎ 又，，‎ ‎∴动点的轨迹是以点，为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为，‎ 焦距，，，．∴曲线的方程为．‎ ‎（2）直线的斜率，∴直线的方程为，‎ 由，消去得．‎ 设，，则，，‎ ‎∴．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）设随圆半焦距为，圆心到的距离，则直线被圆截得弦长为，所以．由题意得，又，∴，．‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）设点，过点的椭圆的切线的方程为，联立直线与椭圆 的方程得：消去并整理得：，‎ ‎∵与椭圆相切．∴，‎ 整理得：，‎ 设满足题意的椭圆的两条切线的斜率分别为，，则，‎ ‎∵点在圆上，∴，∴．‎ ‎∴两条切线斜率之积为常数．‎ ‎21．【答案】（1）；（2）存在，．‎ ‎【解析】（1）如图建系，设椭圆方程为，则，‎ 又∵，即，‎ ‎∴．故椭圆方程为．‎ ‎（2）假设存在直线交椭圆于，两点，且恰为的垂心，‎ 则设，，∵，，故，‎ 于是设直线为，由，得，‎ ‎∵，又，‎ 得，‎ 即，‎ 由韦达定理得，‎ 解得或(舍去)，经检验符合条件．∴直线的方程为．‎ ‎22．【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为．‎ ‎【解析】（1）由题意，，∵，∴为的中点．‎ ‎∴，，所以椭圆方程为．‎ ‎（2）当直线与轴垂直时，，此时，‎ 四边形的面积．‎ 同理当与轴垂直时，也有四边形的面积．‎ 当直线，均与轴不垂直时，‎ 设，代入消去得，‎ 设，，则，‎ 所以，‎ 所以，‎ 同理，‎ 所以四边形的面积，‎ ‎，‎ 令，则，‎ ‎∵，，‎ ‎∴为上的增函数，‎ 当，即时，，∴，‎ 综上可知，．故四边形面积的最大值为，最小值为．‎