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- 2021-05-13 发布
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大题专题七《立体几何——18或19题》
.(2012年高考(新课标理))已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形, 为球的直径,且;则此棱锥的体积为 ( )
A. B. C. D.
.(2012年高考(新课标理))如图,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 ( )
A. B. C. D.
.(2012年高考(湖南理))某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是
A
图1
B
C
D
.(2012年高考(广东理))某几何体的三视图如图1所示,
它的体积为( )
A. B.
C. D.
.(2012年高考(福建理))一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是 ( )
A.球 B.三棱柱
C.正方形 D.圆柱
.(2012年高考(辽宁理))一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为______________.
.(2013年高考新课标1(理))如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为
A. B. C. D.
【答案】A
.(2013年上海市春季)若两个球的表面积之比为,则这两个球的体积之比为( )
A. B. C. D.
【答案】C
.(2013年高考新课标1(理))某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A. B. C. D.
【答案】A
.(2013年广东省数学(理)卷)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是
正视图
俯视图
侧视图
A. B. C. D.
【答案】B
.(2013年重庆数学(理)试题)某几何体的三视图如题图所示,则该几何体的体积为
A. B. C. D.
【答案】C
.(2013年高考陕西卷(理))某几何体的三视图如图所示, 则其体积为_______.
【答案】
.(2013年辽宁数学(理)试题)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.
【答案】
14.【2014年陕西卷(理05)】已知底面边长为1,侧棱长为则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( )
【答案】 D
【解析】
15.【2014年重庆卷(理07)】某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的表面积为( )
A.54 B.60 C.66 D.72
【答案】B
【解析】在长方体中构造几何体,如右图所示,
,经检验该几何体的三视图满足
题设条件。其表面积,
,故选择
16.【2014年安徽卷(理07)】一个多面体的三视图如图所示,
则该多面体的表面积为
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A
【解析】此多面体的直观图如下图所示
表面积为
17.【2014年福建卷(理02)】某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( )
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 四面体 D. 三棱柱
【答案】A
【解析】圆柱的正视图为矩形,故选:A
18.(2013年广东省数学(理)卷)设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A.若,,,则 B.若,,,则
C.若,,,则 D.若,,,则
【答案】D
19.(2013年新课标Ⅱ卷数学(理))已知为异面直线,平面,平面.直线满足,则( )
A.,且 B.,且
C.与相交,且交线垂直于 D.与相交,且交线平行于
【答案】D
20.【2014年辽宁卷(理04)】已知m,n表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是( )
A.若则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
【答案】B
【解析】A.若m∥α,n∥α,则m,n相交或平行或异面,故A错;
B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n,故B正确;
C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故C错;
D.若m∥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α或n⊥α,故D错.故选B
21.【2014年全国大纲卷(08)】正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设球的半径为R,则∵棱锥的高为4,底面边长为2,
∴R2=(4﹣R)2+()2,∴R=,∴球的表面积为4π•()2=.故选:A
22.【2014年辽宁卷(理07)】某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由三视图知:几何体是正方体切去两个圆柱,正方体的棱长为2,切去的圆柱的 底面半径为1,高为2,∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π.故选:B
23.【2014年全国新课标Ⅰ(理12)】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为
. . .6 .4
【答案】:C
【解析】:如图所示,原几何体为三棱锥,
其中,,故最长的棱的长度为,选C
24.【2014年全国新课标Ⅱ(理06)】如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】
25.【2014年湖北卷(理05)】在如图所示的空间直角坐标系中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为
A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和②
【答案】D
【解析】 在坐标系中标出已知的四个点,根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④ 与俯视图为②,故选D.
26.【2014年江西卷(理05)】一几何体的直观图如右图,下列给出的四个俯视图中正确的是
【答案】B
【解析】俯视图为在底面上的投影,易知选:B
27.【2014年浙江卷(理03)】某几何体的三视图(单位:)如图所示,则此几何体的表面积是
A.90 B.129 C.132 D.138
【答案】D
【解析】由三视图知:几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体,其中直三棱柱的侧棱长为3,
底面是直角边长分别为3、4的直角三角形,四棱柱的高为6,底面为矩形,矩形的两相邻边长为3和4,
∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+(4+5)×3=48+18+9+24+12+27=138(cm2).
28.【2014年天津卷(理10)】一个几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积为_________.
【答案】
【解析】由三视图可得,该几何体为圆柱与圆锥的组合体,其体积V=π×12×4+π×22×2=.
大题专题七《立体几何——18或19题》
1.(2012年高考(天津理))如图,在四棱锥中,丄平面,丄,丄,,,.
(Ⅰ)证明丄;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
(Ⅲ)设E为棱上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为,求AE的长.
2.(2012年高考(新课标理))如图,直三棱柱中,,是棱的中点,
(1)证明:
(2)求二面角的大小.
3.(2012年高考(浙江理))如图,在四棱锥P—ABCD中,底面是边长为的菱形,且∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=,M,N分别为PB,PD的中点.
(Ⅰ)证明:MN∥平面ABCD;
(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值.
4.(2012年高考(山东理))在如图所示的几何体中,四边形是等腰梯形,∥,平面.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
5.(2012年高考(辽宁理)如图,直三棱柱,,
点M,N分别为和的中点.
(Ⅰ)证明:∥平面;
(Ⅱ)若二面角为直二面角,求的值.
6.(2012高考(江苏))如图,在直三棱柱中,,分别是棱上的点(点 不同于点),且为的中点.
求证:(1)平面平面;
(2)直线平面.
A
B
C
D
P
E
图5
7.(2012年高考(湖南理)) 如图5,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.
(Ⅰ)证明:CD⊥平面PAE;
(Ⅱ)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积.
8.(2012年高考(广东理))在四棱锥中,底面为矩形,平面,点在线段上,平面.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)若,,求二面角的正切值.
9.(2012年高考(福建理))如图,在长方体中为中点.
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)在棱上是否存在一点,使得平面?若存在,求的长;若不存在,说明理由.
(Ⅲ)若二面角的大小为,求的长.
10.(2012年高考(北京理))如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,
且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.
(1)求证:A1C⊥平面BCDE;
(2)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;
(3)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?.
11.(2013年辽宁数学(理)试题)如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.
(I)求证:
(II)
12.(2013年江苏卷(数学))如图,在三棱锥中,平面平面,,,过作,垂足为,点分别是棱的中点.
求证:(1)平面平面; (2).
13.(2013年广东省数学(理)卷)如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.
(Ⅰ) 证明:平面; (Ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值.
.
C
O
B
D
E
A
C
D
O
B
E
图1
图2
.(2013年高考新课标1(理))如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(Ⅰ)证明AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.
.(2013年高考陕西卷(理))如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, .
(Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D;
(Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小.
.(2013年高考北京卷(理))如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;
(Ⅲ)证明:在线段BC1存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.
17.【2014年陕西卷(理17)】 四面体及其三视图如图所示,过棱的中点作平行于,的平面分别交四面体的棱于点.
(I)证明:四边形是矩形;
(II)求直线与平面夹角的正弦值.
18.【2014年福建卷(理07)】在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD,将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.
(1)求证:AB⊥CD;
(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.
19.【2014年辽宁卷(理19)】 如图,和所在平面互相垂直,且,,E、F分别为AC、DC的中点.
(1)求证:;
(2)求二面角的正弦值.
20.【2014年山东卷(理17)】 如图,在四棱柱中,底面是等腰梯形,,是线段的中点.
(I)求证:;
(II)若垂直于平面且,求平面和平面所成的角(锐角)的余弦值.
21.【2014年天津卷(理17)】如图,在四棱锥中,底面,,,,,点为棱的中点.
⑴证明:;
⑵求直线与平面所成角的正弦值;
⑶若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值.
22.【2014年全国新课标Ⅰ(理19)】 如图三棱柱中,侧面为菱形,.
(Ⅰ) 证明:;
(Ⅱ)若,,AB=BC
求二面角的余弦值.
23.【2014年全国新课标Ⅱ(理18)】 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(Ⅰ)证明:PB∥平面AEC;
(Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.
24.【2014年江苏卷(理16)】如图,在三棱锥PABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点。已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.
求证:(1)直线PA∥平面DEF;
(2)平面BDE⊥平面ABC.
1. 方法一:(1)以为正半轴方向,建立空间直角左边系
则
方法二:(1)证明,由平面,可得,又由,故平面,又平面,所以.
2. 【解析】(1)在中,
得:
同理:
得:面
(2)面
取的中点,过点作于点,连接
,面面面
得:点与点重合
且是二面角的平面角
设,则,
既二面角的大小为
3. 【解析】(Ⅰ)连接BD.
∵M,N分别为PB,PD的中点, ∴在PBD中,MN∥BD.
又MN平面ABCD, ∴MN∥平面ABCD;
4. 解析:(Ⅰ)在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=60°,CB=CD,
由余弦定理可知,
即,在中,∠DAB=60°,,则为直角三角形,且.又AE⊥BD,平面AED,平面AED,且,故BD⊥平面AED;
5. 【解析】 (1)证明:取中点P,连结MP,NP,而M,N分别是A与的中点,所以, MP∥A,PN∥,所以,MP∥平面AC,PN∥平面AC,又,因此平面MPN∥平面AC,而MN平面MPN,所以,MN∥平面AC,
6. 【答案】证明:(1)∵是直三棱柱,∴平面.
又∵平面,∴.
又∵平面,∴平面.
又∵平面,∴平面平面.
(2)∵,为的中点,∴.
又∵平面,且平面,∴.
又∵平面,,∴平面.
由(1)知,平面,∴∥.
又∵平面平面,∴直线平面
7. 【解析】
解法1(Ⅰ如图(1)),连接AC,由AB=4,,
E是CD的中点,所以
所以
A
B
C
D
P
E
图 ②
x
y
z
3
4
5
h
而内的两条相交直线,所以CD⊥平面PAE.
解法2:如图(2),以A为坐标原点,所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为:
(Ⅰ)易知因为所以而是平面
内的两条相交直线,所以
8. 解析:(Ⅰ)因为平面,平面,所以.又因为平面,平面,所以.而,平面,平面,所以平面.
9. 解:(1)以点A为原点建立空间直角坐标系,设,则
,故
10. 解:(1), 平面,
又平面,
又, 平面
11.【解析】(1)
12.【答案】证明:(1)∵,∴F分别是SB的中点
∵E.F分别是SA.SB的中点 ∴EF∥AB
又∵EF平面ABC, AB平面ABC ∴EF∥平面ABC
同理:FG∥平面ABC
又∵EFFG=F, EF.FG平面ABC∴平面平面
(2)∵平面平面
平面平面=BC
AF平面SAB
AF⊥SB
∴AF⊥平面SBC 又∵BC平面SBC ∴AF⊥BC
又∵, ABAF=A, AB.AF平面SAB ∴BC⊥平面SAB又∵SA平面SAB∴BC⊥SA
13.【答案】(Ⅰ) 在图1中,易得
C
D
O
B
E
H
连结,在中,由余弦定理可得
由翻折不变性可知,
所以,所以,
同理可证, 又,所以平面.
14.【答案】(Ⅰ)取AB中点E,连结CE,,,
∵AB=,=,∴是正三角形,
∴⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵=E,∴AB⊥面,
∴AB⊥;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,⊥AB,
又∵面ABC⊥面,面ABC∩面=AB,∴EC⊥面,∴EC⊥,
∴EA,EC,两两相互垂直,以E为坐标原点,的方向为轴正方向,||为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系,
有题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则=(1,0,),==(-1,0,),=(0,-,),
设=是平面的法向量,
则,即,可取=(,1,-1),
∴=,
∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为
15.【答案】解:(Ⅰ) ;
又因为,在正方形AB CD中,
.
在正方形AB CD中,AO = 1 .
.
.
16.【答案】解: (I)因为AA1C1C为正方形,所以AA1 ⊥AC.
因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC.
17. 解:(I)由该四面体的三视图可知,
BDDC, BDAD , ADDC,
BD=DC=2,AD = 1.
由题设,BC//平面EFGH,
平面EFGH平面BDC=FG, 平面EFGH平面ABC=EH,
BC// FG, BC//EH, FG//EH.
同理EF//AD,HG//AD, EF//HG,
四边形EFGH是平行四边形。
又 ADDC , ADBD, AD平面BDC,
ADBC, EFFG,
四边形EFGH是矩形.
18.(1)证明:∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊂平面ABD,AB⊥BD,
∴AB⊥平面BCD,又CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD.
19.(Ⅰ)证明:
(方法一)过E作EO⊥BC,垂足为O,连OF,
由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC,所以∠EOC=∠FOC=,即FO⊥BC,
又EO⊥BC,因此BC⊥面EFO,
又EF面EFO,所以EF⊥BC.
(方法二)由题意,以B为坐标原点,在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
易得B(0,0,0),A(0,-1,),D(,-1,0),C(0,2,0),因而,所以,因此,从而,所以.
20. 解:(Ⅰ)连接
为四棱柱,
又为的中点,
,
,
为平行四边形
又
21. 解:方法一:依题意,以点A为原点建立空间直角坐标系(如图所示),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).C由E为棱PC的中点,得E(1,1,1).
(1)证明:向量BE=(0,1,1),DC=(2,0,0),
故BE·DC=0,
所以BE⊥DC.
(2)向量BD=(-1,2,0),PB=(1,0,-2).
设n=(x,y,z)为平面PBD的法向量,
则即
不妨令y=1,可得n=(2,1,1)为平面PBD的一个法向量.于是有
cos〈n,BE〉===,
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
方法二:(1)证明:如图所示,取PD中点M,连接EM,AM.由于E,M分别为PC,PD的中点,故EM∥DC,且EM=DC.又由已知,可得EM∥AB且EM=AB,故四边形ABEM为平行四边形,所以BE∥AM.
因为PA⊥底面ABCD,故PA⊥CD,而CD⊥DA,从而CD⊥平面PAD.因为AM⊂平面PAD,所以CD⊥AM.又BE∥AM,所以BE⊥CD.
22. 【解析】:(Ⅰ)连结,交于O,连结AO.因为侧面为菱形,所以^,且O为与的中点.又,所以平面,故=又 ,故 ………6分
(Ⅱ)因为且O为的中点,所以AO=CO= 又因为AB=BC=,所以
故OA⊥OB^,从而OA,OB,两两互相垂直.
以O为坐标原点,OB的方向为x轴正方向,OB为单位长,建立如图所示空间直角坐标系O-. 因为,所以为等边三角形.又AB=BC=,则
,,,
,
设是平面的法向量,则
,即 所以可取
设是平面的法向量,则,同理可取
则,所以二面角的余弦值为.
23. 证:(1)连结BD交AC于点O,连结EO
因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点
又E为的PD的中点,所以EOPB
EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC
24.【解析】(1)∵D,E,分别为PC,AC的中点
∴DE∥PA
又∵DE 平面PAC,PA 平面PAC
∴直线PA∥平面DEF
(2)∵E,F分别为棱AC,AB的中点,且BC=8,由中位线知EF=4
∵D,E,分别为PC,AC,的中点,且PA=6,由中位线知DE=3,又∵DF=5
∴DF²=EF²+DE²=25,∴DE⊥EF,又∵DE∥PA,∴PA⊥EF,又∵PA⊥AC,又∵AC EF=E,
AC 平面ABC,EF 平面ABC,∴PA⊥平面ABC,∴DE⊥平面ABC,∵DE 平面BDE,
∴平面BDE⊥平面ABC
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