备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题46 直线与圆、圆与圆的位置关系 14页

专题46 直线与圆、圆与圆的位置关系 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 高考对圆的方程的考查，一般是以小题的形式出现，也有与向量、圆锥曲线等相结合的问题．纵观近几年的高考试题，主要考查以下几个方面：一是考查圆的方程，要求利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决相关问题；二是考查直线与圆的位置关系，高考要求能熟练地解决圆的切线问题，弦长问题是高考热点，其中利用由圆心距、半径与半弦长构成的直角三角形，是求弦长问题的关键．三是判断圆与圆的位置关系，确定公共弦所在的直线方程.近几年多与圆锥曲线问题综合考查.本专题通过例题说明关于直线与圆、圆与圆的位置关系问题的解法与技巧.‎ ‎1、定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 ‎2、圆的标准方程：设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为：‎ ‎3、圆的一般方程：圆方程为 ‎（1）的系数相同 ‎（2）方程中无项 ‎（3）对于的取值要求：‎ ‎4、直线与圆位置关系的判定：相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式：‎ ‎（1）几何性质：通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系，设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则：‎ ‎① 当时，直线与圆相交 ‎② 当时，直线与圆相切 ‎③ 当时，直线与圆相离 ‎（2）代数性质：可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系，即联立直线与圆的方程，再判断解的个数.设直线：，圆：，则：‎ 消去可得关于的一元二次方程，考虑其判别式的符号 ‎① ，方程组有两组解，所以直线与圆相交 ‎② ，方程组有一组解，所以直线与圆相切 14‎ ‎③ ，方程组无解，所以直线与圆相离 ‎ ‎5、直线与圆相交：‎ 弦长计算公式：‎ ‎6、直线与圆相切：‎ ‎（1）如何求得切线方程：主要依据两条性质：一是切点与圆心的连线与切线垂直；二是圆心到切线的距离等于半径 ‎（2）圆上点的切线结论：‎ ‎① 圆上点处的切线方程为 ‎② 圆上点处的切线方程为 ‎（3）过圆外一点的切线方程（两条切线）：可采取上例方法二的做法，先设出直线方程，再利用圆心到切线距离等于半径求得斜率，从而得到方程.（要注意判断斜率不存在的直线是否为切线）‎ ‎7、与圆相关的最值问题 ‎（1）已知圆及圆外一定点，设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为，最大值为（即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点.‎ ‎（2）已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.‎ ‎（3）已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于 ‎ 14‎ ‎（4）已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为.‎ ‎8、圆与圆的位置关系：外离，外切，相交，内切，内含 ‎（1）可通过圆心距离与半径的关系判定：设圆的半径为，‎ ‎① 外离 ‎② 外切 ‎③ 相交 ‎④ 内切 ‎⑤ 内含 ‎（2）可通过联立圆的方程组，从而由方程组解的个数判定两圆位置关系.但只能判断交点的个数.例如方程组的解只有一组时，只能说明两圆有一个公共点，但是外切还是内切无法直接判定 ‎【经典例题】‎ 例1.【2016高考山东】已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是（ ）‎ ‎（A）内切（B）相交（C）外切（D）相离 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 14‎ 由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以，解得，圆的圆心为，半径为，所以，，，因为，所以圆与圆相交，故选B．‎ 例2.【2019届湖北省华师一附中调研】已知圆C： （）及直线： ，当直线被C截得的弦长为时，则= （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，得，解得，又因为，所以；故选C.‎ 例3.【2019届黑龙江省海林市朝鲜中学高考综合卷（一）】已知两点， （），若曲线上存在点，使得，则正实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 例4.已知直线上总存在点，使得过点作的圆： 的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是（ ）‎ A. 或 B. C. D. 或 ‎【答案】C 14‎ ‎【解析】‎ 如图，设切点分别为A，B．连接AC，BC，MC，由及知，四边形MACB为正方形，故若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心到直线的距离，即∴，故选C．‎ 例5.过点作圆的弦，其中最短的弦长为 .‎ ‎【答案】.‎ 点睛：数形结合思想的应用，是解析几何的重要特征，解题过程中要通过分析题目的条件和结论，灵活的加以转化.‎ 例6．【2016高考新课标3】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.‎ ‎【答案】4‎ 14‎ ‎【解析】因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．‎ 例7．已知圆，圆，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长． ‎ ‎【答案】,.‎ ‎【解析】将两圆方程相减得相交弦的方程为：.‎ 将配方得： ，圆心到公共弦的距离为.所以弦长为.‎ 例8. 求过点的圆的切线方程 ‎【答案】，.‎ 点睛：求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．‎ 例9. 已知点及圆：.‎ ‎①若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；‎ ‎②设过点P的直线与圆交于、两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；‎ ‎③设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】①或；②；③不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.‎ 14‎ ‎【解析】①设直线的斜率为（存在），‎ 则方程为. 即 又圆C的圆心为，半径，‎ 由 ， 解得.‎ 所以直线方程为， 即 . ‎ 当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件 ‎ ‎②由于，而弦心距， 所以.‎ 即，解得．‎ 则实数的取值范围是.‎ 设符合条件的实数存在，由于垂直平分弦，故圆心必在上．‎ 所以的斜率，而，所以．‎ 由于，故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．‎ 例10. 已知半径为2，圆心在直线上的圆C.‎ ‎（Ⅰ）当圆C经过点A（2,2）且与轴相切时，求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知E(1，1),F(1，-3),若圆C上存在点Q，使,求圆心的横坐标的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ 14‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）因为原心在直线上故可设原心为，则可根据圆心和圆上的点的距离为半径列出方程。又因为此圆与轴相切则，解方程组可得。（Ⅱ）设，根据可得，即点在直线上。又因为点在圆上，所以直线与圆必有交点。所以圆心到直线的距离小于等于半径。‎ 试题解析：解: （Ⅰ）∵圆心在直线上，‎ ‎∴可设圆的方程为，‎ ‎ 其圆心坐标为（； 2分 ‎∵圆经过点A（2,2）且与轴相切，‎ ‎∴有 解得，‎ 所以圆的横坐标的取值范围是 ‎【精选精练】‎ ‎1.已知条件：，条件：直线与圆相切，则是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】由，可得直线为.所以圆心（0,0）到该直线的距离等于半径，所以直线与圆相切.所充分性成立.当直线与圆 14‎ 相切，可解得.所以必要性成立.综上是的充要条件.‎ ‎2.已知圆与直线有两个交点，则正实数的值可以为（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】圆化为标准方程即，由题意，圆心到直线的距离，结合选项，可得D正确，故选D.‎ ‎3.已知圆，当圆的面积最小时，直线与圆相切，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎4.若直线与圆相切，且为锐角，则这条直线的斜率是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意：，所以，‎ 因为且为锐角，所以，‎ 所以直线的斜率是，故选A．‎ 14‎ ‎5.已知圆与直线相切于第三象限，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知有圆心 到直线的距离为1,所以有 ,当 时,圆心为 在第一象限,这时切点在第一象限,不符合;当时, 圆心为 在第三象限,这时切点也在第三象限,符合,所以.选B.‎ ‎6.【2019届安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等十校联考】设直线与圆交于两点，过分别作轴的垂线与轴交于两点.若线段的长度为，则（ ）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎7.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.‎ ‎8.已知点， ， 在圆上运动，且.若点的坐标为，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 14‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知AC是圆的直径，所以O是AC中点，故，PO的长为5，所以,显然当B在PO上时， 有最小值，当B在PO的延长线上时， 有最大值，故选C．‎ ‎9.过定点的直线： 与圆： 相切于点，则_ _．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】直线： 过定点， 的圆心，半径为：3；定点与圆心的距离为： ．过定点的直线： 与圆： 相切于点，则．‎ ‎10.【2019届江苏省泰州中学月考】知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎11. 已知圆关于直线对称的圆为.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）过点作直线与圆交于两点， 是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形中？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）存在直线和 ‎【解析】‎ 14‎ 试题分析：（1）将圆的一般方程转化为标准方程，将圆关于直线对称问题转化为点关于直线对称问题，进而求出圆的方程；（2）先由条件判定四边形为矩形，将问题转化为判定两直线垂直，利用平面向量是数量积为0进行求解.‎ 解得： ，‎ 所以圆的方程为.‎ ‎（2）由，所以四边形为矩形，所以.‎ 要使，必须使，即： .‎ ‎①当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为，与圆 交于两点， .‎ 因为，所以，所以当直线的斜率不存在时，直线满足条件.‎ ‎②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为.‎ 设 由得： .由于点在圆内部，所以恒成立，‎ 14‎ ‎，‎ ‎， ，‎ 要使，必须使，即，‎ 也就是： ‎ 整理得： ‎ 解得： ，所以直线的方程为 存在直线和，它们与圆交两点，且四边形对角线相等.‎ ‎12. 已知定点，圆C： ，‎ ‎（1）过点向圆C引切线l，求切线l的方程；‎ ‎（2）过点A作直线 交圆C于P,Q，且，求直线的斜率k； ‎ ‎（3）定点M,N在直线 上，对于圆C上任意一点R都满足，试求M,N两点的坐标.‎ ‎【答案】（1）x＝2或（2）（3）．‎ ‎【解析】解：(1)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝2符合题意； ‎ 14‎ ‎②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－2)．‎ 即kx－y－2k＝0.‎ 若直线l与圆C相切，则有，解得k＝，‎ ‎∴直线l： ‎ 故直线l的方程为x＝2或 ‎ ‎（2）设，由 知点P是AQ的中点，所以点Q的坐标为 .‎ 又 得 ， ⑤‎ 由④、⑤得 ，⑥‎ 由于关于 的方程⑥有无数组解，所以， ‎ 解得 ‎ 所以满足条件的定点有两组 ‎ 14‎