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- 2021-05-13 发布
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第一部分 专题一 第二讲 向量运算与复数运算、算法、推理与证明
A组
1.(2017·全国卷Ⅱ,1)=( D )
A.1+2i B.1-2i
C.2+i D.2-i
[解析] ===2-i.
故选D.
2.(文)已知i为虚数单位,则复数=( C )
A.2+i B.2-i
C.-1-2i D.-1+2i
[解析] ==-1-2i,故选C.
(理)若(1+2ai)i=1-bi,其中a、b∈R,则|a+bi|=( C )
A.+i B.
C. D.
[解析] ∵(1+2ai)i=-2a+i=1-bi,
∴a=-,b=-1,
∴|a+bi|=|--i |==.
3.(2018·济南二模)已知数列{an},观察如图所示的程序框图,若输入a1=1,d=2,k=7,则输出的结果为( C )
10
A. B.
C. D.
[解析] 由题中程序框图知,输出S=+++…+=×(1-+-+…+-)=.
4.设向量a,b满足|a+b|=,a·b=4,则|a-b|=( C )
A. B.2
C.2 D.
[解析] 向量的数量积.∵|a+b|=,a·b=4,
∴|a+b|2-|a-b|2=4a·b=16,∴|a-b|=2,故选C.
5.设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|=( B )
A. B.
C.2 D.10
[解析] ∵a⊥b,∴a·b=0,∴x-2=0,∴x=2,
∴a+b=(3,-1),|a+b|=.
6.(2018·大连一模)某种树的分枝生长规律如图所示,第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5,则预计第10年树的分枝数为( D )
A.21 B.34
C.52 D.55
[解析]
10
由题意可得,这种树从第一年的分枝数分别是1,1,2,3,5,…则2=1+1,3=1+2,5=2+3,即从第三项起,每一项都等于前两项的和,所以第10年树的分枝数是21+34=55.故选D.
7.下面框图所给的程序运行结果为S=28,那么判断框中应填入的关于k的条件是( D )
A.k=8? B.k≤7?
C.k<7? D.k>7?
[解析] 开始→k=10,S=1,满足条件→S=1+10=11,k=10-1=9,满足条件→S=11+9=20,k=9-1=8,满足条件→S=20+8=28,k=8-1=7.由于输出S的值为28,故k=7不再满足条件,故选D.
8.设D,E,F分别为△ABC的三边BC、CA、AB的中点,则+=( A )
A. B. C. D.
[解析] 如图,
+
=-(+)-(+)
=-(+)=(+)=.
选A.
9.对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是( B )
A.|a·b|≤|a||b|
B.|a-b|≤||a|-|b||
C.(a+b)2=|a+b|2
D.(a+b)·(a-b)=a2-b2
[解析] 由|a·b|=||a|·|b|·cosθ|,
因为-1≤cosθ≤1,所以|a·b|≤|a||b|恒成立;
由向量减法的几何意义结合三角形的三边关系可得|a-b|≥||a|-|b||,故B选项不成立;
10
根据向量数量积的运算律C,D选项恒成立.
10.36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为36=22×32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2×3+2×32)+(22+22×3+22×32)=(1+2+22)(1+3+32)=91,参照上述方法,可求得200的所有正约数之和为( C )
A.201 B.411 C.465 D.565
[解析] 200的所有正约数之和可按如下方法得到:因为200=23×52,所以200的所有正约数之和为(1+2+22+23)·(1+5+52)=465,所以200的所有正约数之和为465.
11.设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=-1.
[解析] (1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,所以a+1=0,a=-1.
12.已知a=(1,2),b=(-2,m),若a∥b,则|2a+3b|等于4.
[解析] 由a∥b⇒m+4=0,解得m=-4,故2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8),因此|2a+3b|==4.
13.已知△ABC的面积为2,且B=,则·=4.
[解析] 设△ABC的三角A,B,C的对边分别为a,b,c,
则S=acsinB=ac=2,即ac=8,
·=||||·cos(π-B)=cacos=8×=4.
14.执行下边的程序框图,若输入的x的值为1,则输出的y的值为13.
[解析] 第一次执行程序,满足条件x<2,x=1+1=2;第二次执行程序,不满足条件x<2,y=3×22+1=13,输出y=13,结束.答案为13.
15.(2018·聊城一模)观察等式:f()+f()=1;f()+f()+f()=;f()+f()+f()+f()=2;f()+f()+f()+f()+f()=;
…
由以上几个等式的规律可猜想f()+f()+f()+…+f()=
10
1_009.
[解析] 从所给四个等式看:等式右边依次为1,,2,,将其变为,,,,可以得到右边是一个分数,分母为2,分子与左边最后一项中自变量的分子相同,所以f()+f()+f()+…+f()==1 009.
B组
1.设复数z1=1+i,z2=2+bi,若为实数,则实数b等于( D )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
[解析] ==
=,
若其为实数,则有=0,解得b=2.
2.(文)(2018·石景山检测)已知复数z=(a2-1)+(a+1)i,若z是纯虚数,则实数a等于( B )
A.2 B.1
C.0 D.-1
[解析] ∵z为纯虚数,∴∴a=1.
(理)已知复数z1=1+i,z2=a+i,若z1·z2为纯虚数,则实数a的值为( B )
A.-1 B.1
C.-2 D.2
[解析] ∵z1·z2=(a-1)+(a+1)i为纯虚数,
∴,∴a=1.
3.(2017·全国卷Ⅱ,4)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则( A )
A.a⊥b B.|a|=|b|
C.a∥b D.|a|>|b|
[解析] 方法一:∵|a+b|=|a-b|,
∴|a+b|2=|a-b|2.
∴a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b.
∴a·b=0.
∴a⊥b.
故选A.
方法二:利用向量加法的平行四边形法则.
10
在▱ABCD中,设=a,=b,
由|a+b|=|a-b|知||=||,∴|AC|=|DB|
从而四边形ABCD为矩形,即AB⊥AD,故a⊥b.
故选A.
4.执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为( B )
A.1 B.2
C.3 D.4
[解析] 输入a=1,则b=1,第一次循环,a==-,k=1;第二次循环,a==-2,k=2;第三次循环,a==1,此时a=b,结束循环,输出k=2.故选B.
5.(2018·潍坊一模)若复数z=m(m-1)+(m-1)(m-2)i是纯虚数,其中m是实数,i2=-1,则等于( D )
A. B.-
C. D.-
[解析] 因为复数z=m(m-1)+(m-1)·(m-2)i是纯虚数,所以m(m-1)=0且(m-1)(m-2)≠0,所以m=0,则==-.
6.设向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|=1,则|a-tb|(t∈R)的最小值为( A )
10
A. B.
C.1 D.2
[解析] 由于|a|=|b|=|a+b|=1,于是|a+b|2=1,即a2+2a·b+b2=1,
即a·b=-.
|a-tb|2=a2-2ta·b+t2b2=(1+t2)-2ta·b=t2+t+1≥,故|a-tb|的最小值为.
7.如图所示将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n(n>1,n∈N)个点,相应的图案中总的点数记为an,则+++…+=( C )
A. B.
C. D.
[解析] 每条边有n个点,所以三条边有3n个点,三角形的3个顶点都被重复计算了一次,所以减3个顶点,即an=3n-3,那么===-,
则+++…+=(-)+(-)+(-)+…(-)=1-=.故选C.
8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=( C )
10
A.7 B.12
C.17 D.34
[解析] 由程序框图知,
第一次循环:x=2,n=2,a=2,s=0×2+2=2,k=1;
第二次循环:a=2,s=2×2+2=6,k=2;
第三次循环:a=5,s=6×2+5=17,k=3.结束循环,输出s的值为17,故选C.
9.设复数z的共轭复数为,若z=1-i(i为虚数单位),则+z2的虚部为-1.
[解析] ∵z=1-i(i为虚数单位),
∴+z2=+(1-i)2=-2i=-2i=-i,故其虚部为-1.
10.(文)(2018·厦门联考)刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试,考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况.四名学生回答如下:
甲说:“我们四人都没考好.”
乙说:“我们四人中有人考得好.”
丙说:“乙和丁至少有一人没考好.”
丁说:“我没考好.”
结果,四名学生中有两人说对了,则这四名学生中的乙,丙两人说对了.
[解析] 甲与乙的关系是对立事件,二人说话矛盾,必有一对一错,如果选丁正确,则丙也是对的,所以丁错误,可得丙正确,此时乙正确.故答案为乙,丙.
(理)(2018·湖北七市联考)观察下列等式:
1+2+3+…+n=n(n+1);
1+3+6+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2);
10
1+4+10+…+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)·(n+3);
……
可以推测,1+5+15+…+n(n+1)(n+2)(n+3)=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n∈N*).
[解析] 根据式子中的规律可知,等式右侧为n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n∈N*)
11.(2017·江苏卷,4)如图是一个算法流程图,若输入x的值为,则输出y的值是-2.
[解析] 输入x=<1,执行y=2+log2=2-4=-2,故输出y的值为-2.
12.如图所示,A、B、C是圆O上的三点,线段CO的延长线
与线段BA的延长线交于圆O外的点D,若=m+n,则m+n的取值范围是(-1,0).
[解析] 根据题意知,线段CO的延长线与线段BA的延长线的交点为D,则=t.
∵D在圆外,∴t<-1,
又D、A、B共线,∴存在λ、μ,使得=λ+μ,且λ+μ=1,又由已知,=m+n,
∴tm+tn=λ+μ,
10
∴m+n=,故m+n∈(-1,0).
10
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