2020版高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 专题对点练8 导数与函数的零点及参数范围 文 3页

专题对点练8　导数与函数的零点及参数范围 ‎1.(2018全国Ⅱ,文21)已知函数f(x)= x3-a(x2+x+1).‎ ‎(1)若a=3,求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)证明:f(x)只有一个零点.‎ ‎2.已知函数f(x)=ax+x2-xln a-b(a,b∈R,a>1),e是自然对数的底数.‎ ‎(1)当a=e, b=4时,求函数f(x)零点个数;‎ ‎(2)若b=1,求f(x)在[-1,1]上的最大值.‎ ‎3.已知函数f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-2(e为自然对数的底数,a∈R).‎ ‎(1)判断曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与曲线y=g(x)的公共点个数;‎ ‎(2)当x∈时,若函数y=f(x)-g(x)有两个零点,求a的取值范围.‎ ‎4.(2018天津,文20)设函数f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3∈R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列.‎ ‎(1)若t2=0,d=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;‎ ‎(2)若d=3,求f(x)的极值;‎ ‎(3)若曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点,求d的取值范围.‎ 3‎ 专题对点练8答案 ‎1.解 (1)当a=3时,f(x)= x3-3x2-3x-3,f'(x)=x2-6x-3.‎ 令f'(x)=0,解得x=3-2或x=3+2.‎ 当x∈(-∞,3-2)∪(3+2,+∞)时,f'(x)>0;‎ 当x∈(3-2,3+2)时,f'(x)<0.‎ 故f(x)在(-∞,3-2),(3+2,+∞)单调递增,在(3-2,3+2)单调递减.‎ ‎(2)由于x2+x+1>0,所以f(x)=0等价于‎-3a=0.‎ 设g(x)=‎-3a,则g'(x)=≥0,仅当x=0时g'(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)单调递增,故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.‎ 又f(‎3a-1)=-‎6a2+‎2a-=-6<0,f(‎3a+1)= >0,故f(x)有一个零点.‎ 综上,f(x)只有一个零点.‎ ‎2.解 (1)由题意f(x)=ex+x2-x-4,‎ ‎∴f'(x)=ex+2x-1,∴f'(0)=0,‎ 当x>0时, ex>1,∴f'(x)>0,故f(x)是(0,+∞)上的增函数;‎ 当x<0时,ex<1,∴f'(x)<0,故f(x)是(-∞,0)上的减函数.‎ f(1)=e-4<0,f(2)=e2-2>0,∴存在x1∈(1,2)是f(x)在(0,+∞)上的唯一零点;‎ f(-2)=+2>0,f(-1)= -2<0,∴存在x2∈(-2,-1)是f(x)在(-∞,0)上的唯一零点.‎ ‎∴f(x)的零点个数为2.‎ ‎(2)当b=1时,f(x)=ax+x2-xln a-1,∴f'(x)=axln a+2x-ln a=2x+(ax-1)ln a,‎ 当x>0时,由a>1,可知ax-1>0,ln a>0,∴f'(x)>0;‎ 当x<0时,由a>1,可知ax-1<0,ln a>0,∴f'(x)<0;‎ 当x=0时,f'(x)=0,∴f(x)是[-1,0]上的减函数,[0,1]上的增函数.‎ ‎∴当x∈[-1,1]时,f(x)min=f(0),f(x)max为f(-1)和f(1)中的较大者.‎ 而f(1)-f(-1)=a--2ln a,‎ 设g(x)=x--2ln x(x>0).‎ ‎∵g'(x)=1+≥0(当且仅当x=1时等号成立),‎ ‎∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,而g(1)=0,‎ ‎∴当x>1时,g(x)>0,即当a>1时,a--2ln a>0,‎ ‎∴f(1)>f(-1).‎ ‎∴f(x)max=f(1)=a+1-ln a-1=a-ln a.‎ ‎3.解 (1) f'(x)=ln x+1,所以切线斜率k=f'(1)=1.‎ 又f(1)=0,‎ 所以曲线在点(1,0)处的切线方程为y=x-1.‎ 由得x2+(1-a)x+1=0.‎ 由Δ=(1-a)2-4=a2‎-2a-3=(a+1)(a-3),可知:‎ 当Δ>0,即a<-1或a>3时,有两个公共点;‎ 当Δ=0,即a=-1或a=3时,有一个公共点;‎ 当Δ<0,即-1h(e),所以,结合函数图象可得,‎ 当31时,令g'(x)=0,解得x1=-,x2=.‎ 易得,g(x)在(-∞,x1)上单调递增,在[x1,x2]上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增.‎ g(x)的极大值g(x1)=g+6>0.‎ g(x)的极小值g(x2)=g=-+6.‎ 若g(x2)≥0,由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点,不合题意.‎ 若g(x2)<0,即(d2-1>27,也就是|d|>,此时|d|>x2,g(|d|)=|d|+6>0,且-2|d|