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- 2021-05-13 发布
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排列组合
一、选择题(本大题共12小题,共60分)
1. 安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有
A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种
(正确答案)D
【分析】
本题考查排列组合的实际应用,注意分组方法以及排列方法的区别,考查计算能力.
把工作分成3组,然后安排工作方式即可.
【解答】
解:4项工作分成3组,可得:,
安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,
可得:种.
故选D.
2. 5位同学站成一排照相,其中甲与乙必须相邻,且甲不能站在两端的排法总数是
A. 40 B. 36 C. 32 D. 24
(正确答案)B
解:分类讨论,甲站第2个位置,则乙站1,3中的一个位置,不同的排法有种;
甲站第3个位置,则乙站2,4中的一个位置,不同的排法有种;
甲站第4个位置,则乙站3,5中的一个位置,不同的排法有种,
故共有.
故选:B.
分类讨论,对甲乙优先考虑,即可得出结论.
8
本题考查计数原理的运用,考查分类讨论的数学思想,比较基础.
3. 从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为
A. 48 B. 72 C. 90 D. 96
(正确答案)D
解:根据题意,从5名学生中选出4名分别参加竞赛,
分2种情况讨论:
、选出的4人没有甲,即选出其他4人即可,有种情况,
、选出的4人有甲,由于甲不能参加生物竞赛,则甲有3种选法,
在剩余4人中任选3人,参加剩下的三科竞赛,有种选法,
则此时共有种选法,
则有种不同的参赛方案;
故选:D.
根据题意,分2种情况讨论选出参加竞赛的4人,、选出的4人没有甲,、选出的4人有甲,分别求出每一种情况下分选法数目,由分类计数原理计算可得答案.
本题考查排列、组合的实际应用,注意优先考虑特殊元素.
4. 为了迎接一年一度的元宵节,某商场大楼安装了5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定,每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同,记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁,在每个闪烁中,每秒钟有且只有一个彩灯闪亮,且相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒,如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是
A. 1190秒 B. 1195秒 C. 1200秒 D. 1205秒
(正确答案)B
解:根据题意,共有5种不同的颜色,其闪烁的顺序有个不同的闪烁,
而每个闪烁时间为5秒,闪烁的时间共秒;
每两个闪烁之间的间隔为5秒,闪烁间隔的时间秒.
那么需要的时间至少是秒.
故选:B.
根据题意,先依据排列数公式计算彩灯闪烁时间的情况数目,进而分析可得彩灯闪烁的总时间以及闪烁之间的间隔总时间,将其相加即可得答案.
8
本题考查的是排列、组合的应用,要求把排列问题包含在实际问题中,解题的关键是看清题目的实质,把实际问题转化为数学问题.
5. 用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为
A. 24 B. 48 C. 60 D. 72
(正确答案)D
解:要组成无重复数字的五位奇数,则个位只能排1,3,5中的一个数,共有3种排法,
然后还剩4个数,剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列,共有种排法.
由分步乘法计数原理得,由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有个.
故选:D.
用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数,可以看作是填5个空,要求个位是奇数,其它位置无条件限制,因此先从3个奇数中任选1个填入,其它4个数在4个位置上全排列即可.
本题考查了排列、组合及简单的计数问题,此题是有条件限制排列,解答的关键是做到合理的分布,是基础题.
6. 我们把各位数字之和等于6的三位数称为“吉祥数”,例如123就是一个“吉祥数”,则这样的“吉祥数”一共有
A. 28个 B. 21个 C. 35个 D. 56个
(正确答案)B
解:因为,,,,,,,
所以可以分为7类,
当三个位数字为1,1,4时,三位数有3个,
当三个位数字为1,2,3时,三位数有个,
当三个位数字为2,2,2时,三位数有1个,
当三个位数字为0,1,5时,三位数有4个,
当三个位数字为0,2,4时,三位数有4个,
当三个位数字为0,3,3时,三位数有2个,
当三个位数字为0,0,6时,三位数有1个,
根据分类计数原理得三位数共有.
故选B.
根据,,,,,,,所以可以分为7类,分别求出每一类的三位数,再根据分类计数原理得到答案.
本题主要考查了分类计数原理,关键是找到三个数字之和为6的数分别是什么,属于中档题.
8
7. 哈市某公司有五个不同部门,现有4名在校大学生来该公司实习,要求安排到该公司的两个部门,且每部门安排两名,则不同的安排方案种数为
A. 40 B. 60 C. 120 D. 240
(正确答案)B
解:此问题可分为两步求解,第一步将四名大学生分为两组,由于分法为2,2,考虑到重复一半,故分组方案应为种,
第二步将此两组大学生分到5个部门中的两个部门中,不同的安排方式有,
故不同的安排方案有种,
故选:B.
本题是一个计数问题,由题意可知,可分两步完成计数,先对四名大学生分组,分法有种,然后再排到5个部门的两个部门中,排列方法有,计算此两数的乘积即可得到不同的安排方案种数,再选出正确选项
本题考查排列组合及简单计数问题,解题的关键是理解事件“某公司共有5个部门,有4名大学毕业生,要安排到该公司的两个部门且每个部门安排2名,”将问题分为两步来求解.
8. 世博会期间,某班有四名学生参加了志愿工作将这四名学生分配到A、B、C三个不同的展馆服务,每个展馆至少分配一人若甲要求不到A馆,则不同的分配方案有
A. 36种 B. 30种 C. 24种 D. 20种
(正确答案)C
解:根据题意,首先分配甲,有2种方法,
再分配其余的三人:分两种情况,其中有一个人与甲在同一个场馆,有种情况,
没有人与甲在同一个场馆,则有种情况;
则若甲要求不到A馆,则不同的分配方案有种;
故选C.
根据题意中甲要求不到A馆,分析可得对甲有2种不同的分配方法,进而对剩余的三人分情况讨论,,其中有一个人与甲在同一个场馆,没有人与甲在同一个场馆,易得其情况数目,最后由分步计数原理计算可得答案.
8
本题考查排列、组合的综合运用,注意题意中“每个展馆至少分配一人”这一条件,再分配甲之后,需要对其余的三人分情况讨论.
9. 五种不同商品在货架上排成一排,其中A,B两种必须连排,而C,D两种不能连排,则不同的排法共有
A. 48种 B. 24种 C. 20种 D. 12种
(正确答案)B
解:根据题意,先将A、B看成一个“元素”,有2种不同的排法,将C、D单独排列,也有2种不同的排法,
进而分2种情况讨论:
若A、B与第5个元素只有一个在C、D之间,则有种情况,
若A、B与第5个元素都在C、D之间,有2种不同的排法,
则不同的排法共有种情况;
故选:B.
根据题意,首先分析A、B与C、D的安排情况:A,B两种必须连排,将A、B看成一个“元素”,而C,D两种不能连排,将C、D单独排列;进而根据题意分2种情况讨论A、B与第5个元素与C、D的关系,进而由分步计数原理计算可得答案.
本题考查排列、组合的应用,涉及分类讨论,注意要优先满足受到限制的元素.
10. 在2016年巴西里约奥运会期间,6名游泳队员从左至右排成一排合影留念,最左边只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法种数为
A. 216 B. 108 C. 432 D. 120
(正确答案)A
解:根据题意,最左边只能排甲或乙,则分2种情况讨论:
、最左边排甲,则先在剩余5个位置选一个安排乙,乙有5种情况,
再将剩余的4个人全排列,安排在其余4个位置,有种安排方法,
此时有种情况,
、最左边排乙,由于最右端不能排甲,则甲有4个位置可选,有4种情况,
再将剩余的4个人全排列,安排在其余4个位置,有种安排方法,
此时有种情况,
则不同的排法种数为种;
故选:A.
8
根据题意,分2种情况讨论:、最左边排甲,、最左边排乙,分别求出每一种情况的安排方法数目,由分类计数原理计算可得答案.
本题考查排列、组合的实际应用,注意要先分析特殊元素,由本题的甲、乙.
11. 用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有
A. 144个 B. 120个 C. 96个 D. 72个
(正确答案)B
解:根据题意,符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个,末位数字为0、2、4中其中1个;
分两种情况讨论:
首位数字为5时,末位数字有3种情况,在剩余的4个数中任取3个,放在剩余的3个位置上,有种情况,此时有个,
首位数字为4时,末位数字有2种情况,在剩余的4个数中任取3个,放在剩余的3个位置上,有种情况,此时有个,
共有个.
故选:B
根据题意,符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个,末位数字为0、2、4中其中1个;进而对首位数字分2种情况讨论,首位数字为5时,首位数字为4时,每种情况下分析首位、末位数字的情况,再安排剩余的三个位置,由分步计数原理可得其情况数目,进而由分类加法原理,计算可得答案.
本题考查计数原理的运用,关键是根据题意,分析出满足题意的五位数的首位、末位数字的特征,进而可得其可选的情况.
12. 将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子,每个盒子放一个小球,若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同,则不同的放法总数是
A. 40 B. 60 C. 80 D. 100
(正确答案)A
解:根据题意,有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同,
在六个盒子中任选3个,放入与其编号相同的小球,有种选法,
剩下的3个盒子的编号与放入的小球编号不相同,假设这3个盒子的编号为4、5、6,
则4号小球可以放进5、6号盒子,有2种选法,
剩下的2个小球放进剩下的2个盒子,有1种情况,
则不同的放法总数是;
故选:A.
8
根据题意,分2步进行分析:、在六个盒子中任选3个,放入与其编号相同的小球,由组合数公式可得放法数目,、假设剩下的3个盒子的编号为4、5、6,依次分析4、5、6号小球的放法数目即可;进而由分步计数原理计算可得答案.
本题考查排列、组合的综合应用,关键是编号与放入的小球编号不相同的情况数目的分析.
二、填空题(本大题共4小题,共20分)
13. 某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远学校支教,每学校至少1人,其中甲和乙必须在同一学校,甲和丙一定在不同学校,则不同的选派方案共有______ 种
(正确答案)30
解:因为甲和乙同地,甲和丙不同地,所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案,
、2、1方案:甲、乙为一组,从余下3人选出2人组成一组,然后排列,共有:种;
、1、1方案:在丁、戊中选出1人,与甲乙组成一组,然后排列,共有:种;
所以,选派方案共有种.
故答案为30.
甲和乙同地,甲和丙不同地,所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案,再根据计数原理计算结果.
本题考查了分步计数原理,关键是分步,属于中档题.
14. 现有7件互不相同的产品,其中有4件次品,3件正品,每次从中任取一件测试,直到4件次品全被测出为止,则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有______ 种
(正确答案)1080
解:第三件次品恰好在第4次被测出,说明第四次测出的是次品,而前三次有一次没有测出次品,最后一件次品可能在第五次被测出,第六次,或者第七次被测出,由此知最后一件次品被检测出可以分为三类,故所有的检测方法有
故答案为:1080.
第三件次品恰好在第4次被测出,说明第四次测出的是次品,而前三次有一次没有测出次品,有分步原理计算即可
本题考查排列、组合及简单计数问题,解题的关键是熟练掌握计数原理及排列组合的公式,对问题的理解、转化也很关键.
15. 从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有_________种用数字填写答案
(正确答案)16
解:方法一:直接法,1女2男,有,2女1男,有
8
根据分类计数原理可得,共有种,
方法二,间接法:种,
故答案为:16
方法一:直接法,分类即可求出,
方法二:间接法,先求出没有限制的种数,再排除全是男生的种数.
本题考查了分类计数原理,属于基础题
16. 用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有______ 个用数字作答
(正确答案)1080
解:根据题意,分2种情况讨论:
、四位数中没有一个偶数数字,即在1、3、5、7、9种任选4个,组成一共四位数即可,
有种情况,即有120个没有一个偶数数字四位数;
、四位数中只有一个偶数数字,
在1、3、5、7、9种选出3个,在2、4、6、8中选出1个,有种取法,
将取出的4个数字全排列,有种顺序,
则有个只有一个偶数数字的四位数;
则至多有一个数字是偶数的四位数有个;
故答案为:1080.
根据题意,要求四位数中至多有一个数字是偶数,分2种情况讨论:、四位数中没有一个偶数数字,、四位数中只有一个偶数数字,分别求出每种情况下四位数的数目,由分类计数原理计算可得答案.
本题考查排列、组合的综合应用,注意要分类讨论.
8