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- 2021-05-13 发布
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2015 年普通高等学校招生全国统一考试
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合 A={x|x=3n+2,n N},B={6,8,12,14},则集合 A B 中元素的个
数为
(A)5 (B)4 (C)3 (D)2
(2)已知点 A(0,1),B(3,2),向量 AC
=(-4,-3),则向量 BC
=
(A)(-7,-4) (B)(7,4) (C)(-1,4) (D)(1,4)
(3)已知复数 z 满足(z-1)i=i+1,则 z=
(A)-2-I (B)-2+I (C)2-I (D)2+i
(4)如果 3 个整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组
勾股数,从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则 3 个数构成一组勾股
数的概率为
(A)10
3
(B) 1
5
(C) 1
10
(D) 1
20
(5)已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为 1
2
,E 的右焦点与抛物线 C:y²=8x
的焦点重合,A,B 是 C 的准线与 E 的两个焦点,则|AB|=
(A)3 (B)6 (C)9 (D)12
(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今
有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙
角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),
米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,
问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知
1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约
为 3,估算出堆放斛的米约有
A.14 斛 B.22 斛
C.36 斛 D.66 斛
(7)已知 是公差为 1 的等差数列, 则 =4 , =
(A) (B) (C)10 (D)12
(8)函数 f(x)= 的部分图像如图所示,则 f(x)的单调递减区间为
(A)(k , k ),k
(B)(2k , 2k ),k
(C)(k , k ),k
(D)(2k , 2k ),k
(9)执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则
输出的 n=
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
(10)已知函数 ,且
f(a)=-3,则 f(6-a)=
(A)- 7
4
(B)- 5
4
(C)- 3
4
(D)- 1
4
(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为
r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图
所示,若该几何体的表面积为 16+20π,则 r=
(A)1 (B) 2 (C) 4 (D) 8
(12)设函数 y=f(x)的图像关于直线 y=-x 对称,
且 f(-2)+f(-4)=1,则 a=
(A)-1 (B)1 (C)2 (D)4
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分
(13)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an, Sn 为{an}的前 n 项和。若-Sn=126,则 n= .
(14)已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图像在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则
a= .
(15)x,y 满足约束条件 ,则 z=3x+y 的最大值为 ..
(16)已知 F 是双曲线 C:x2- 8
2y =1 的右焦点,P 是 C 的左支上一点,A(0,6 6 ).
当△APF 周长最小是,该三角形的面积为 .
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
(17)(本小题满分 12 分)
已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,sin2B=2sinAsinC
(Ⅰ)若 a=b,求 cosB;
(Ⅱ)设 B=90°,且 a= 2 ,求△ABC 的面积
(18)(本小题满分 12 分)
如图,四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 的交点,BE⊥平面 ABCD.
(Ⅰ)证明:平面 AEC⊥平面 BED;(Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥—ACD
的体积为
3
6 ,求该三棱锥的侧面积
(19)(本小题满分 12 分)
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:
千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的
年宣传费 和年销售量 (i=1,2,···,8)数据作了初步处理,得到下面的散点
图及一些统计量的值。
x
y
w
8
1i
(x1- x
)2
8
1i
(w1- w
)2
8
1i
(x1- x
)(y- y
)
8
1i
(w1- w
)
(y- y
)
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
表中 w1 = x 1, , w
= 1
8
8
1i
w
1
(1) 根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的
回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程;
(Ⅲ)以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x。根据(Ⅱ)的结果
回答下列问题:
(i) 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少?
(ii) 年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大?
附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)…….. (un vn),其回归线 v= u
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
(20)(本小题满分 12 分)
已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点.
(1) 求 K 的取值范围;
(2) 若OM
·ON
=12,其中 0 为坐标原点,求︱MN︱.
请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则安所做的
第一题计分。作答时请写清题号。
(22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
如图,AB 是⊙O的直径,AC 是⊙O的切线,BC 交⊙O于点 E。
(Ⅰ)若 D 为 AC 的中点,
证明:DE 是⊙O的切线;
(Ⅱ)若 CA= 3 CE,求∠ACB 的大小。
23、(满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,则 a>0.
(1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集;
(2)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值
范围.
2015 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
(全国卷 I 新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的.
1.
答案:C
解析:由题意可得,M∩N={-2,-1,0}.故选 C.
2.
答案:C
解析:∵ 2
1 i
=1-i,∴ 2
1 i
=|1-i|= 2 .
3.
答案:B
解析:如图所示,约束条件所表示的区域为图中的阴影部分,而目标函数可化为 2
3 3
zy x ,
先画出 l0:y= 2
3 x ,当 z 最小时,直线在 y 轴上的截距最大,故最优点为图中的点 C,由
3,
1 0,
x
x y
可得 C(3,4),代入目标函数得,zmin=2×3-3×4=
-6.
4.
答案:B
解析:A=π-(B+C)= π π 7ππ 6 4 12
,
由正弦定理得
sin sin
a b
A B
,
则
7π2sinsin 12 6 2πsin sin 6
b Aa B
,
∴S△ABC= 1 1 2sin 2 ( 6 2) 3 12 2 2ab C .
5.
答案:D
解析:如图所示,在 Rt△PF1F2 中,|F1F2|=2c,
设|PF2|=x,则|PF1|=2x,
由 tan 30°= 2
1 2
| | 3
| | 2 3
PF x
F F c
,得 2 3
3x c .
而由椭圆定义得,|PF1|+|PF2|=2a=3x,
∴ 3 32a x c ,∴ 3
33
c ce a c
.
6.
答案:A
解析:由半角公式可得, 2 πcos 4
=
π 21 cos 2 11 sin 2 12 3
2 2 2 6
.
7.
答案:B
解析:由程序框图依次可得,输入 N=4,
T=1,S=1,k=2;
1
2T , 11+ 2S ,k=3;
1
3 2T
,S= 1 11+ 2 3 2
,k=4;
1
4 3 2T
, 1 1 11 2 3 2 4 3 2S
,k=5;
输出 1 1 11 2 3 2 4 3 2S
.
8.
答案:D
解析:∵log25>log23>1,∴log23>1>
2
1
log 3
>
2
1
log 5
>0,即 log23>1>log32>log52
>0,∴c>a>b.
9.
答案:A
解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系 O-xyz 的图像为下图:
则它在平面 zOx 的投影即正视图为 ,故选 A.
10.
答案:C
解析:由题意可得抛物线焦点 F(1,0),准线方程为 x=-1.
当直线 l 的斜率大于 0 时,如图所示,过 A,B 两点分别向准线 x=-1 作垂线,垂足分别为
M,N,则由抛物线定义可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.
设|AM|=|AF|=3t(t>0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,
在△AMK 中,由 | | | |
| | | |
NB BK
AM AK
,得
3 4
t x
t x t
,
解得 x=2t,则 cos∠NBK= | | 1
| | 2
NB t
BK x
,
∴∠NBK=60°,则∠GFK=60°,即直线 AB 的倾斜角为 60°.
∴斜率 k=tan 60°= 3 ,故直线方程为 y= 3( 1)x- .
当直线 l 的斜率小于 0 时,如图所示,同理可得直线方程为 y=
3( 1)x - ,故选 C.
11.
答案:C
解析:若 x0 是 f(x)的极小值点,则 y=f(x)的图像大致如下图所示,则在(-∞,x0)上不单
调,故 C 不正确.
12.
答案:D
解析:由题意可得, 1
2
x
a x
(x>0).
令 f(x)= 1
2
x
x
,该函数在(0,+∞)上为增函数,可知 f(x)的值域为(-
1,+∞),故 a>-1 时,存在正数 x 使原不等式成立.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
13.答案:0.2
解析:该事件基本事件空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),
(3,5),(4,5)}共有 10 个,记 A=“其和为 5”={(1,4),(2,3)}有 2 个,∴P(A)= 2
10
=0.2.
14.答案:2
解析:以 ,AB AD
为基底,则 0AB AD ,
而 1
2AE AB AD , BD AD AB ,
∴
1( ) ( )2AE BD AB AD AD AB
2 2 2 21 1 2 2 22 2AB AD .
15.答案:24π
解析:如图所示,在正四棱锥 O-ABCD 中,VO-ABCD= 1
3
×S 正方形 ABCD·|OO1|=
1
3
× 2( 3) ×|OO1|= 3 2
2
,
∴|OO1|= 3 2
2
,|AO1|= 6
2
,
在 Rt△OO1A 中,OA= 2 2
1 1| | | |OO AO =
2 2
3 2 6 62 2
,即 6R ,
∴S 球=4πR2=24π.
16.答案: 5π
6
解析:y=cos(2x+φ)向右平移 π
2
个单位得, πcos 2 2y x
=cos(2x-π+φ)
= π πsin 2 π+ + =sin 22 2x x
,而它与函数 πsin 2 3y x
的图像重合,令 2x
+φ- π
2
=2x+ π
3
+2kπ,k∈Z,
得 5π +2 π6 k ,k∈Z.
又-π≤φ<π,∴ 5π
6
.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.
解:(1)设{an}的公差为 d.
由题意, 2
11a =a1a13,
即(a1+10d)2=a1(a1+12d).
于是 d(2a1+25d)=0.
又 a1=25,所以 d=0(舍去),d=-2.
故 an=-2n+27.
(2)令 Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2.
由(1)知 a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为 25,公差为-6 的等差数列.
从而 Sn=
2
n (a1+a3n-2)=
2
n (-6n+56)=-3n2+28n.
18.
(1)证明:BC1∥平面 A1CD;
(2)设 AA1=AC=CB=2,AB= 2 2 ,求三棱锥 C-A1DE 的体积.
解:(1)连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点.
又 D 是 AB 中点,连结 DF,则 BC1∥DF.
因为 DF⊂平面 A1CD,BC1 平面 A1CD,
所以 BC1∥平面 A1CD.
(2)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 AA1⊥CD.
由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点,所以 CD⊥AB.
又 AA1∩AB=A,于是 CD⊥平面 ABB1A1.
由 AA1=AC=CB=2, 2 2AB 得∠ACB=90°, 2CD , 1 6A D , 3DE ,A1E
=3,
故 A1D2+DE2=A1E2,即 DE⊥A1D.
所以 VC-A1DE= 1 1 6 3 23 2
=1.
19.
解:(1)当 X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000.
当 X∈[130,150]时,T=500×130=65 000.
所以 800 39000,100 130,
65000,130 150.
X XT X
(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150.
由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57
000 元的概率的估计值为 0.7.
20.
解:(1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r.
由题设 y2+2=r2,x2+3=r2.
从而 y2+2=x2+3.
故 P 点的轨迹方程为 y2-x2=1.
(2)设 P(x0,y0).由已知得 0 0| | 2
22
x y .
又 P 点在双曲线 y2-x2=1 上,
从而得 0 0
2 2
1 0
| | 1,
1.
x y
y x
由 0 0
2 2
0 0
1,
1
x y
y x
得 0
0
0,
1.
x
y
此时,圆 P 的半径 r= 3.
由 0 0
2 2
0 0
1,
1
x y
y x
得 0
0
0,
1.
x
y
此时,圆 P 的半径 3r .
故圆 P 的方程为 x2+(y-1)2=3 或 x2+(y+1)2=3.
21.
解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),
f′(x)=-e-xx(x-2).①
当 x∈(-∞,0)或 x∈(2,+∞)时,f′(x)<0;
当 x∈(0,2)时,f′(x)>0.
所以 f(x)在(-∞,0),(2,+∞)单调递减,在(0,2)单调递增.
故当 x=0 时,f(x)取得极小值,极小值为 f(0)=0;
当 x=2 时,f(x)取得极大值,极大值为 f(2)=4e-2.
(2)设切点为(t,f(t)),
则 l 的方程为 y=f′(t)(x-t)+f(t).
所以 l 在 x 轴上的截距为 m(t)= ( ) 22 3'( ) 2 2
f t tt t tf t t t
.
由已知和①得 t∈(-∞,0)∪(2,+∞).
令 h(x)= 2x x
(x≠0),则当 x∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围为[ 2 2 ,+∞);
当 x∈(-∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3).
所以当 t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,m(t)的取值范围是(-∞,0)∪[ 2 2 3 ,+∞).
综上,l 在 x 轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[ 2 2 3 ,+∞).
请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应
的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一
题评分.
22.
解:(1)因为 CD 为△ABC 外接圆的切线,
所以∠DCB=∠A.
由题设知 BC DC
FA EA
,
故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.
因为 B,E,F,C 四点共圆,
所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.
所以∠CBA=90°,
因此 CA 是△ABC 外接圆的直径.
(2)连结 CE,因为∠CBE=90°,
所以过 B,E,F,C 四点的圆的直径为 CE,
由 DB=BE,有 CE=DC,又 BC2=DB·BA=2DB2,所以 CA2=4DB2+BC2
=6DB2.
而 DC2=DB·DA=3DB2,故过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为 1
2
.
23.
解:(1)依题意有 P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),
因此 M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).
M 的轨迹的参数方程为 cos cos2 ,
sin sin 2 ,
x
y
(α为参数,0<α<2π).
(2)M 点到坐标原点的距离
d= 2 2 2 2cosx y (0<α<2π).
当α=π时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点.
24.
解:(1)由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,
得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由题设得(a+b+c)2=1,即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤ 1
3
.
(2)因为
2
2a b ab
,
2
2b c bc
,
2
2c a ca
,
故
2 2 2
( )a b c a b cb c a
≥2(a+b+c),
即
2 2 2a b c
b c a
≥a+b+c.
所以
2 2 2a b c
b c a
≥1.