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  • 2021-05-13 发布

全国高考数学文科新课标卷真题及答案

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2015 年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 A={x|x=3n+2,n N},B={6,8,12,14},则集合 A  B 中元素的个 数为 (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 (2)已知点 A(0,1),B(3,2),向量 AC  =(-4,-3),则向量 BC  = (A)(-7,-4) (B)(7,4) (C)(-1,4) (D)(1,4) (3)已知复数 z 满足(z-1)i=i+1,则 z= (A)-2-I (B)-2+I (C)2-I (D)2+i (4)如果 3 个整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组 勾股数,从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则 3 个数构成一组勾股 数的概率为 (A)10 3 (B) 1 5 (C) 1 10 (D) 1 20 (5)已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为 1 2 ,E 的右焦点与抛物线 C:y²=8x 的焦点重合,A,B 是 C 的准线与 E 的两个焦点,则|AB|= (A)3 (B)6 (C)9 (D)12 (6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今 有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙 角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一), 米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺, 问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约 为 3,估算出堆放斛的米约有 A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 (7)已知 是公差为 1 的等差数列, 则 =4 , = (A) (B) (C)10 (D)12 (8)函数 f(x)= 的部分图像如图所示,则 f(x)的单调递减区间为 (A)(k , k ),k (B)(2k , 2k ),k (C)(k , k ),k (D)(2k , 2k ),k (9)执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则 输出的 n= (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 (10)已知函数 ,且 f(a)=-3,则 f(6-a)= (A)- 7 4 (B)- 5 4 (C)- 3 4 (D)- 1 4 (11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图 所示,若该几何体的表面积为 16+20π,则 r= (A)1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 (12)设函数 y=f(x)的图像关于直线 y=-x 对称, 且 f(-2)+f(-4)=1,则 a= (A)-1 (B)1 (C)2 (D)4 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 (13)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an, Sn 为{an}的前 n 项和。若-Sn=126,则 n= . (14)已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图像在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则 a= . (15)x,y 满足约束条件 ,则 z=3x+y 的最大值为 .. (16)已知 F 是双曲线 C:x2- 8 2y =1 的右焦点,P 是 C 的左支上一点,A(0,6 6 ). 当△APF 周长最小是,该三角形的面积为 . 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 (17)(本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,sin2B=2sinAsinC (Ⅰ)若 a=b,求 cosB; (Ⅱ)设 B=90°,且 a= 2 ,求△ABC 的面积 (18)(本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 的交点,BE⊥平面 ABCD. (Ⅰ)证明:平面 AEC⊥平面 BED;(Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥—ACD 的体积为 3 6 ,求该三棱锥的侧面积 (19)(本小题满分 12 分) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位: 千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的 年宣传费 和年销售量 (i=1,2,···,8)数据作了初步处理,得到下面的散点 图及一些统计量的值。 x  y  w  8 1i  (x1- x  )2 8 1i  (w1- w  )2 8 1i  (x1- x  )(y- y  ) 8 1i  (w1- w  ) (y- y  ) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 w1 = x 1, , w  = 1 8 8 1i w   1 (1) 根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的 回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x。根据(Ⅱ)的结果 回答下列问题: (i) 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii) 年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)…….. (un vn),其回归线 v=  u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为: (20)(本小题满分 12 分) 已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点. (1) 求 K 的取值范围; (2) 若OM  ·ON  =12,其中 0 为坐标原点,求︱MN︱. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则安所做的 第一题计分。作答时请写清题号。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙O的直径,AC 是⊙O的切线,BC 交⊙O于点 E。 (Ⅰ)若 D 为 AC 的中点, 证明:DE 是⊙O的切线; (Ⅱ)若 CA= 3 CE,求∠ACB 的大小。 23、(满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,则 a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值 范围. 2015 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷 I 新课标) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 答案:C 解析:由题意可得,M∩N={-2,-1,0}.故选 C. 2. 答案:C 解析:∵ 2 1 i =1-i,∴ 2 1 i =|1-i|= 2 . 3. 答案:B 解析:如图所示,约束条件所表示的区域为图中的阴影部分,而目标函数可化为 2 3 3 zy x  , 先画出 l0:y= 2 3 x ,当 z 最小时,直线在 y 轴上的截距最大,故最优点为图中的点 C,由 3, 1 0, x x y      可得 C(3,4),代入目标函数得,zmin=2×3-3×4= -6. 4. 答案:B 解析:A=π-(B+C)= π π 7ππ 6 4 12       , 由正弦定理得 sin sin a b A B  , 则 7π2sinsin 12 6 2πsin sin 6 b Aa B     , ∴S△ABC= 1 1 2sin 2 ( 6 2) 3 12 2 2ab C        . 5. 答案:D 解析:如图所示,在 Rt△PF1F2 中,|F1F2|=2c, 设|PF2|=x,则|PF1|=2x, 由 tan 30°= 2 1 2 | | 3 | | 2 3 PF x F F c   ,得 2 3 3x c . 而由椭圆定义得,|PF1|+|PF2|=2a=3x, ∴ 3 32a x c  ,∴ 3 33 c ce a c    . 6. 答案:A 解析:由半角公式可得, 2 πcos 4     = π 21 cos 2 11 sin 2 12 3 2 2 2 6             . 7. 答案:B 解析:由程序框图依次可得,输入 N=4, T=1,S=1,k=2; 1 2T  , 11+ 2S  ,k=3; 1 3 2T   ,S= 1 11+ 2 3 2   ,k=4; 1 4 3 2T    , 1 1 11 2 3 2 4 3 2S       ,k=5; 输出 1 1 11 2 3 2 4 3 2S       . 8. 答案:D 解析:∵log25>log23>1,∴log23>1> 2 1 log 3 > 2 1 log 5 >0,即 log23>1>log32>log52 >0,∴c>a>b. 9. 答案:A 解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系 O-xyz 的图像为下图: 则它在平面 zOx 的投影即正视图为 ,故选 A. 10. 答案:C 解析:由题意可得抛物线焦点 F(1,0),准线方程为 x=-1. 当直线 l 的斜率大于 0 时,如图所示,过 A,B 两点分别向准线 x=-1 作垂线,垂足分别为 M,N,则由抛物线定义可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|. 设|AM|=|AF|=3t(t>0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2, 在△AMK 中,由 | | | | | | | | NB BK AM AK  ,得 3 4 t x t x t   , 解得 x=2t,则 cos∠NBK= | | 1 | | 2 NB t BK x   , ∴∠NBK=60°,则∠GFK=60°,即直线 AB 的倾斜角为 60°. ∴斜率 k=tan 60°= 3 ,故直线方程为 y= 3( 1)x- . 当直线 l 的斜率小于 0 时,如图所示,同理可得直线方程为 y= 3( 1)x - ,故选 C. 11. 答案:C 解析:若 x0 是 f(x)的极小值点,则 y=f(x)的图像大致如下图所示,则在(-∞,x0)上不单 调,故 C 不正确. 12. 答案:D 解析:由题意可得, 1 2 x a x       (x>0). 令 f(x)= 1 2 x x     ,该函数在(0,+∞)上为增函数,可知 f(x)的值域为(- 1,+∞),故 a>-1 时,存在正数 x 使原不等式成立. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.答案:0.2 解析:该事件基本事件空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4), (3,5),(4,5)}共有 10 个,记 A=“其和为 5”={(1,4),(2,3)}有 2 个,∴P(A)= 2 10 =0.2. 14.答案:2 解析:以 ,AB AD   为基底,则 0AB AD   , 而 1 2AE AB AD    , BD AD AB    , ∴ 1( ) ( )2AE BD AB AD AD AB          2 2 2 21 1 2 2 22 2AB AD         . 15.答案:24π 解析:如图所示,在正四棱锥 O-ABCD 中,VO-ABCD= 1 3 ×S 正方形 ABCD·|OO1|= 1 3 × 2( 3) ×|OO1|= 3 2 2 , ∴|OO1|= 3 2 2 ,|AO1|= 6 2 , 在 Rt△OO1A 中,OA= 2 2 1 1| | | |OO AO = 2 2 3 2 6 62 2               ,即 6R  , ∴S 球=4πR2=24π. 16.答案: 5π 6 解析:y=cos(2x+φ)向右平移 π 2 个单位得, πcos 2 2y x          =cos(2x-π+φ) = π πsin 2 π+ + =sin 22 2x x             ,而它与函数 πsin 2 3y x     的图像重合,令 2x +φ- π 2 =2x+ π 3 +2kπ,k∈Z, 得 5π +2 π6 k  ,k∈Z. 又-π≤φ<π,∴ 5π 6   . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解:(1)设{an}的公差为 d. 由题意, 2 11a =a1a13, 即(a1+10d)2=a1(a1+12d). 于是 d(2a1+25d)=0. 又 a1=25,所以 d=0(舍去),d=-2. 故 an=-2n+27. (2)令 Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2. 由(1)知 a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为 25,公差为-6 的等差数列. 从而 Sn= 2 n (a1+a3n-2)= 2 n (-6n+56)=-3n2+28n. 18. (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)设 AA1=AC=CB=2,AB= 2 2 ,求三棱锥 C-A1DE 的体积. 解:(1)连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点. 又 D 是 AB 中点,连结 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF⊂平面 A1CD,BC1 平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD. (2)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 AA1⊥CD. 由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点,所以 CD⊥AB. 又 AA1∩AB=A,于是 CD⊥平面 ABB1A1. 由 AA1=AC=CB=2, 2 2AB  得∠ACB=90°, 2CD  , 1 6A D  , 3DE  ,A1E =3, 故 A1D2+DE2=A1E2,即 DE⊥A1D. 所以 VC-A1DE= 1 1 6 3 23 2     =1. 19. 解:(1)当 X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000. 当 X∈[130,150]时,T=500×130=65 000. 所以 800 39000,100 130, 65000,130 150. X XT X       (2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7. 20. 解:(1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r. 由题设 y2+2=r2,x2+3=r2. 从而 y2+2=x2+3. 故 P 点的轨迹方程为 y2-x2=1. (2)设 P(x0,y0).由已知得 0 0| | 2 22 x y  . 又 P 点在双曲线 y2-x2=1 上, 从而得 0 0 2 2 1 0 | | 1, 1. x y y x      由 0 0 2 2 0 0 1, 1 x y y x      得 0 0 0, 1. x y     此时,圆 P 的半径 r= 3. 由 0 0 2 2 0 0 1, 1 x y y x       得 0 0 0, 1. x y    此时,圆 P 的半径 3r  . 故圆 P 的方程为 x2+(y-1)2=3 或 x2+(y+1)2=3. 21. 解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f′(x)=-e-xx(x-2).① 当 x∈(-∞,0)或 x∈(2,+∞)时,f′(x)<0; 当 x∈(0,2)时,f′(x)>0. 所以 f(x)在(-∞,0),(2,+∞)单调递减,在(0,2)单调递增. 故当 x=0 时,f(x)取得极小值,极小值为 f(0)=0; 当 x=2 时,f(x)取得极大值,极大值为 f(2)=4e-2. (2)设切点为(t,f(t)), 则 l 的方程为 y=f′(t)(x-t)+f(t). 所以 l 在 x 轴上的截距为 m(t)= ( ) 22 3'( ) 2 2 f t tt t tf t t t         . 由已知和①得 t∈(-∞,0)∪(2,+∞). 令 h(x)= 2x x  (x≠0),则当 x∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围为[ 2 2 ,+∞); 当 x∈(-∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3). 所以当 t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,m(t)的取值范围是(-∞,0)∪[ 2 2 3 ,+∞). 综上,l 在 x 轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[ 2 2 3 ,+∞). 请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应 的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一 题评分. 22. 解:(1)因为 CD 为△ABC 外接圆的切线, 所以∠DCB=∠A. 由题设知 BC DC FA EA  , 故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA. 因为 B,E,F,C 四点共圆, 所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°. 所以∠CBA=90°, 因此 CA 是△ABC 外接圆的直径. (2)连结 CE,因为∠CBE=90°, 所以过 B,E,F,C 四点的圆的直径为 CE, 由 DB=BE,有 CE=DC,又 BC2=DB·BA=2DB2,所以 CA2=4DB2+BC2 =6DB2. 而 DC2=DB·DA=3DB2,故过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为 1 2 . 23. 解:(1)依题意有 P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α), 因此 M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). M 的轨迹的参数方程为 cos cos2 , sin sin 2 , x y          (α为参数,0<α<2π). (2)M 点到坐标原点的距离 d= 2 2 2 2cosx y    (0<α<2π). 当α=π时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点. 24. 解:(1)由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca, 得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1,即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤ 1 3 . (2)因为 2 2a b ab   , 2 2b c bc   , 2 2c a ca   , 故 2 2 2 ( )a b c a b cb c a      ≥2(a+b+c), 即 2 2 2a b c b c a   ≥a+b+c. 所以 2 2 2a b c b c a   ≥1.