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  • 2021-05-13 发布

极坐标与参数方程高考题的几种常见题型

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极坐标与参数方程高考题的几种常见题型 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化 例1(2007海南宁夏)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为,.‎ ‎(I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(II)求经过⊙O1,⊙O2交点的直线的直角坐标方程.‎ 解: (I),,由得.所以.‎ 即为⊙O1的直角坐标方程.同理为⊙O2的直角坐标方程 ‎(II)解:由,两式相减得-4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.‎ 二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型 例2(2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 23)以直角坐标系的原点为极点,轴非负半轴为极轴,在两种坐标系中取相同单位的长度. 已知直线的方程为,曲线的参数方程为,点是曲线上的一动点.‎ ‎(Ⅰ)求线段的中点的轨迹方程; (Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最小值.‎ ‎[解析](Ⅰ)设中点的坐标为,依据中点公式有(为参数),‎ 这是点轨迹的参数方程,消参得点的直角坐标方程为. (5分)‎ ‎(Ⅱ)直线的普通方程为,曲线的普通方程为,‎ 表示以为圆心,以2为半径的圆,故所求最小值为圆心到直线 的距离减去半径,设所求最小距离为d,则.因此曲线上的点到直线的距离的最小值为. ‎ 三、求曲线的交点坐标 例3(2010东北三校第一次联合考试)在极坐标系下,已知圆和直线。(1)求圆和直线的直角坐标方程;当时,求直线于圆公共点的极坐标。‎ 解:(1)圆,即 圆的直角坐标方程为:,即 直线,即则直线的直角坐标方程为:,即。‎ (2) 由得 故直线与圆公共点的一个极坐标为。‎ 四、 根据条件求直线和圆的极坐标方程 例4(2009辽宁)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为cos()=1,M,N分别为C与x轴,y轴的交点。‎ ‎(1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标; ‎ ‎(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程。‎ 解:(Ⅰ)由 C直角方程为(Ⅱ)M点的直角坐标为(2,0)N点的直角坐标为 P点的直角坐标为直线OP极坐标方程为 五、 参数方程的问题 例5(2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考,23)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为 ‎(1)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)设为曲线上的动点,求点到上点的距离的最小值,并求此时点的坐标.‎ ‎[解析](1)由曲线:  得两式两边平方相加得:即曲线的普通方程为:      由曲线:得:所以 即曲线的直角坐标方程为: ‎ ‎(2) 由(1)知椭圆与直线无公共点,椭圆上的点到直线的距离为       ‎ 所以当时,的最小值为,此时点的坐标为 ‎1. (2014山西太原高三模拟考试(一),23)  在平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程为,且曲线C1上的点M(2,)对应的参数 . 且以O为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线与曲线C2交于点.   (I)求曲线C1的普通方程,C2的极坐标方程;[ (Ⅱ)若 是曲线C1上的两点,求的值.‎ ‎2.(2014福州高中毕业班质量检测, 21(2))在平面直角坐标系中, 以为极点, ‎ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为, 直线l的参数方程为: (为参数) ,两曲线相交于, 两点.‎ ‎(Ⅰ)写曲线直角坐标方程和直线普通方程;(Ⅱ)若, 求的值.‎ ‎[解析] (Ⅰ) (曲线的直角坐标方程为, 直线的普通方程. (4分)‎ ‎(Ⅱ) 直线的参数方程为(为参数),代入, 得到, , 对应的参数分别为, ,则 ‎ ‎3. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测(二),23)已知直线的参数方程为:,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的参数方程;(Ⅱ)当时,求直线与曲线交点的极坐标.‎ ‎[解析] (Ⅰ)由,可得 所以曲线的直角坐标方程为,标准方程为,‎ 曲线的极坐标方程化为参数方程为(5分)‎ ‎(Ⅱ)当时,直线的方程为,化成普通方程为,‎ 由,解得或,所以直线与曲线交点的极坐标分别为,;, .‎ ‎4. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试,23)   已知在直角坐标系中,直线的参数方程为,(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为  (Ⅰ)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(Ⅱ)设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的取值范围.‎ ‎[解析](Ⅰ)直线的普通方程为,C直角坐标方程为.(Ⅱ)设点,则,‎ 所以的取值范围是. (10分)‎ ‎5.(2014吉林实验中学高三年级第一次模拟,23)选修4—4: 坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(Ⅰ)求圆C的极坐标方程;(Ⅱ)直线的极坐标方程是,射线与圆C的交点为O、P,与直线的交点为Q,求线段PQ的长.‎ ‎6.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(四)数学(理)试题, 23)   已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是(t是参数) .‎ ‎ (I) 将曲线C的极坐标方程和直线的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程;‎ ‎(Ⅱ) 若直线与曲线C相交于A,B两点,且,试求实数m的值.‎ ‎7.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试,23)已知直线的参数方程为为参数) ,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 的极坐标方程为.(1)求圆的直角坐标方程;(2)若是直线与圆面≤的公共点,求的取值范围.‎ ‎[解析](1)圆的极坐标方程为所以又所以所以圆的普通方程(2)设由:‎ 所以圆的圆心是,半径是 将代入得 又直线过,圆的半径是,所以即的取值范围是 ‎8.(2014周宁、政和一中第四次联考,21)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程是(为参数)(Ⅰ)将的方程化为普通方程;(Ⅱ)以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线的极坐标方程是, 求曲线与交点的极坐标.‎ ‎[解析](Ⅰ)依题意,的普通方程为,(Ⅱ)由题意,的普通方程为,代入圆的普通方程后得,解得,,点、的直角坐标为,,从而,.    (7分)‎ ‎9.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 21C) 在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程是(为参数);以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆 的极坐标方程为. 由直线上的点向圆引切线,求切线长的最小值.‎ ‎[解析]因为圆的极坐标方程为,所以,‎ 所以圆的直角坐标方程为,圆心为, 半径为1, (4分)‎ 因为直线的参数方程为(为参数),所以直线上的点向圆C 引切线长是,‎ 所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是. (10分)‎ ‎10. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 23)已知曲线 (t为参数) , (为参数)(Ⅰ)化,的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;‎ ‎(Ⅱ)过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于A,B两点,求.‎ ‎[解析] 解(Ⅰ)曲线为圆心是,半径是1的圆.‎ 曲线为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长轴长是8,短轴长是6的椭圆. (4分)‎ ‎      (Ⅱ)曲线的左顶点为,则直线的参数方程为(为参数)‎ 将其代入曲线整理可得:,设对应参数分别为,‎ 则所以.          (10分)‎ ‎11. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 23)‎ ‎ 在直角坐标系中,曲线C的参数方程为(为参数). 以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点,直线的极坐标方程为.(Ⅰ)判断点与直线的位置关系,说明理由;‎ ‎(Ⅱ) 设直线与直线的两个交点为、,求的值.‎ ‎[解析](Ⅰ)直线即, :,点在上. (Ⅱ) 直线的参数方程为(为参数),曲线C的直角坐标方程为,‎ 将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,有,设两根为,. (10分)‎ ‎12. (2014兰州高三第一次诊断考试, 23)在直角坐标系中,以原点O为极点,以轴正半轴为极轴,与直角坐标系取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线C参数方程为(为参数),直线的极坐标方程为.‎ ‎    (Ⅰ)写出曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程;‎ ‎    (Ⅱ)求曲线C上的点到直线的最大距离,并求出这个点的坐标.‎ ‎[解析](Ⅰ)由得,则直线的普通方程为. 由得曲线的普通方程为.    (5分)‎ ‎(Ⅱ)在  上任取一点,则点到直线的距离为 ‎  , 当,即时, ,此时点.   (10分)‎ ‎14. (河南省商丘市2014届高三第三次模拟考试数学(理)试题)在极坐标系中,已知圆C的圆心,半径r=. ( I)求圆C的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若,直线的参数方程为(t为参数),直线交圆C于A、B两点,求弦长|AB|的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)直角坐标,所以圆的直角坐标方程为,……2分 由得,圆C的直角坐标方程为.……5分 ‎(Ⅱ)将,代入的直角坐标方程,‎ 得 ,则 ,设A,B对应参数分别为,,则 ‎,, ‎ 因为,所以所以,所以的取值范围为 ‎ ‎15.(南京市2014届高三年级第三次模拟考试数学试题)‎ 在平面直角坐标系xOy中,已知M是椭圆+=1上在第一象限的点,A(2,0),B(0,2)是椭圆两个顶点,求四边形OAMB的面积的最大值.‎ 解:设M(2cosθ,2sinθ),θ(0,).由题知OA=2,OB=2, ……………2分 ‎∴四边形OAMB面积S=×OA×2sinθ+×OB×2cosθ=2sinθ+2cosθ=2sin(θ+) 所以当θ=时,四边形OAMB的面积的最大值为2. ……………………10分 ‎16.(甘肃省张掖市2014届高三第三次诊断考试数学(理)试题)‎ 在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程是(为参数);以 为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)写出直线的普通方程与圆的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)由直线上的点向圆引切线,求切线长的最小值.‎ ‎【解析】: (Ⅰ) ,曲线C: ……………4分 ‎ ‎(Ⅱ)因为圆极坐标方程,所以,‎ 所以圆的直角坐标方程为,圆心为,半径为1,‎ 因为直线的参数方程为(为参数),所以直线上的点向圆C 引切线长是 所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是. …………………10分 ‎17.(黑龙江省大庆市2014年高三第次模拟考试数学(理)试卷)‎ 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数),为直线与曲线的公共点,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求点的极坐标;‎ ‎(II)将曲线上所有点的纵坐标伸长为原来的倍(横坐标不变)后得到曲线,过点作直线,若直线被曲线截得的线段长为,求直线的极坐标方程.‎ 解:(I)的普通方程为。将代入上式整理得,解得 故点的坐标为,其极坐标为. ………………………5分 ‎(II)坐标变换式为故的方程为,即…7分 当直线的斜率存在时,设其方程为,即,‎ 由圆心到直线距离得,,∴直线为,‎ 当直线的斜率不存在时,其方程为,显然成立.‎ 故直线的极坐标方程为或. …………………10分 ‎18.(2014年长春市高中毕业班第二次调研测试)已知直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.(1)求圆的直角坐标方程;(2)若是直线与圆面≤的公共点,求的取值范围.‎ ‎【解析】:(1)圆的极坐标方程为∴ ‎ 又,所以 所以圆的普通方程 ‎(2)『解法1』:设由圆的方程 所以圆的圆心是,半径是将代入得 又直线过,圆的半径是,所以,所以 即的取值范围是 ‎19. (昆明第一中学2014届高三第五次月考)以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程为 (t为参数),圆C的极坐标方程为。(I)求直线l和圆C的直角坐标方程;(Ⅱ)若点P(x,y)在圆C上,求的取值范围.‎ ‎21. (2011年高考(新课标理))直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),是上的动点,点满足=,点的轨迹为. (Ⅰ)求的方程; (Ⅱ)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与的异于极点的交点为,与的异于极点的交点为,求.‎ ‎【解析】(Ⅰ)设(,),则由条件知(,),由于在上, ‎ ‎∴,即,∴的参数方程为(为参数); ‎ ‎(Ⅱ)曲线的极坐标方程为=,曲线的极坐标方程为=, ‎ ‎∴射线与的交点的极径为=,射线与的交点的极径为=, ∴==. ‎ ‎22.(河南省郑州市第四中学2013届高三第十四次调考数学(理)试题)在直角坐标系中,以O为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为,曲线的参数方程为,(为参数,).‎ ‎(Ⅰ)求C1的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)当C1与C2有两个公共点时,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)曲线的极坐标方程为, ‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为. ‎ ‎(Ⅱ)曲线的直角坐标方程为,为半圆弧, ‎ 如下图所示,曲线为一族平行于直线的直线, ‎ 当直线过点时,利用得, ‎ 舍去,则,当直线过点、两点时,, ‎ ‎∴由图可知,当时,曲线与曲线有两个公共点. ‎ ‎23. (2010年高考(全国新课标理))直线: (t为参数),圆: (为参数), (Ⅰ)当=时,求与的交点坐标; (Ⅱ)过坐标原点O作的垂线,垂足为A,P为OA的中点,当变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线;‎ ‎【答案】解: (I)当时,C1的普通方程为的普通方程为联立方程组解得C1与C2的交点为(1,0), ‎ ‎(II)C1的普通方程为. A点坐标为 ‎ 故当变化时,P点轨迹的参数方程为为参数). ‎ P点轨迹的普通方程为故P点轨迹是圆心为半径为的圆. ‎