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- 2021-05-13 发布
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1. 极坐标及参数方程知识点
1.伸缩变换:设点是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点,叫做极点;自极点引一条射线叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系。
3.点的极坐标:设是平面内一点,极点与点的距离叫做点的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的叫做点的极角,记为。有序数对叫做点的极坐标,记为.
极坐标与表示同一个点。极点的坐标为.
4.若,则,规定点与点关于极点对称,即与表示同一点。
如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的。
5.极坐标与直角坐标的互化:
6。圆的极坐标方程:
在极坐标系中,以极点为圆心,为半径的圆的极坐标方程是 ;
在极坐标系中,以 为圆心, 为半径的圆的极坐标方程是 ;
在极坐标系中,以 为圆心,为半径的圆的极坐标方程是;
7.在极坐标系中,表示以极点为起点的一条射线;表示过极点的一条直线.
在极坐标系中,过点,且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是.
8.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数 并且对于的每一个允许值,由这个方程所确定的点都在这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数。
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
9.圆的参数方程可表示为.
椭圆的参数方程可表示为.
抛物线的参数方程可表示为.
经过点,倾斜角为的直线的参数方程可表示为(为参数).
10.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.
坐标系与参数方程选讲
1.(坐标系与参数方程选做题)设点的极坐标为,直线过点且与极轴所成的角为,则直线的极坐标方程为 .
2.或或或
3.(坐标系与参数方程选做题)
极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为 .
解析: ρ=4 ρ2=4x ∴x2+y2=4x ∴(x-2)2+y2=4 同理:x2+(y+4)2=16
4.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知直线的参数方程为:(为参
数),圆的极坐标方程为,则直线与圆的位置关系为 相交 .
5. 圆C:(为参数)的普通方程为 ,设O为坐标原点,点在C上运动,点是线段OM的中点,则点P的轨迹方程为 .
6.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆上的点到直线的距离的最小值是 1 .
解析: 圆可化为,直线化为,圆心到直线的距离,最短距离为
7.(坐标系与参数方程选做题)以极坐标系中的点为圆心,为半径的圆的方程是
8.(坐标系与参数方程选做题)
曲线与直线有两个公共点,
则实数的取值范围是__.
解析:由参数方程得标准方程为y=x2 ∵x=sinθ ∴ -1
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