2020高考数学二轮复习 专题五 函数与导数 规范答题示例8 函数的单调性、极值与最值问题学案 3页

规范答题示例8　函数的单调性、极值与最值问题 典例8　(15分)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)当f(x)有最大值，且最大值大于‎2a－2时，求a的取值范围．‎ 审题路线图　―→―→.‎ 规 范 解 答·分 步 得 分 ‎ 构 建 答 题 模 板 解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a(x>0)．‎ 若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．‎ 若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.‎ 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减.5分 所以当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，‎ 当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减.6分 ‎(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值，不合题意；‎ 当a>0时，f(x)在x＝处取得最大值，‎ 最大值为f ＝ln＋a＝－ln a＋a－1.‎ 因此f >‎2a－2等价于ln a＋a－1<0.12分 令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.‎ 于是，当01时，g(a)>0.‎ 因此，a的取值范围是(0,1).15分 第一步 求导数：写出函数的定义域，求函数的导数．‎ 第二步 定符号：通过讨论确定f′(x)的符号．‎ 第三步 写区间：利用f′(x)的符号确定函数的单调性．‎ 第四步 求最值：根据函数单调性求出函数最值.‎ 评分细则　(1)函数求导正确给1分；‎ ‎(2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分；‎ ‎(3)求出最大值给3分；‎ ‎(4)构造函数g(a)＝ln a＋a－1给3分；‎ ‎(5)通过分类讨论得出a的范围，给3分．‎ 跟踪演练8　(2018·天津)已知函数f(x)＝ax，g(x)＝logax，其中a>1.‎ 3‎ ‎(1)求函数h(x)＝f(x)－xln a的单调区间；‎ ‎(2)若曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(x2，g(x2))处的切线平行，证明x1＋g(x2)＝－；‎ ‎(3)证明当a≥时，存在直线l，使l是曲线y＝f(x)的切线，也是曲线y＝g(x)的切线．‎ ‎(1)解　由已知得h(x)＝ax－xln a，则h′(x)＝axln a－ln a．令h′(x)＝0，解得x＝0.‎ 由a>1，可知当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，0)‎ ‎0‎ ‎(0，＋∞)‎ h′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ h(x)‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以函数h(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．‎ ‎(2)证明　由f′(x)＝axln a，可得曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线斜率为ln a.‎ 由g′(x)＝，可得曲线y＝g(x)在点(x2，g(x2))处的切线斜率为.‎ 因为这两条切线平行，所以有ln a＝，‎ 即x2(ln a)2＝1，‎ 两边取以a为底的对数，得 logax2＋x1＋2logaln a＝0，‎ 所以x1＋g(x2)＝－.‎ ‎(3)证明　曲线y＝f(x)在点(x1，)处的切线为l1：y－＝ln a·(x－x1)．曲线y＝g(x)在点(x2，logax2)处的切线为l2：y－logax2＝(x－x2)．‎ 要证明当a≥时，存在直线l，使l是曲线y＝f(x)的切线，也是曲线y＝g(x)的切线，只需证明当a≥时，存在x1∈(－∞，＋∞)，x2∈(0，＋∞)，使得l1与l2重合．‎ 即只需证明当a≥时，下面的方程组有解 由①得，x2＝，代入②，‎ 得－x1ln a＋x1＋＋＝0.③‎ 因此，只需证明当a≥时，关于x1的方程③存在实数解．‎ 3‎ 设函数u(x)＝ax－xaxln a＋x＋＋，‎ 即要证明a≥时，函数u(x)存在零点．‎ u′(x)＝1－(ln a)2xax，可知当x∈(－∞，0)时，u′(x)>0；当x∈(0，＋∞)时，u′(x)单调递减，又u′(0)＝1>0，u′＝1－<0，故存在唯一的x0，且x0>0，使得u′(x0)＝0，即1－(ln a)2x0＝0.‎ 由此可得u(x)在(－∞，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减．‎ u(x)在x＝x0处取得极大值u(x0)．‎ 因为a≥，所以ln ln a≥－1，‎ 所以u(x0)＝－x0ln a＋x0＋＋ ‎＝＋x0＋≥≥0.‎ 下面证明存在实数t，使得u(t)<0.‎ 由(1)可得ax≥1＋xln a，‎ 当x>时，有u(x)≤(1＋xln a)(1－xln a)＋x＋＋＝－(ln a)2x2＋x＋1＋＋，‎ 所以存在实数t，使得u(t)<0.‎ 因此当a≥时，存在x1∈(－∞，＋∞)，使得u(x1)＝0.‎ 所以当a≥时，存在直线l，使l是曲线y＝f(x)的切线，也是曲线y＝g(x)的切线.‎ 3‎