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- 2021-05-13 发布
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专题能力训练14 空间中的平行与垂直
一、能力突破训练
1.如图,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是( )
A.A1D B.AA1 C.A1D1 D.A1C1
2.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,点P在△AEF内的射影为O.则下列说法正确的是( )
A.O是△AEF的垂心 B.O是△AEF的内心
C.O是△AEF的外心 D.O是△AEF的重心
3.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.
③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.
15
④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号)
4.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为 .
5.下列命题中正确的是 .(填上你认为正确的所有命题的序号)
①空间中三个平面α,β,γ,若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ;
②若a,b,c为三条两两异面的直线,则存在无数条直线与a,b,c都相交;
③若球O与棱长为a的正四面体各面都相切,则该球的表面积为a2;
④在三棱锥P-ABC中,若PA⊥BC,PB⊥AC,则PC⊥AB.
6.
在正三棱柱A1B1C1-ABC中,点D是BC的中点,BC=BB1.设B1D∩BC1=F.
求证:(1)A1C∥平面AB1D;
(2)BC1⊥平面AB1D.
15
7.
如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是∠ABC=60°的菱形,M为PC的中点.
(1)求证:PC⊥AD;
(2)证明在PB上存在一点Q,使得A,Q,M,D四点共面;
(3)求点D到平面PAM的距离.
8.(2018全国Ⅰ,理18)
如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.
15
(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
二、思维提升训练
9.(2018浙江,8)已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角S-AB-C的平面角为θ3,则( )
A.θ1≤θ2≤θ3 B.θ3≤θ2≤θ1
15
C.θ1≤θ3≤θ2 D.θ2≤θ3≤θ1
10.
如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=,AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点.
(1)证明:①EF∥A1D1;②BA1⊥平面B1C1EF;
(2)求BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值.
11.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为CD的中点,F为AE的中点.现在沿AE将△ADE向上折起,在折起的图形中解答下列问题:
(1)在线段AB上是否存在一点K,使BC∥平面DFK?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由;
(2)若平面ADE⊥平面ABCE,求证:平面BDE⊥平面ADE.
12.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=,点D为AC的中点,点E在线段AA1上.
(1)当AE∶EA1=1∶2时,求证:DE⊥BC1;
(2)是否存在点E,使三棱锥C1-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A1B1C1体积的?若存在,求AE的长,若不存在,请说明理由.
15
13.如图,在四边形ABCD中(如图①),E是BC的中点,DB=2,DC=1,BC=,AB=AD=.将△ABD(如图①)沿直线BD折起,使二面角A-BD-C为60°(如图②).
(1)求证:AE⊥平面BDC;
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值;
(3)求点B到平面ACD的距离.
15
专题能力训练14 空间中的平行与垂直
一、能力突破训练
1.D 解析 易知A1C1⊥平面BB1D1D.
∵B1O⊂平面BB1D1D,∴A1C1⊥B1O,故选D.
2.A 解析 如图,易知PA,PE,PF两两垂直,
∴PA⊥平面PEF,从而PA⊥EF,
而PO⊥平面AEF,则PO⊥EF,
∴EF⊥平面PAO,∴EF⊥AO.
同理可知AE⊥FO,AF⊥EO,
∴O为△AEF的垂心.
3.②③④ 解析 对于①,若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α,β的位置关系无法确定,故错误;对于②,因为n∥α,所以过直线n作平面γ与平面α相交于直线c,则n∥c.因为m⊥α,所以m⊥c,所以m⊥n,故②正确;对于③,由两个平面平行的性质可知正确;对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确的命题有②③④.
4 解析
如图,取CD的中点F,SC的中点G,连接EF,EG,FG.
设EF交AC于点H,连接GH,易知AC⊥EF.
又GH∥SO,
∴GH⊥平面ABCD,
∴AC⊥GH.
15
又GH∩EF=H,∴AC⊥平面EFG.
故点P的轨迹是△EFG,其周长为
5.②③④ 解析 ①中也可以α与γ相交;②作平面与a,b,c都相交;③中可得球的半径为r=a;④中由PA⊥BC,PB⊥AC得点P在底面△ABC的射影为△ABC的垂心,故PC⊥AB.
6.证明 (1)连接A1B,设A1B交AB1于点E,连接DE.
∵点D是BC的中点,点E是A1B的中点,
∴DE∥A1C.
∵A1C⊄平面AB1D,DE⊂平面AB1D,
∴A1C∥平面AB1D.
(2)∵△ABC是正三角形,点D是BC的中点,
∴AD⊥BC.
∵平面ABC⊥平面B1BCC1,平面ABC∩平面B1BCC1=BC,AD⊂平面ABC,
∴AD⊥平面B1BCC1.
∵BC1⊂平面B1BCC1,∴AD⊥BC1.
∵点D是BC的中点,BC=BB1,
∴BD=BB1.
,∴Rt△B1BD∽Rt△BCC1,
∴∠BDB1=∠BC1C.
∴∠FBD+∠BDF=∠C1BC+∠BC1C=90°.
∴BC1⊥B1D.
∵B1D∩AD=D,∴BC1⊥平面AB1D.
7.(1)证法一 取AD的中点O,连接OP,OC,AC,依题意可知△PAD,△ACD均为正三角形,
15
所以OC⊥AD,OP⊥AD.
又OC∩OP=O,OC⊂平面POC,OP⊂平面POC,
所以AD⊥平面POC.
又PC⊂平面POC,所以PC⊥AD.
证法二 连接AC,依题意可知△PAD,△ACD均为正三角形.
因为M为PC的中点,所以AM⊥PC,DM⊥PC.
又AM∩DM=M,AM⊂平面AMD,DM⊂平面AMD,
所以PC⊥平面AMD.
因为AD⊂平面AMD,所以PC⊥AD.
(2)证明 当点Q为棱PB的中点时,A,Q,M,D四点共面,证明如下:
取棱PB的中点Q,连接QM,QA.
因为M为PC的中点,所以QM∥BC.
在菱形ABCD中,AD∥BC,所以QM∥AD,所以A,Q,M,D四点共面.
(3)解 点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离.
由(1)可知PO⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,
所以PO⊥平面ABCD,即PO为三棱锥P-ACD的高.
在Rt△POC中,PO=OC=,PC=,
在△PAC中,PA=AC=2,PC=,边PC上的高AM=,
所以△PAC的面积S△PAC=PC·AM=
设点D到平面PAC的距离为h,由VD-PAC=VP-ACD,得S△PAC·h=S△ACD·PO.
因为S△ACD=22=,所以h=,解得h=,
所以点D到平面PAM的距离为
15
8.(1)证明 由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,
所以BF⊥平面PEF.
又BF⊂平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)解 作PH⊥EF,垂足为H.
由(1)得,PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点,的方向为y轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.
由(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=又PF=1,EF=2,故PE⊥PF.
可得PH=,EH=
则H(0,0,0),P,D为平面ABFD的法向量.
设DP与平面ABFD所成角为θ,则sin θ=
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为
二、思维提升训练
9.D 解析 当点E不是线段AB的中点时,如图,点G是AB的中点,SH⊥底面ABCD,过点H作HF∥AB,过点E作EF∥BC,连接SG,GH,EH,SF.
可知θ1=∠SEF,θ2=∠SEH,θ3=∠SGH.
由题意可知EF⊥SF,
15
故tan θ1==tan θ3.
∴θ1>θ3.
又tan θ3==tan θ2,∴θ3>θ2.∴θ1>θ3>θ2.
当点E是线段AB的中点时,即点E与点G重合,此时θ1=θ3=θ2.
综上可知,θ1≥θ3≥θ2.
10.(1)证明 ①因为C1B1∥A1D1,C1B1⊄平面ADD1A1,
所以C1B1∥平面ADD1A1.
因为平面B1C1EF∩平面ADD1A1=EF,
所以C1B1∥EF.所以A1D1∥EF.
②因为BB1⊥平面A1B1C1D1,所以BB1⊥B1C1.
因为B1C1⊥B1A1,所以B1C1⊥平面ABB1A1,
所以B1C1⊥BA1.
在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点,
即tan∠A1B1F=tan∠AA1B=,即∠A1B1F=∠AA1B.故BA1⊥B1F.
又B1F∩B1C1=B1,所以BA1⊥平面B1C1EF.
(2)解 设BA1与B1F的交点为H,连接C1H(如图).
由(1)知BA1⊥平面B1C1EF,
所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角.
在矩形ABB1A1中,AB=,AA1=2,得BH=
在Rt△BHC1中,BC1=2,BH=,
得sin∠BC1H=
15
所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是
11.
(1)解 线段AB上存在一点K,且当AK=AB时,BC∥平面DFK.
证明如下:设H为AB的中点,连接EH,则BC∥EH.
又因为AK=AB,F为AE的中点,
所以KF∥EH,所以KF∥BC.
因为KF⊂平面DFK,BC⊄平面DFK,
所以BC∥平面DFK.
(2)证明 因为F为AE的中点,DA=DE=1,
所以DF⊥AE.因为平面ADE⊥平面ABCE,
所以DF⊥平面ABCE.
因为BE⊂平面ABCE,所以DF⊥BE.
又因为在折起前的图形中E为CD的中点,AB=2,BC=1,
所以在折起后的图形中AE=BE=,
从而AE2+BE2=4=AB2,所以AE⊥BE.
因为AE∩DF=F,所以BE⊥平面ADE.
因为BE⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ADE.
12.(1)证明 因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以△ABC是正三角形.
因为D是AC的中点,所以BD⊥AC.
又平面ABC⊥平面CAA1C1,所以BD⊥DE.
因为AE∶EA1=1∶2,AB=2,AA1=,
所以AE=,AD=1,
所以在Rt△ADE中,∠ADE=30°.
15
在Rt△DCC1中,∠C1DC=60°,
所以∠EDC1=90°,即DE⊥DC1.
因为C1D∩BD=D,所以DE⊥平面BC1D,
所以DE⊥BC1.
(2)解 假设存在点E满足题意.
设AE=h,则A1E=-h,
所以-S△AED-=2h-(-h)-h.
因为BD⊥平面ACC1A1,
所以h,又V棱柱=2=3,
所以h=1,解得h=,
故存在点E,当AE=,即E与A1重合时,三棱锥C1-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A1B1C1体积的
13.
(1)证明 如图,取BD的中点M,连接AM,ME.
∵AB=AD=,DB=2,
∴AM⊥BD.
∵DB=2,DC=1,BC=满足DB2+DC2=BC2,
∴△BCD是以BC为斜边的直角三角形,BD⊥DC,
∵E是BC的中点,
∴ME为△BCD的中位线,ME
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