高考上海文科数学试题及答案word解析版 5页

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）‎ 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4‎ 分，否则一律得零分．‎ ‎（1）【2014年上海，文1，5分】函数的最小正周期是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，所以．‎ ‎（2）【2014年上海，文2，5分】若复数，其中i是虚数单位，则 ．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】．‎ ‎（3）【2014年上海，文3，5分】设常数，函数，若，则 ．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】，所以，所以，故．‎ ‎（4）【2014年上海，文4，5分】若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】椭圆的右焦点右焦点为，故，故该抛物线的准线方程为．‎ ‎（5）【2014年上海，文5，5分】某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 ．‎ ‎【答案】70‎ ‎【解析】由分层抽样知高一、高二、高三抽取的学生数比为4:3:2，高三抽取的学生数为20，故高一、高二共需抽取的学生数为．‎ ‎（6）【2014年上海，文6，5分】若实数满足，则的最小值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由基本不等式可得，故的最小值为．‎ ‎（7）【2014年上海，文7，5分】若圆锥的侧面积是底面积的三倍，则其母线与轴所成的角大小为 ．（结果用反三角函数值表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得，，解得，记母线与轴所成的角为，则，即．‎ ‎（8）【2014年上海，文8，5分】在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 ．‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】由三视图可知，被割去的两个小长方体长为2，宽为3，高为2，故切割掉的两个小长 ‎ 方体的体积之和为2×3×2×2=24．‎ ‎（9）【2014年上海，文9，5分】设，若是的最小值，则的取值范围为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，当时，，因为是的最小值，故．‎ ‎（10）【2014年上海，文10，5分】设无穷等比数列的公比为，若 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为无穷等比数列的极限存在，所以，又因为即，解得．‎ ‎（11）【2014年上海，文11，5分】若，则满足的的取值范围是 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数的定义域为，即，在同一坐标系中作出（） ‎ 的图象（如图），由图象可知，当时，.故满足的的取值范围是．‎ ‎（12）【2014年上海，文12，5分】方程在区间上的所有解的和等于 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以，因为，所以，所以由可得或，解得，所以．‎ ‎（13）【2014年上海，文13，5分】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】记“选择的3天恰好为连续3天”的概率为P，从10天中选择3天共有种方法，从10天中选择连续的3天有8种选择方法，故．‎ ‎（14）【2014年上海，文14，5分】已知曲线，直线．若对于点，存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可设（），又因为，所以点P、A、Q在一条直线上，且A点为线段PQ的中点．所以，，又，所以．‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎（15）【2014年上海，文15，5分】设，则“”是“且”的（ ）‎ ‎ （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】由不能推出且，如满足，但不能满足且；如果 且，由不等式的性质可得；故“”是“且”的必要非充分条件，故选B．‎ ‎（16）【2014年上海，文16，5分】已知互异的复数满足，集合，则（ ）‎ ‎ （A）2 （B）1 （C）0 （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】（1）当时，可看作是的根，此时与矛盾，故舍去；‎ ‎（2）当时，可得，（*）因为，所以，所以（*）即为，即，所以，此时；‎ ‎①当时，，与矛盾且不满足集合的互异性，故舍去；‎ ‎②当时，，但此时不能满足集合的互异性，故舍去；‎ ‎③当时，，且满足集合的互异性，符合题意，此时；‎ ‎④当时，，且满足集合的互异性，符合题意，此时；‎ 综上所述，，故选D．‎ ‎（17）【2014年上海，文17，5分】如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，是大正方形的一条边，是小正方形的其余顶点，则的不同值的个数为（ ）‎ ‎ （A）7 （B）5 （C）3 （D）1‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，以点A为原点，建立坐标系，则 ‎，故 ‎ ‎，通过计算可得的值有0,2,4,共3个，故选C．‎ ‎（18）【2014年上海，文18，5分】已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）‎ ‎ （A）无论如何，总是有解 （B）无论如何，总有唯一解 ‎ ‎ （C）存在，使之恰有两解 （D）存在，使之有无穷多解 ‎【答案】B ‎【解析】解法一：‎ 由已知得，代入得解得，即直线与恒交于点（为常数），故选B．‎ 解法二：‎ 由已知条件，，，‎ ‎∴有唯一解，故选B．‎ 三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎（19）【2014年上海，文19，12分】底面边长为的正三棱锥，其表面展开图是三 角形，如图．求的各边长及此三棱锥的体积．‎ 解：根据题意可得共线，∵，，‎ ‎∴，∴，同理，∴是等 ‎ 边三角形，是正四面体，所以边长为4；∴．‎ ‎（20）【2014年上海，文20，14分】设常数，函数．‎ ‎（1）若，求函数的反函数；‎ ‎（2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．‎ 解：（1）∵，∴，∴，∴，‎ ‎ ∴，． ……6分 ‎（2）当时，，定义域为，故函数是偶函数；当时，定义域为 ‎，，故函数是奇函数；当时， ‎ 关于原点不对称，故函数既不是奇函数，也不是偶函数．……14分 ‎（21）【2014年上海，文21，14分】如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长米，长米． 设点在同一水平面上，从和看的仰角分别为和．‎ ‎（1）设计中是铅垂方向． 若要求，问的长至多为多少（结 果精确到米）？‎ ‎（2）施工完成后，与铅垂方向有偏差．现在实测得，，求的长（结果精确 ‎ 到米）．‎ 解：（1）设的长为米，则，∵， ∴，∴，‎ ‎∴，解得，∴的长至多为米． ……6分 ‎ ‎（2）设，，则，‎ 解得∴∴的长为米．……14分 ‎（22）【2014年上海，文22，16分】在平面直角坐标系中，对于直线和点，记． 若，则称点被直线分隔． 若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线．‎ ‎（1）求证：点被直线分隔；‎ ‎（2）若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；‎ ‎（3）动点到点的距离与到轴的距离之积为，设点的轨迹为曲线，求的方程，并证明 轴为曲线的分隔线．‎ 解：（1）将分别代入，得，‎ ‎ ∴点被直线分隔． ……3分 ‎（2）直线与曲线有公共点的充要条件是方程组有解，即．‎ 因为直线是曲线的分隔线，故它们没有公共点，即．‎ 当时，对于直线，曲线上的点和满足，即点和 被分隔．故实数的取值范围是． ……9分 ‎（3）设M的坐标为，则曲线E的方程为．‎ 对任意的不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点．又曲线E上的点对于 轴满足，即点被y轴分隔．所以y轴为曲线E的分割线． ……16分 ‎（23）【2014年上海，文23，18分】已知数列满足，，．‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）若是等比数列，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应的公比；‎ ‎（3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围．‎ 解：（1）依题意，，∴，又，∴，综上可得．……3分 ‎（2）设的公比为．由，且，得．因为，所以．‎ 从而，解得．时，．‎ 所以，的最小值为8，时，的公比为． ……9分 ‎（3）设数列的公差为．则，‎ ‎①当时，，所以，即．‎ ‎②当时，符合条件．‎ ‎③当时，，所以，，又，‎ 所以．‎ 综上，的公差的取值范围为． ……18分