高考重庆理科数学试题及答案word解析 5页

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）‎ 数学（理科）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．‎ ‎（1）【2015年重庆，理1】已知集合，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】，故选D．‎ ‎（2）【2015年重庆，理2】在等差数列中，若，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用可求得，故选B．‎ ‎（3）【2015年重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（）数据的茎叶图如右，则这组数据的中位数是（ ）‎ ‎（A）19 （B）20 （C）21.5 （D）23‎ ‎【答案】B ‎【解析】这组数据是8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32． 中位数是，故选B．‎ ‎（4）【2015年重庆，理4】“”是“”的（ ）‎ ‎（A）充要条件 （B）充分不必要条件 （C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】，故选B．‎ ‎（5）【2015年重庆，理5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】该立体图形是由一个三棱锥和一个半圆柱拼接而成的，其体积为两部分体积之和：，故选A．‎ ‎（6）【2015年重庆，理6】若非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】，结合，可得，‎ ‎，故选A．‎ ‎（7）【2015年重庆，理7】执行如图所示的程序框图，若输入的值为8，则判断框图可填入的条件是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，‎ ‎，判断框内应该填，故选C．‎ ‎（8）【2015年重庆，理8】已知直线：是圆：的对称轴，过点 ‎ 作圆的一条切线，切点为，则（ ）‎ ‎（A）2 （B） （C）6 （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】，其圆心坐标为，半径．由题意可知直线是圆的直径所在直线，它过圆心，所以．由几何图形可知，，故选C． ‎ ‎（9）【2015年重庆，理9】若，则＝（ ）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ 将式带入上式可得：，故选C．‎ ‎（10）【2015年重庆，理10】设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线交于点．若到直线的距离小于 ‎，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得：．在中，由射影定理有：．即点到直线的距离为，由题意得：<．而双曲线的渐近线斜率，故选A．‎ 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎（11）【2015年重庆，理11】设复数的模为，则 ．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】复数的模为．．‎ ‎（12）【2015年重庆，理12】的展开式中的系数是 （用数字作答）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】．故的展开式中的系数为．‎ ‎（13）【2015年重庆，理13】在中，，，的角平分线，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由正弦定理可得： ，‎ ‎，再由正弦定理可得：．‎ 考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．‎ ‎（14）【2015年重庆，理14】如图，圆的弦相交于点，过点作圆的切线与的延长线交于点，若，，，，则 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由切割线定理可得：．再由相交弦 定理可得：．‎ ‎（15）【2015年重庆，理15】已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极 ‎ 点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．则直线与曲线的交点的极坐标为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线的直角坐标方程为．由 ‎．由．‎ 故直线与曲线的交点的极坐标为．‎ ‎（16）【2015年重庆，理16】若函数的最小值为5，则实数 __．‎ ‎【答案】4或-6‎ ‎【解析】分情况讨论：（1）当时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：在处取得最小值5，所以；（2）当时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：在处取得最小值5，，综上，可得实数或4．‎ 三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． ‎ ‎（17）【2015年重庆，理17】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）端午节吃粽子是我国的传统 习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，‎ 从中任意选取3个．‎ ‎（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；‎ ‎（Ⅱ）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列与数学期望．‎ 解：（Ⅰ）令表示事件“三种粽子各取到一个”，则．‎ ‎（Ⅱ）所有可能取值为，且，， ．‎ 故分布列见表：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 且（个）．‎ ‎（18）【2015年重庆，理18】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）设．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期和最大值；‎ ‎（Ⅱ）讨论在上的单调性．‎ 解：（Ⅰ）由题，故的最小正周期 ‎，最大值为．‎ ‎（Ⅱ）由知，从而当即时，单调递增；当即时，单调递减．因此，在单调递增，在单调递减．‎ ‎（19）【2015年重庆，理19】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）如图，三棱锥中，平面，，，分别为线段上的点，且，．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ 解：（Ⅰ）因平面，平面，故．又，，故 ‎ 为等腰直角三角形，且．因，平面，平面，‎ 所以平面． ‎ ‎（Ⅱ）如图，取的中点，连．由（Ⅰ）知为等腰直角三角形，故，‎ ‎．又，故，因此，从而．‎ 以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系 ‎．则，，，，，故， ‎ ‎，．设为平面的法向量，则 即，取得．由（Ⅰ）知平面，故即为平面的法 向量．因，故所求二面角的余弦值为．‎ ‎（20）【2015年重庆，理20】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问5分）设函数．‎ ‎（Ⅰ）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若在上为减函数，求的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）由题，因在处取得极值，故，得．因此，．从而，，所以曲线在点处的切线方程为即．‎ ‎（Ⅱ）由题知对恒成立，故即对恒成立．显然在单调递减，故，所以，即的取值范围为．‎ ‎（21）【2015年重庆，理21】（本题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）如图，椭圆 ‎ 的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且 ‎ ‎．‎ ‎（Ⅰ）若，，求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求椭圆的离心率．‎ 解：（Ⅰ）由题，故．又，故，因此，从而椭圆方程为．‎ ‎（Ⅱ）连，由题，故，从而，因此，所以，得．‎ ‎（22）【2015年重庆，理22】（本题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）在数列中，，‎ ‎．‎ ‎（Ⅰ）若，，求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，，证明：．‎ 解：（Ⅰ）由，得．因，故，得．因此是首项为3公比为2的等比数列，从而．‎ ‎（Ⅱ）由题，因，故．‎ 因，即，‎ 故，‎ 因此，从而．‎ 综上可知．‎