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- 2021-05-13 发布
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2015年高考数学模拟试题
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,集合,那么( )
A. B. C. D.
2. 已知=(cos40°,sin40°),=(cos80°,sin80°),则· = ( )
A. 1 B. C. D.
3.复数,是z的共轭复数,复数在复平面内对应的点位于 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.已知的定义域为R,的导函数的图象如图
所示,则 ( )
A.在处取得极小值
B.在处取得极大值
C.是R上的增函数
D.是(-∞,1)上的减函数,(1,+∞)上的增函数
5.下列结论错误的个数是 ( )
①命题“若,则”与命题“若则”互为逆否命题;
②命题,命题则为真;
③ “若则”的逆命题为真命题;
④若为假命题,则、均为假命题.
A. 0 B. 1 C.2 D.3
6.奇函数在上的解析式是,则在上的函数解析式是 ( )
A. B.
C. D.
7.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注数字外完全相同,现从中随机取2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )
A. B. C. D.
8.已知函数y=tanωx在(-,)内是减函数,则( )
A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0 C.ω≥1 D.ω≤-1
9.三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直,且长度分别为3、4、5,则三棱锥P-ABC外接球的体积是 ( )
A. B. C. D.
10. 已知双曲线的两个焦点分别为(-,0),(,0),P是双曲线上的一点,
,则双曲线方程是( )
A. B.
C. D.
11. 在如图所示的程序框图中,当时,函数
表示函数的导函数,若输入函数
,则输出的函数可化为( )
A. sin(+) B.-sin(-)
C. -sin(-) D.sin(+)
12. 已知函数,若方程有且只有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(0,1) C.(-∞,1] D.[0,+∞)
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.
13. 如图所示两个立体图形都是由相同的小正方体拼成的.
图(1)的正(主)视图与图(2)的________视图相同.
14.若x,y满足约束条件
目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是 .
15.已知两点,点是圆上任意一点,则面积的最小值是 .
16.在△ABC中,a、b、c分别为三个内角A、B、C所对的边,设向量=(b-c,c-a),=(b,c+a),若向量,则角A的大小为 .
三.解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分12分)已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前项和为,点均在函数的图像上.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设是数列的前项和, 求证:.
18. (本小题满分12分)
如图,为圆的直径,点、在
圆上,,矩形所在的平面
和圆所在的平面互相垂直,且,.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)设的中点为,求证:平面;
(Ⅲ)设平面将几何体分成的两个
锥体的体积分别为,,求.
19. (本小题满分12分) 某高级中学共有学生2000人,各年级男、女生人数如下表:
高一
高二
高三
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名,抽到高二年级女生的概率是0.19.
(Ⅰ)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,问应在高三年级抽取多少人?
(Ⅱ)已知求高三年级女生比男生多的概率.
20. (本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)若在区间[1,+∞)上是增函数,求实数的取值范围;
(Ⅱ)若是的极值点,求在[1,]上的最大值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数,使得函数的图象与函数的图象恰有3个交点,若存在,请求出实数的取值范围;若不存在,试说明理由.
21. (本小题满分12分)
(文)如图,两条过原点的直线分别与轴、轴成的角,已知线段的长度为,且点在直线上运动,点在直线上运动.
(Ⅰ) 若,求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)设过定点的直线与(Ⅰ)中的轨迹交于不同的
两点、,且为锐角,求直线的斜率的取值范围.
请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.
A
C
P
D
O
E
F B
22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点,
为⊙上一点,AE=AC ,交于点,且,
(I)求的长度.
(II)若圆F且与圆内切,直线PT与圆F切于点T,求线段PT的长度
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为(为参数),若以直角坐标系
的点为极点,方向为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线的极坐标方程为
(Ⅰ)求直线的倾斜角;
(Ⅱ)若直线与曲线交于两点,求.
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数
(Ⅰ)解关于的不等式;
(Ⅱ)若函数的图象恒在函数图象的上方,求的取值范围。
参考答案
一、选择题:
1.(理)答案:D.
【解析】,,
则
(文)答案:C.
【解析】,,则
2. 答案:B.
【解析】由数量积的坐标表示知·=cos40°sin80°+sin40°cos80°=sin120°= sin60°=.
3.(理)答案:A.
【解析】显然,因为
,,则有,故选A.
(文)答案:A.
【解析】,,故选A.
4. 答案:C.
【解析】由图象易知≥0在R上恒成立,所以在R上是增函数.故选C.
5.答案:B.
【解析】根据四种命题的构成规律,选项A中的结论是正确的;选项B中的命题是真命题,命题是假命题,故为真命题,选项B中的结论正确;当时,,故选项C中的结论不正确;选项D中的结论正确.
6.(理)答案:D.
【解析】如图,曲边形的面积为.本题如果是以为积分变量,则曲边形的面积是.
(文)答案:B.
【解析】当时,,由于函数是奇函数,故。
7. (理)答案:B
【解析】本题主要考查独立重复试验事件概率的求法及数学期望的求法.抛掷-次,正好出现2枚正面向上,3枚反面向上的概率为,服从二项分布模型,即:则有.
(文)答案:D
【解析】本题主要考查古典概型.随机从袋子中取2个小球的基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共有10种,其中数字之和为3或6的有(1,2),(1,5),(2,4),∴数字之和为3或6的概率是P=.
8.(理)答案:C
【解析】本题主要考查复合函数的单调性.由sin(-2x)>0,得sin(2x-)<0,∴π+2kπ<2x-<2π+2kπ,k∈Z;又f(x)=lgsin(-2x)的增区间即sin(-2x)在定义域内的增区间,即sin(2x-)在定义域内的减区间,故π+2kπ<2x-<+2kπ,k∈Z.化简得+kπ-7且≠-3. ……………………12分
21.(理)【解析】(Ⅰ)由已知得直线,:,:,
在直线上运动,直线上运动,
,, …………………… 2分
由得,
即,,
由
所以动点的轨迹的方程为+=1 …………………… 4分
(Ⅱ)解法一:当直线l⊥x轴时,得A(-1,)、B(-1,-),
S△AOB=·|AB|·|OF1|=×3×1=,不符合题意. ………………………………5分
当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),k≠0,
由消去y,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.
显然Δ>0成立,设A(x1,y1)、B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1·x2=.
又|AB|== =
= = ,
即|AB|= ·=. ………………………8分
又圆O的半径r==,
所以S△AOB=·|AB|·r=··==.
化简得17k4+k2-18=0,即(k2-1)(17k2+18)=0,
解得k=1,k=-(舍), …………………………………10分
所以r==,
故圆O的方程为x2+y2=. ……………………………………12分
解法二:设直线l的方程为x=ty-1,
由消去x,
得(4+3t2)y2-6ty-9=0.
因为Δ>0恒成立,设A(x1,y1)、B(x2,y2),
则y1+y2=,y1·y2=-,
所以|y1-y2|=
==. ………………………………………8分
所以S△AOB=·|F1O|·|y1-y2|==.
化简得18t4-t2-17=0,即(18t2+17)(t2-1)=0,
解得t=1,t=-(舍). …………………………………………10分
又圆O的半径为r==,
所以r==,
故圆O的方程为x2+y2= ………………………………………………12分
(文)【解析】(Ⅰ)由已知得直线,:,:,
在直线上运动,直线上运动,
,, …………………… 2分
由得,
即,,
所以动点的轨迹的方程为. …………………… 4分
(Ⅱ)直线方程为,将其代入,
化简得,
设、
,,
且, …………………… 6分
为锐角,,
即,, ………………… 8分
.
将代入上式,
化简得,. …………………… 10分
由且,得. ……………………12分
22.【解析】(I)连结,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系
A
C
P
D
O
E
F B
结合题中条件弧长等于弧长可得
,
又,,
从而,故∽,
∴, …………4分
由割线定理知,故. …………6分
(II)若圆F与圆内切,设圆F的半径为r,因为即
所以是圆F的直径,且过P点圆F的切线为PT
则,即 …………10分
23. 【解析】(Ⅰ)直线参数方程可以化,根据直线参数方程的意义,
这条直线经过点,倾斜角为 ……………………5分
(Ⅱ)的直角坐标方程为,
的直角坐标方程为,…………………8分
所以圆心到直线的距离,。……………………10分
24.【解析】(Ⅰ)不等式,即。
当时,不等式的解集是;
当时,不等式的解集为;
当时,即,即或者,
即或者,解集为。……………………5分
(Ⅱ)函数的图象恒在函数图象的上方,即对任意实数恒成立。即对任意实数恒成立。
由于,故只要。
所以的取值范围是。 ……………………10分