导数历届高考压轴题 39页

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  • 2021-05-13 发布

导数历届高考压轴题

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‎1.已知函数的图象如图所示.‎ ‎(I)求的值;‎ ‎(II)若函数在处的切线方程为,求函数的解析式;‎ ‎(III)在(II)的条件下,函数与的图象有三个不同的交点,求的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2.已知函数.‎ ‎(I)求函数的单调区间;‎ ‎(II)函数的图象的在处切线的斜率为若函数在区间(1,3)上不是单调函数,求m的取值范围.‎ ‎3.已知函数的图象经过坐标原点,且在处取得极大值.‎ ‎(I)求实数的取值范围;‎ ‎(II)若方程恰好有两个不同的根,求的解析式;‎ ‎(III)对于(II)中的函数,对任意,求证:.‎ ‎4.已知常数,为自然对数的底数,函数,.‎ ‎(I)写出的单调递增区间,并证明;‎ ‎(II)讨论函数在区间上零点的个数.‎ ‎ ‎ ‎5.已知函数.‎ ‎(I)当时,求函数的最大值;‎ ‎ (II)若函数没有零点,求实数的取值范围 ‎6.已知函数 ‎ (I)讨论函数的单调性;‎ ‎ (II)证明:若 ‎7.设曲线:(),表示导函数.‎ ‎(I)求函数的极值;‎ ‎(II)对于曲线上的不同两点,,,求证:存在唯一的,使直线的斜率等于.‎ ‎8.定义,‎ ‎(I)令函数,写出函数的定义域;‎ ‎(II)令函数的图象为曲线C,若存在实数b使得曲线C在处有斜率为-8的切线,求实数的取值范围;‎ ‎(III)当且时,求证.‎ ‎9.(全国卷22)(本小题满分14分)已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,‎ ‎(i)求函数f(x)的最大值;‎ ‎(ii)设0a;‎ ‎(3)记(n=1,2,……),求数列{bn}的前n项和Sn。‎ ‎ ‎ 14. ‎(2009福建卷理)(本小题满分14分)已知函数,且,求:‎ ‎ (1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间;‎ ‎ (2)令,设函数在处取得极值,记点M (,),N(,),P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势,并解释以下问题:(I)若对任意的m (, x),线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点,试确定t的最小值,并证明你的结论;(II)若存在点Q(n ,f(n)), x n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点,请直接写出m的取值范围(不必给出求解过程)‎ ‎15.设二次函数,方程的两根和满足.‎ ‎(I)求实数的取值范围;‎ ‎(II)试比较与的大小.并说明理由.‎ ‎ ‎ 16. ‎(2009宁夏海南卷理)(本小题满分12分)已知函数 (1)如,求的单调区间;‎ ‎(2)若在单调增加,在单调减少,证明<6. ‎ ‎17.已知函数 (1) 若函数图象上任意不同两点连线的斜率都小于1,则;‎ (2) 若[0,1],函数图象上任一点切线的斜率为,求时的取值范围。‎ 参考答案:‎ ‎1.‎ 解:函数的导函数为 …………(2分)‎ ‎(I)由图可知 函数的图象过点(0,3),且 得 …………(4分)‎ ‎(II)依题意 且 ‎ ‎ ‎ 解得 所以 …………(8分)‎ ‎(III).可转化为:‎ 有三个不等实根,即:与轴有三个交点; ‎ ‎,‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 增 极大值 减 极小值 增 ‎. …………(10分)‎ 当且仅当时,有三个交点,‎ 故而,为所求. …………(12分)‎ ‎2.‎ 解:(I) (2分)‎ 当 当 当a=1时,不是单调函数 (5分)‎ ‎ (II)‎ ‎(6分)‎ ‎ (8分)(10分) (12分)‎ ‎3.‎ 解:(I)‎ ‎ 由,因为当时取得极大值,‎ ‎ 所以,所以;‎ ‎…………(4分)‎ ‎(II)由下表:‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎-‎ 递增 极大值 递减 极小值 递增 ‎ 依题意得:,解得:‎ ‎ 所以函数的解析式是: ‎ ‎…………(10分)‎ ‎(III)对任意的实数都有 ‎ 在区间[-2,2]有: ‎ 函数上的最大值与最小值的差等于81,‎ ‎ 所以.‎ ‎…………(14分)‎ ‎4.‎ 解:(I),得的单调递增区间是, …………(2分)‎ ‎∵,∴,∴,即. …………(4分)‎ ‎(II),由,得,列表 ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递减 极小值 单调递增 当时,函数取极小值,无极大值.‎ ‎ …………(6分)‎ 由(I),∵,∴,∴‎ ‎, …………(8分)‎ ‎(i)当,即时,函数在区间不存在零点 ‎(ii)当,即时 ‎ 若,即时,函数在区间不存在零点 ‎ 若,即时,函数在区间存在一个零点;‎ ‎ 若,即时,函数在区间存在两个零点;‎ 综上所述,在上,我们有结论:‎ 当时,函数无零点;‎ 当 时,函数有一个零点;‎ 当时,函数有两个零点.‎ ‎ …………(12分)‎ ‎5.‎ 解:(I)当时,‎ 定义域为(1,+),令, ………………(2分)‎ ‎∵当,当,‎ ‎∴内是增函数,上是减函数 ‎∴当时,取最大值 ………………(4分)‎ ‎(II)①当,函数图象与函数图象有公共点,‎ ‎∴函数有零点,不合要求; ………………(8分)‎ ‎②当, ………………(6分)‎ 令,∵,‎ ‎∴内是增函数,上是减函数,‎ ‎∴的最大值是, ‎ ‎∵函数没有零点,∴,,‎ 因此,若函数没有零点,则实数的取值范围.………………(10分)‎ ‎6.(1)的定义域为,‎ ‎ 2分 ‎(i)若,则 故在单调增加.‎ ‎(ii)若 ‎ 单调减少,在(0,a-1),‎ ‎ 单调增加.‎ ‎(iii)若 ‎ 单调增加.‎ ‎(II)考虑函数 ‎ ‎ 由 ‎ ‎ 由于,从而当时有 ‎ ‎ 故,当时,有 ‎7.解:(I),得 当变化时,与变化情况如下表:‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 单调递增 极大值 单调递减 ‎∴当时,取得极大值,没有极小值; …………(4分)‎ ‎(II)(方法1)∵,∴,∴‎ 即,设 ‎,,是的增函数,‎ ‎∵,∴;‎ ‎,,是的增函数,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴函数在内有零点, …………(10分)‎ 又∵,函数在是增函数,‎ ‎∴函数在内有唯一零点,命题成立…………(12分)‎ ‎(方法2)∵,∴,‎ 即,,且唯一 设,则,‎ 再设,,∴‎ ‎∴在是增函数 ‎∴,同理 ‎∴方程在有解 …………(10分)‎ ‎∵一次函数在是增函数 ‎∴方程在有唯一解,命题成立………(12分)‎ 注:仅用函数单调性说明,没有去证明曲线不存在拐点,不给分.‎ ‎8.解:(I),即 ……………………(2分)‎ 得函数的定义域是, ……………………(4分)‎ ‎(II)‎ 设曲线处有斜率为-8的切线,‎ 又由题设 ‎①②③‎ ‎∴存在实数b使得 有解, ……………………(6分)‎ 由①得代入③得, ‎ 有解, ……………………(8分)‎ 方法1:,因为,所以,‎ 当时,存在实数,使得曲线C在处有斜率为-8的切线 ‎………………(10分)‎ 方法2:得,‎ ‎ ………………(10分)‎ 方法3:是的补集,即 ………………(10分)‎ ‎(III)令 又令 ,‎ 单调递减. ……………………(12)分 单调递减, ‎ ‎,‎ ‎ ………………(14分) ‎ ‎9.‎ ‎(I)解:函数f(x)的定义域是(-1,∞),,令,解得x=0,当-10时,,又f(0)=0,故当且仅当x=0时,f(x)取得最大值,最大值是0‎ ‎(II)证法一:.‎ 由(I)的结论知,由题设0a时,因此F(x)在(a,+∞)上为增函数从而,当x=a时,F(x)有极小值F(a)‎ 因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即 设,则当x>0时,,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数,因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即 ‎10.解: (I)‎ ‎ 令,其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根,其充要条件为,得 ‎⑴当时,在内为增函数; ‎ ‎⑵当时,在内为减函数;‎ ‎⑶当时,在内为增函数;‎ ‎(II)由(I),‎ 设,‎ 则 ‎⑴当时,在单调递增;‎ ‎⑵当时,,在单调递减。 ‎ 故 ‎11. (1)令,由x>0,∴t>1,‎ 原不等式等价于 令f(t)=t-1-lnt,‎ ‎∵当时,有,∴函数f(t)在递增 ‎∴f(t)>f(1) 即t-1g(1)=0‎ ‎∴‎ 综上得 ‎(2)由(1)令x=1,2,……(n-1)并相加得 即得 ‎12.分析(I)这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根则有故有 ‎ 右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。‎ ‎(II)这一问考生不易得分,有一定的区分度。主要原因是含字母较多,不易找到突破口。此题主要利用消元的手段,消去目标中的,(如果消会较繁琐)再利用的范围,并借助(I)中的约束条件得进而求解,有较强的技巧性。‎ 解析 由题意有.①又...②(消元)‎ 消去可得.又,且 ‎ ‎13.解析:(1)∵,是方程f(x)=0的两个根,‎ ‎∴;‎ ‎ (2),‎ ‎=,∵,∴有基本不等式可知(当且仅当时取等号),∴同,样,……,(n=1,2,……),‎ ‎ (3),而,即,‎ ‎,同理,,又 ‎14.解法一:(Ⅰ)依题意,得由.‎ 从而令 ‎ ‎①当a>1时, 当x变化时,与的变化情况如下表:‎ x ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ 单调递增 单调递减 单调递增 由此得,函数的单调增区间为和,单调减区间为。‎ ‎②当时,此时有恒成立,且仅在处,故函数的单调增区间为R ‎③当时,同理可得,函数的单调增区间为和,单调减区间为 ‎ 综上:当时,函数的单调增区间为和,单调减区间为;‎ 当时,函数的单调增区间为R;‎ 当时,函数的单调增区间为和,单调减区间为.‎ ‎(Ⅱ)由得令得 由(1)得增区间为和,单调减区间为,所以函数在处取得极值,故M()N()。观察的图象,有如下现象:①当m从-1(不含-1)变化到3时,线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。‎ ‎②线段MP与曲线是否有异于H,P的公共点与Kmp-的m正负有着密切的关联;‎ ‎③Kmp-=0对应的位置可能是临界点,故推测:满足Kmp-的m就是所求的t最小值,下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率;‎ 线段MP的斜率Kmp当Kmp-=0时,解得 直线MP的方程为 令 当时,在上只有一个零点,可判断函数在上单调递增,在上单调递减,又,所以在上没有零点,即线段MP与曲线没有异于M,P的公共点。当时,.所以存在使得即当MP与曲线有异于M,P的公共点 综上,t的最小值为2.‎ ‎(2)类似(1)于中的观察,可得m的取值范围为 解法二:‎ ‎(1)同解法一.‎ ‎(2)由得,令,得由(1)得的单调增区间为和,单调减区间为,所以函数在处取得极值。故M().N() (Ⅰ) 直线MP的方程为由 得线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(-1,m)上有根,即函数上有零点.因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.‎ 等价于 即 又因为,所以m 的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的r的最小值为2.‎ ‎15.本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法,考查推理和运算能力.‎ 解法1:(Ⅰ)令,‎ 则由题意可得.‎ 故所求实数的取值范围是.‎ ‎(II),令.‎ 当时,单调增加,当时,‎ ‎,即.‎ 解法2:(I)同解法1.‎ ‎(II),由(I)知,‎ ‎.又于是 ‎,‎ 即,故.‎ 解法3:(I)方程,由韦达定理得 ‎,,于是 ‎.‎ 故所求实数的取值范围是.‎ ‎(II)依题意可设,则由,得 ‎,故.‎ ‎16. ‎ ‎(Ⅱ)‎ 由条件得:从而 因为所以 将右边展开,与左边比较系数得,故 又由此可得 于是 ‎ ‎17.解答(1)设A(,B(是函数图象上任意不同两点,则,显然,不妨设,则,即,构造函数,则在R上是减函数,则在R上恒成立,故,解之得 ‎(2)当[0,1]时,,即对任意的[0,1],,即在[0,1]成立,由于,则必需满足或或,解得