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  • 2021-05-13 发布

辽宁高考数学理科试题及答案

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‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)‎ 数 学(理)‎ 乐享玲珑,为中国数学增光添彩!‎ 免费,全开放的几何教学软件,功能强大,好用实用 第I卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数的模为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2.已知集合 A. B. C. D. ‎ ‎3.已知点 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎4.下面是关于公差的等差数列的四个命题:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中的真命题为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎5.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为,若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是 ‎0.02‎ ‎0.015‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ 频率 组距 O 20 40 60 80 100 成绩/分 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎6.在,内角所对的边长分别为且,则 A. B. C. D. ‎ ‎7.使得 A. B. C. D. ‎ ‎8.执行如图所示的程序框图,若输入 A. B. C. D. ‎ 否 是 开始 输入 输出S 结束 ‎9.已知点 A. B. ‎ C. D.‎ ‎10.已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,,则球的半径为 A. B. C. D. ‎ ‎11.已知函数设表示中的较大值,表示中的较小值,记得最小值为得最小值为,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎12.设函数 ‎(A)有极大值,无极小值 (B)有极小值,无极大值 ‎ ‎(C)既有极大值又有极小值 (D)既无极大值也无极小值 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 .‎ ‎14.已知等比数列是递增数列,是的前项和,若是方程的两个根,则 .‎ ‎15.已知椭圆的左焦点为与过原点的直线相交于两点,连接,若,则的离心率 .‎ ‎16.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互相不相同,则样本数据中的最大值为 .‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分12分)设向量 ‎(I)若 (II)设函数 ‎18.(本小题满分12分)如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点。‎ ‎(I)求证:‎ ‎(II)‎ ‎19.(本小题满分12分)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答。‎ ‎(I)求张同学至少取到1道乙类题的概率;‎ ‎(II)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数,求的分布列和数学期望.‎ ‎20.(本小题满分12分)如图,抛物线,点在抛物线上,过作的切线,切点为(为原点时,重合于),切线的斜率为。‎ ‎(I)求的值;‎ ‎(II)当在上运动时,求线段中点的轨迹方程。‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数 ‎(I)求证: ‎ ‎(II)若恒成立,求实数取值范围。‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,垂直于于,垂直于,连接。证明:‎ ‎(I) (II)‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中以为极点,轴正半轴为极轴建立坐标系.圆,直线的极坐标方程分别为.‎ ‎(I)求与交点的极坐标;‎ ‎(II)设为的圆心,为与交点连线的中点。已知直线的参数方程为 ‎,求的值。‎ ‎24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数,其中。‎ ‎(I)当时,求不等式的解集; ‎ ‎(II)已知关于的不等式的解集为,求的值。‎ 参考答案 ‎ ‎ 一.选择题:‎ ‎1. B 由已知所以 ‎2. D解:由集合A,;所以 ‎3. A解:,所以,这样同方向的单位向量是 ‎4.D解:设,所以正确;如果则满足已知,但并非递增所以错;如果若,则满足已知,但,是递减数列,所以错;,所以是递增数列,正确 ‎5.B 解:第一、第二小组的频率分别是、,所以低于60分的频率是0.3,设班级人数为,则,。‎ ‎6.A 解:边换角后约去,得,所以,但B非最大角,所以。‎ ‎7.B解:通项,常数项满足条件,所以时最小 ‎8.A 解:的意义在于是对求和。因为,同时注意,所以所求和为=‎ ‎9.C解:显然角O不能为直角(否则得不能组成三角形)若A为直角,则根据A、B纵坐标相等,所以;若B为直角,则利用得,所以选C ‎10.C解:由球心作面ABC的垂线,则垂足为斜边BC中点M。计算AM=,由垂径定理,OM=,所以半径R=‎ ‎11.B解: 顶点坐标为,顶点坐标,并且每个函数顶点都在另一个函数的图象上,图象如图, A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标,所以A-B=‎ ‎12.D解:由已知,。在已知中令,并将 代入,得;因为,两边乘以后令。求导并将(1)式代入,,显然时,,减;时,,增;并且由(2)式知,所以为的最小值,即,所以,在时得,所以为增函数,故没有极大值也没有极小值。‎ ‎13. 解:直观图是圆柱中抽出正四棱柱。‎ ‎14. 63解:由递增,,所以,代入等比求和公式得 ‎15. 解: 由余弦定理,,解得,所以A到右焦点的距离也是8,,由椭圆定义:,又,所以 ‎16. 10 解:设五个班级的数据分别为。由平均数方差的公式得,,显然各个括号为整数。设分别为,,则。设=‎ ‎=,因为数据互不相同,分析的构成,得恒成立,因此判别式,得,所以,即。‎ ‎17.解:(I)由,‎ ‎,及 又,所以.‎ ‎(II)=.‎ 当所以 ‎ ‎18.解:(I)由AB式圆的直径,得AC⊥BC、‎ ‎ 由PA⊥平面ABC、BC⊂平面ABC、得PA⊥BC.‎ ‎ 又PA⋂AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,‎ ‎ 所以BC⊥平面PAC.‎ ‎ 因为BC⊂平面PBC.‎ ‎ 所以平面PBC⊥平面PAC.‎ ‎(II)(解法一)过C作CM//AP,则CM⊥平面ABC.,如图,以点C为坐标原点,分别以直线CB、CA、CM为x轴,y轴,z轴建立空间直角标系 因为AB=2、AC=1、所以A(0、1、0)、B(、P(0、1、1)‎ 故=.设平面BCP的法向量为.‎ ‎ ‎ 不妨令y=1.则n=(0、1、-1).因为 设平面ABP的法向量为. 则,所以 不妨令x=1、则.‎ 于是cos<>=,‎ 所以由题意可知二面角C-PB-A的余弦值为.‎ 过C作CM⊥AB于M、因为PA⊥平面ABC、CM⊂平面ABC,所以PA⊥CM.‎ 故CM⊥平面PAB,过M作MN⊥PB于N,链接NC,由三垂线定理得CN⊥PB.‎ 所以∠CNM为二面角C-PB-A的平面角.‎ 在RtΔABC中,由AB=2、AC=1、得 在RtΔPAB中,由AB=2、PA=1、得PB=.‎ 因为RtΔBNM∽RtΔBAP,所以 又在RtΔCNM中,CN=,故cos∠CNM=.‎ 所以二面角C-PB-A的余弦值为。‎ ‎19.解:(I)设事件A=“张同学所取的3道题至少有1道乙类题,则有=”张同学所取的3道题都是甲类题“.‎ ‎,所以 ‎ .‎ ‎(II)X所有的可能取值为0、1、2、3.‎ ‎ ;‎ ‎ ;‎ ‎ ;‎ ‎ .‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(X)=0×+1×+2×。‎ ‎20.解:因为抛物线上任意一点(x,y)的切线斜率为,且切线MA的斜率为-,所以A点坐标为(-1,)。故切线MA的方程为 ‎ .‎ 因为点M在切线MA及抛物线上,于是 ‎ , ①‎ ‎ . ②‎ 由①②得p=2.‎ ‎(II)设N(x,y),A由N为线AB中点知 ‎ ③‎ ‎ . ④‎ 切线MA、MB的方程为 ‎ ⑤‎ ‎ ⑥‎ 由⑤⑥得MA,MB的交点M的坐标为 ‎ . ‎ ‎ 原M(‎ ‎ . ⑦‎ 由③④⑦得 ‎ ‎ ‎ 当时,A,B重合与原点O,AB 中点N为O,坐标满足.‎ 因此AB中点N的轨迹方程为 ‎ .‎ ‎21.(I)证明:要证x[0,1]时,≧1-,需证明≧.‎ 当x∈(0,1)时 ‎ ‎(x)>0,因此h(x)在【0,1】上市增函数,故h(x)≧h(0)=0.所以 ‎ ‎ ‎ ‎ 记>0,因此 K(x)在[0,1]上试增函数,故K(x)≥K(0)=0.所以 ‎ .‎ 综上,.‎ ‎(II)(解法一)‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎.‎ 记H(x)=x-2sin x,则H(x)=1-2cos x,当x<0,于是G(x)在[0,1]上试减函数,从而当xϵ(0,1)时,<(0)=0,故在[0,1]上是减函数,于是,从而 ‎ A+1+G(x)≤a+3,‎ 所以,当上恒成立,‎ 下面证明,当a>-3时, 在[0,1]上不恒成立.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎<0,故上试减函数,于是在[0,1]上的值域为[a+1+2cos 1,a+3].‎ ‎ 因为当a>-3时,a+3>0,所以存在,使得>0,此时0,于是在[0,1]上试增函数,因此当xϵ(0,1)时,G(x)>G(0)=0,从而F(x)在[0,1]上是增函数,因此F(x)≥F(0)=0,所以 ‎ 当xϵ[0,1]时,‎ ‎ 同理可证,当 所以x.‎ 因为当xϵ[0,1]时,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 所以当a≤-3时,在[0,1]上不恒成立.因为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以存在(例如中的较小值)满足