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  • 2021-05-13 发布

广东高考试题分类汇编10数列解答题

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‎2012全国高考分类解析(10)数列 三、解答题:‎ ‎1.(2007年高考)已知函数,是方程的两个根,是的导数.设,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)已知对任意的正整数有,记.求数列的前项和.‎ ‎【解析】(1) 由 ,得,‎ ‎ ∴,.‎ ‎ (2) ,,‎ ‎ ,‎ ‎ ∴ ,又 ,‎ ‎∴数列是一个首项为 ,公比为2的等比数列;‎ ‎∴ .‎ ‎2.(2008年高考)设数列满足,, .数列满足是非零整数,且对任意的正整数和自然数,都有.‎ ‎(1)求数列和的通项公式;‎ ‎(2)记,求数列的前项和.‎ ‎【解析】(1)由得 ‎ 又 , 数列是首项为1公比为的等比数列, ‎ ‎ ,‎ 当n为奇数时 当n为偶数时 ‎ 由 得 ,由 得 ,…‎ ‎ 同理可得当n为偶数时,;当n为奇数时,;因此 当n为奇数时 当n为偶数时 ‎ (2) ‎ 当n为奇数时,‎ ‎ ‎ 当n为偶数时 令 ……①‎ ‎①×得: ……②‎ ‎①-②得: , ‎ ‎ ∴ ,‎ 当n为奇数时 当n为偶数时 因此 ‎ ‎3.(2009年高考)已知点是函数的图像上一点.等比数列的前项和为.数列的首项为且前项和满足.‎ ‎(1)求数列和的通项公式; ‎ ‎ (2)若数列的前项和为,问满足的最小正整数是多少?‎ ‎【解析】(1)∵,∴.‎ ‎ ,,‎ ‎ .‎ 又数列成等比数列,,∴ .‎ 又公比,所以 ,;‎ ‎∵ ,‎ 又,,∴;‎ 数列构成一个首相为1公差为1的等差数列, ,,‎ 当, ,∴().‎ ‎(2) ‎ ; ‎ ‎ 由,得,满足的最小正整数为.‎ ‎4.(2011年高考) 设b>0,数列满足,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)证明:对于一切正整数,.‎ ‎ 【解析】∵,∴,∴,‎ ‎ 当时, ∴, ‎ ‎ ∴当时,是以为首项,公差为1的等差数列,‎ ‎ ∴, ∴. ∵也符合, ∴,.‎ ‎ 当时, 令, ∴, ∴, ‎ ‎ ∴ ∴,‎ ‎ ∴当时,是以为首项,公比为的等比数列,‎ ‎∴, ∴ .‎ ‎ ∵也符合, ∴,.‎ ‎ 综上:当时,,. 当时,,.‎ (2) 证明:当时,,.‎ ‎ ∴对于一切正整数,.‎ ‎ 当时, ∴, ∴要证.‎ ‎ 即证. 即证.‎ ‎ 即证.‎ ‎ 即证.‎ ‎ 设, ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ‎ ∴根据均值不等式得:‎ ‎ ‎ .‎ ‎ ∴当时,对于一切正整数,.‎ ‎ 综上:对于一切正整数,.‎ ‎5.(2012年高考)设数列的前项和为,数列的前项和为,满足.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求数列的通项公式.‎ ‎【解析】(1)当时,,‎ ‎∵,∴,∴,‎ ‎(2)当时,‎ ,‎ ‎∵当时,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎ ∴数列是以为首项,为公比的等比数列,‎ ‎ ∴,∴,‎ ‎ ∵,‎ ‎∴,. ‎ ‎6.(2013)‎ 设各项均为正数的数列的前项和为,满足且构成等比数列.‎ ‎(1) 证明:;‎ ‎(2) 求数列的通项公式;‎ ‎(3) 证明:对一切正整数,有 ‎6、(1)当时,, ‎ ‎(2)当时,, , 当时,是公差的等差数列.‎ 构成等比数列,,,解得,‎ 由(1)可知, 是首项,公差的等差数列.‎ ‎ 数列的通项公式为.‎ ‎(3)