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- 2021-05-13 发布
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2012全国高考分类解析(10)数列
三、解答题:
1.(2007年高考)已知函数,是方程的两个根,是的导数.设,.
(1)求的值;
(2)已知对任意的正整数有,记.求数列的前项和.
【解析】(1) 由 ,得,
∴,.
(2) ,,
,
∴ ,又 ,
∴数列是一个首项为 ,公比为2的等比数列;
∴ .
2.(2008年高考)设数列满足,, .数列满足是非零整数,且对任意的正整数和自然数,都有.
(1)求数列和的通项公式;
(2)记,求数列的前项和.
【解析】(1)由得
又 , 数列是首项为1公比为的等比数列,
,
当n为奇数时
当n为偶数时
由 得 ,由 得 ,…
同理可得当n为偶数时,;当n为奇数时,;因此
当n为奇数时
当n为偶数时
(2)
当n为奇数时,
当n为偶数时
令 ……①
①×得: ……②
①-②得: ,
∴ ,
当n为奇数时
当n为偶数时
因此
3.(2009年高考)已知点是函数的图像上一点.等比数列的前项和为.数列的首项为且前项和满足.
(1)求数列和的通项公式;
(2)若数列的前项和为,问满足的最小正整数是多少?
【解析】(1)∵,∴.
,,
.
又数列成等比数列,,∴ .
又公比,所以 ,;
∵ ,
又,,∴;
数列构成一个首相为1公差为1的等差数列, ,,
当, ,∴().
(2)
;
由,得,满足的最小正整数为.
4.(2011年高考) 设b>0,数列满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:对于一切正整数,.
【解析】∵,∴,∴,
当时, ∴,
∴当时,是以为首项,公差为1的等差数列,
∴, ∴. ∵也符合, ∴,.
当时, 令, ∴, ∴,
∴ ∴,
∴当时,是以为首项,公比为的等比数列,
∴, ∴ .
∵也符合, ∴,.
综上:当时,,. 当时,,.
(2) 证明:当时,,.
∴对于一切正整数,.
当时, ∴, ∴要证.
即证. 即证.
即证.
即证.
设,
∴
∴根据均值不等式得:
.
∴当时,对于一切正整数,.
综上:对于一切正整数,.
5.(2012年高考)设数列的前项和为,数列的前项和为,满足.
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式.
【解析】(1)当时,,
∵,∴,∴,
(2)当时,
,
∵当时,
∴,
∴,
∴数列是以为首项,为公比的等比数列,
∴,∴,
∵,
∴,.
6.(2013)
设各项均为正数的数列的前项和为,满足且构成等比数列.
(1) 证明:;
(2) 求数列的通项公式;
(3) 证明:对一切正整数,有
6、(1)当时,,
(2)当时,,
,
当时,是公差的等差数列.
构成等比数列,,,解得,
由(1)可知,
是首项,公差的等差数列.
数列的通项公式为.
(3)