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  • 2021-05-13 发布

2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练三角函数的图像和性质

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考点13 三角函数的图像和性质 ‎【考点分类】‎ 热点一 三角函数的图像 ‎1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)文科】函数的最小正周期和振幅分别是( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎2.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】若函数的部分图像如图,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵由题中图像可知.∴.∴.∴.故选B. ‎ ‎3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)文科】函数的部分图象如图所示,则的值分别是( )[来源:学科网ZXXK]‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎4、【2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科】函数的部分图象如图所示,则的值分别是( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)理】将函数的图象向左平移个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理】将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线ι1,ι2之间,ι//ι1,ι与半圆相交于F,G两点,与三角形ABC两边相交于E,D两点.设弧FG的长为x(0<x<π),y=EB+BC+CD,若ι从ι1平行移动到ι2,则函数y=f(x)的图像大致是 P M N ‎8.(2012年高考(浙江理))把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是( )‎ ‎9.(2012年高考(课标文))已知>0,,直线=和=是函数图像的两条相邻的对称轴,则= (  )‎ A. B. C. D. 选D. ‎ ‎10.【2013年高考新课标Ⅱ数学(文)卷】 函数的图像向右平移个单位后,与函数的图像重合,则=___________.‎ ‎11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)理】‎ 已知函数,其中常数.‎ ‎(1)若在上单调递增,求的取值范围;‎ ‎(2)令,将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数 的图像,区间(且)满足:在上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的中,求的最小值.‎ ‎12.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷文科)】‎ 设函数.‎ ‎(Ⅰ)求的最小值,并求使取得最小值的的集合;‎ ‎(Ⅱ)不画图,说明函数的图像可由的图象经过怎样的变化得到.‎ ‎13.(2012年高考(四川理))函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形.‎ ‎(Ⅰ)求的值及函数的值域;‎ ‎(Ⅱ)若,且,求的值.‎ ‎14.(2012年高考(陕西文))函数()的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为,‎ ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎(2)设,则,求的值.‎ ‎ ∵,∴,∴,故.‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.用“五点法”作图应抓住四条:①将原函数化为y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)或y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式;②求出周期T=;③求出振幅A;④列出一个周期内的五个特殊点,当画出某指定区间上的图象时,应列出该区间内的特殊点.‎ ‎2.y=Asin(ωx+φ)的图象有无穷多条对称轴,可由方程ωx+φ=kπ+(k∈Z)解出;它还有无穷多个对称中心,它们是图象与x轴的交点,可由ωx+φ=kπ(k∈Z),解得x=(k∈Z),即其对称中心为(,0)(k∈Z).‎ ‎3.相邻两对称轴间的距离为,相邻两对称中心间的距离也为.‎ ‎4.根据y=Asin(ωx+φ)+k的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑:‎ ‎(1)A的确定:根据图象的最高点和最低点,即A=;‎ ‎(2)k的确定:根据图象的最高点和最低点,即k=;‎ ‎(3)ω的确定:结合图象,先求出周期T,然后由T=(ω>0)来确定ω;‎ ‎(4)φ的确定:由函数y=Asin(ωx+φ)+k最开始与x轴的交点的横坐标为-(即令ωx+φ=0,x=-)确定φ.‎ 热点二 三角函数的最值 ‎13.【2013年全国高考统一考试天津数学(文)卷】函数在区间上的最小值是( )‎ ‎ (A) (B) ‎ ‎ (C) (D) 0‎ ‎14.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】已知函数,下列结论中错误的是( )‎ A.的图像关于点中心对称 B.的图像关于直线对称 C.的最大值为 D.既是奇函数,又是周期函数 ‎15.(2012年高考(湖南理))函数的值域为(  )‎ A.[ -2 ,2] B.[-,] C.[-1,1 ] D.[- , ]‎ ‎16.【2013年全国高考新课标(I)理科】设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.‎ ‎17.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)文科】设f(x)=sin3x+cos3x,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是 .‎ ‎18(2012年高考(大纲理))当函数取得最大值时,_______________.‎ ‎19.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科】‎ 设函数,且 的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎20.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】‎ 已知向量, 设函数. ‎ ‎ (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. ‎ ‎ (Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值. ‎ 所以,f (x) 在上的最大值,最小值分别为.‎ ‎21.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文】‎ 已知函数 ‎(Ⅰ)求的最小正周期及最大值;‎ ‎(Ⅱ)若,且,求的值.[来源:学科网ZXXK]‎ ‎22.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)文科】‎ 设向量 ‎(I)若 ‎(II)设函数 ‎[答案](I)由可得,代入得 ‎23.(2012年高考(四川文))已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期和值域;‎ ‎(Ⅱ)若,求的值.‎ ‎24. 2012年高考(山东理))已知向量,函数的最大值为6.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象.求在上的值域. ‎ ‎【方法总结】‎ 求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法:‎ ‎(1)利用sin x、cos x的值域;‎ ‎(2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域;‎ ‎(3)换元法:把sin x或cos x看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.‎ 热点三 三角函数的性质 ‎25.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)文科】‎ 将函数后得到函数( )‎ A. B. C. D.‎ ‎26.【2013年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷理】‎ 已知函数,则“是奇函数”是的( )‎ A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ ‎ C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎27.(2012年高考(新课标理))已知,函数在上单调递减.则的取值范 围是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】‎ ‎28.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】函数的最小正周期为 .‎ ‎29.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】函数的最小正周期T为_______.‎ ‎30【2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】‎ 已知函数. ‎ ‎(Ⅰ) 求的最小正周期; ‎ ‎(Ⅱ) 求在区间上的最大值和最小值. ‎ 故函数在区间上的最大值为,最小值为.‎ ‎31.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】已知函数的周期为,图象的一个对称中心为,将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.‎ (1) 求函数与的解析式 (2) 是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定的个数,若不存在,说明理由;‎ (3) 求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点 故当时,直线与曲线在内有无交点,在内有个交点;‎ 当时,直线与曲线在内有个交点,在内无交点;‎ 当时,直线与曲线在内有个交点,在内有个交点 ‎32.(2012年高考(湖北文))设函数的图像关于直线对称,其中为常数,且 ‎(1) 求函数的最小正周期;‎ ‎(2) 若的图像经过点,求函数的值域.‎ ‎33.(2012年高考(北京理))已知函数.‎ ‎(1)求的定义域及最小正周期;‎ ‎(2)求的单调递增区间. ‎ 解(1):得:函数的定义域为 ‎ 【方法总结】‎ 求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:①把“ωx+φ(ω>0)”视为一个“整体”;②A>0(A<0)时,所列不等式的方向与y=sin x(x∈R),y=cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反).‎ ‎【考点剖析】‎ 一.明确要求 ‎1.考查三角函数的值域与最值 ‎2.考查三角函数的单调性 ‎3.利用三角函数的值域和单调性求参数的值 二.命题方向 ‎1.三角函数的最值以及三角函数的单调性是历年高考的重要考点.‎ ‎2.利用三角函数的单调性求最值、利用单调性求参数是重点也是难点.‎ ‎3.题型不限,选择题、填空题、解答题都有可能出现,常与多个知识点交汇命题.‎ 三.规律总结 一种方法 在由图象求三角函数解析式时,若最大值为M,最小值为m,则A=,k=,ω由周期T确定,即由=T求出,φ由特殊点确定.‎ 一个区别 由y=sin x的图象变换到y=Asin (ωx+φ)的图象,两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是(ω>0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值.‎ ‎ 两个注意 作正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象时应注意:‎ ‎(1)首先要确定函数的定义域;‎ ‎(2)对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可根据周期性作出整个函数的图象.‎ 两条性质 ‎(1)周期性 函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为.‎ ‎(2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx,而偶函数一般可化为y=Acos ωx+b的形式.‎ 三种方法 求三角函数值域(最值)的方法:‎ ‎(1)利用sin x、cos x的有界性;‎ ‎(2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域;‎ ‎(3)换元法:把sin x或cos x看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.‎ ‎【考点模拟】‎ 一.扎实基础 ‎1. 【河北省保定市2013年高三第一次模拟考试】设函数的部分图象如右图所示,则函数f(x)的表达式为 ‎ A、   B、‎ C、   D、[来源:Zxxk.Com]‎ ‎2. 【2013浙江宁波市(4月份)高考模拟考试】函数是( )‎ ‎(A)周期为的偶函数 (B)周期为2的偶函数 ‎ ‎(C)周期为的奇函数 (D)周期为2的奇函数 ‎3. 【东北三校2013届高三4月第二次联考】将函数的图像向左平移个单位,再向上平移个单位,所得的图像的函数解析式为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4. 【山东省济南市2013届高三高考第一次模拟考试】右图是函数在区间上的图象.为了得到这个函数的图象,只需将的图象上所有的点( ) ‎ ‎ A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变 B.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变 D.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 ‎5. 【内蒙古赤峰市2013届高三最后一次仿真统考】已知函数的部分图像如图所示,则等于( )‎ A. B. C. D. 1‎ ‎6. 【浙江省镇海中学2013年高三考前模拟】设函数,对任意都有 ‎,若函数,则的值为 ( )‎ ‎ 或 ‎ ‎7. 【广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟】当时,函数取得最小值,则函数 ( ) ‎ A.是奇函数且图像关于点对称 B.是偶函数且图像关于点对称 ‎ C.是奇函数且图像关于直线对称 D.是偶函数且图像关于直线对称 ‎8. 【2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考】函数为增函数的区间是( )‎ ‎ ‎ ‎9. 【2013年山东省日照市高三模拟考试】已知函数的图象如右图所示,则函数的图象可能是( )‎ ‎10. 【山东省威海市2013届高三上学期期末考试】函数向左平移个单位后是奇函数,则函数在上的最小值为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 二.能力拔高 ‎11. 【湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三下学期6月适应性考试】已知函数的定义域为[a,b],值域为[-2,1],则值不可能是 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎12. 【河北省邯郸市2013年高三第二次模拟考试】将函数y=2sinxsin(+x)的图象向右平移少 (>0)个单位,使得平移后的图象仍过点(, ),则的最小值为[来源:gkstk] ( )‎ A B. C. D. ‎ ‎13.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】‎ 设函数,且其图象关于直线对称,则 ( )‎ A.的最小正周期为,且在上为增函数 B.的最小正周期为,且在上为减函数 C.的最小正周期为,且在上为增函数 D.的最小正周期为,且在上为减函数 ‎【答案】B ‎14. 【山东省济南市2013届高三高考第一次模拟考试】 已知函数的最小正周期为,则的单调递增区间( )‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎15. 【四川省乐山市高中2013届第三次调研考试】直线与在区间上截曲线所得的弦长相等且不为零,则下列结论正确的是( )‎ A.; B.; C.; D.;‎ ‎[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ ‎16. 【上海市2013届高考普陀二模卷】函数y=sin2x+2cosx的定义域为,值域为,则 的取值范围是 .‎ x ‎1‎ ‎1‎ t=cosx a ‎【答案】0≤a≤‎ ‎【解析】y=sin2x+2cosx=-cos2x+2cosx+1=-(cosx-1)2+2,‎ ‎ ‎ ‎17. 【山东省泰安市高三第一轮复习质量检测】‎ 当时,函数取得最小值,则函数是( )‎ A.奇函数且图像关于点对称 B.偶函数且图像关于点对称 C.奇函数且图像关于直线对称 D.偶函数且图像关于点对称 ‎18. .【山东省枣庄市2013届高三第一次模拟考试】设是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数,其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系:‎ 经长期观察,函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数的图象.最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 .‎ ‎19. 【安徽省2013届高三开年第一考文】在内,使的x取值范围是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎20. 【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】‎ 函数的部分图象如图所示,其 中A,B两点之间的距离为5,则f(x)的递增区间是( )‎ A. B.‎ C. D._‎ 三.提升自我 ‎21. 【2013年河南省十所名校高三第三次联考试题】‎ 已知函数f(x)=cos(2x-)+sin2x-cos2x.‎ ‎ (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程;‎ ‎ (Ⅱ)设函数g(x)=[f(x)]2+f(x),求g(x)的值域.‎ ‎22. 【成都龙泉驿区2013届5月高三数学押题试卷】(本小题满分12分)已知a=2(,),b=(,)(其中0<<1),函数=a·b,若直线=是函数图象的一条对称轴.‎ ‎(Ⅰ)试求的值;‎ ‎(Ⅱ)若函数y=的图象是由y=的图象的各点的横坐标伸长到原来的2倍,然后再向左平移个单位长度得到,求y=的单调递增区间.‎ 解 (Ⅰ) =a·b=2(,)·(,)‎ ‎23. 【湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三三月联合考试】(本小题满分12分)‎ 已知定义域为的函数的一段图象如图所示.‎ ‎(1)求的解析式;‎ ‎(2)若,求函数的单调递增区间.‎ ‎24. 【北京市顺义区2013届高三第一次统练】(本小题满分13分)‎ 已知函数的最小正周期为.‎ ‎(I)求的值;‎ ‎(II)求函数在区间上的最大值和最小值.[来源:学|科|网]‎ ‎25. 【 2013安徽省省级示范高中名校高三联考】(本小题满分12分)‎ ‎ 设函数f (x) =。‎ ‎ (I)求f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程;‎ ‎ (II)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,求g (x)在区间上的值域.‎ ‎【考点预测】‎ ‎1.设,则函数的图像可能是( )‎ ‎2.设函数f (x)=|sinx|+cos2x,xÎ[-,],则函数f (x)的最小值是 ( )‎ ‎ (A)-1 (B)0 (C) (D)‎ ‎3.已知函数在时有极大值,且为奇函数,则的一组可能值依次为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎4.已知函数的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线是其图像的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎5. 已知函数,且在处的切线斜率为。‎ ‎(1)求a的值,并讨论在上的单调性;‎ ‎(2)设函数,,其中m > 0,若对任意的总存在,使得成立,求m的取值范围 ‎ ‎