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- 2021-05-14 发布
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2008高考湖南文科数学试题及全解全析
一.选择题
1.已知,,,则( )
A.
C. D.
【答案】B
【解析】由,,,易知B正确.
2.“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由得,所以易知选A.
3.已条变量满足则的最小值是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】C
【解析】如图得可行域为一个三角形,其三个顶点
分别为代入验证知在点
时,最小值是故选C.
4.函数的反函数是( )
【答案】B
【解析】用特殊点法,取原函数过点则其反函数过点验证知只有答案B满足.也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。
5.已知直线m,n和平面满足,则( )
或 或
【答案】D
【解析】易知D正确.
6.下面不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由 , 故选A.
7.在中,AB=3,AC=2,BC=,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由余弦定理得所以选D.
8.某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目,
则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是( )
A.15 B.45 C.60 D.75
【答案】C
【解析】用直接法:
或用间接法:故选C.
9.长方体的8个顶点在同一个球面上,且AB=2,AD=,
,则顶点A、B间的球面距离是( )
A. B. C. D.2
【答案】B
【解析】设则
故选B.
10.双曲线的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,则双曲线离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
而双曲线的离心率故选C.
二.填空题
11.已知向量,,则=_____________________.
【答案】2
【解析】由
12.从某地区15000位老人中随机抽取500人,其生活能否自理的情况如下表所示:
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。
【答案】60
【解析】由上表得
13.记的展开式中第m项的系数为,若,则=__________.
【答案】5
【解析】由得
所以解得
14.将圆沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C,则圆C的方程是________,若过点(3,0)的直线和圆C相切,则直线的斜率为_____________.
【答案】,
【解析】易得圆C的方程是,
直线的倾斜角为,
所以直线的斜率为
15.设表示不超x的最大整数,(如)。对于给定的,
定义则________;
当时,函数的值域是_________________________。
【答案】
【解析】当时,当时,
所以故函数的值域是.
三.解答题
16.甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格
就签约,乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约。设每人面试
合格的概率都是,且面试是否合格互不影响。求:
(I)至少一人面试合格的概率;
(II)没有人签约的概率。
解:用分别表示事件甲、乙、丙面试合格。由题意知相互独立,且.
(1) 至少有1人面试合格的概率是
(2) 没有人签约的概率为
17.已知函数.
(I)求函数的最小正周期;
(II)当且时,求的值。
18.如图所示,四棱锥的底面是边长为1的菱形,,
E是CD的中点,PA底面ABCD,。
(1)证明:平面PBE平面PAB;
(2)求二面角A—BE—P和的大小。
解 解法一(Ⅰ)如图年示,连结BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,ΔBCD是等边三角形.
因为E是CD的中点,所以BE⊥CD,又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD,BE平面ABCD,所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.
又BE平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,BE⊥平面PAB,PB平面PAB,所以PB⊥BE.
又AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.
在RtΔPAB中,tan∠PBA=,∠PBA=60°.
故二面角A-BE-P的大小是60°.
解法二 如图所示,以A为原点,建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A(0,0,0),B(1,0,0),C(),D(),P(),E().
(Ⅰ)因为,平面PAB的一个法向量是=(0,1,0),所以和共线.从而BE⊥平面PAB.又因为BE平面BEF,所以平面PBE⊥平面PAB.
(Ⅱ)易知=(1,0,-), =(0,,0),
设=(x1,y1,z1)是平面PBE的一个法向量,则有
所以y1=0,x1=z1.故可取=(,0,1).
而平面ABE的一个法向量是=(0,0,1).
于是,cos<,>=.
故二面角的大小是.
19已知椭圆的中心在原点,一个焦点是,且两条准线间的距离为。
(1)求椭圆的方程;
(2)若存在过点A(1,0)的直线,使点F关于直线的对称点在椭圆上,
求的取值范围。
于是,当且仅当 (*)
上述方程存在实根,即直线l存在.
解(*)得所以4<λ≤.
20.数列满足
(1)求,并求数列的通项公式;
(2)设,,,
求使的所有k的值,并说明理由。
21.已知函数有三个极值点。
(1)证明:;
(2)若存在实数c,使函数在区间上单调递减,求的取值范围。
解 (Ⅰ)因为函数有三个极值点,所以
有三个互异的实根.
设,则.
当x<-3时,,g(x)在(-∞,-3)上为增函数,
当-3<x<1时,,g(x)在(-3,1)上为减函数,
当x>1时,,g(x)在(1,+ ∞)上为增函数.
所以函数g(x)在x=-3时取极大值,在x=1时取极小值.
当g(-3) ≤0或g(1) ≥0时,g(x)=0最多只有两个不同实根,因为g(x)=0有三个不同实根,所以g(-3)>0,且g(1)<0.即-27+27+27+c>0,且1+3-9+c<0,解得c>-27,且c<5.
故-27<c<5.