全国高考数学试题数学北京理 10页

‎2002年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理工农医类）（北京卷）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页。共150分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 注意事项： ‎ ‎1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。‎ ‎2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 ‎ 干净后，再选涂其它答案。不能答在试题卷上。‎ ‎3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并交回。‎ 正棱台、圆台的侧面积公式 其中、c分别表示上、下底面周长，l表示 斜高或母线长 球体的体积公式 其中R表示球的半径 参考公式：‎ 三角函数的积化和差公式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎2．在平面直角坐标系中，已知两点则|AB|的值是 ‎ A． B． C． D．1‎ ‎3．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（）上为减函数的是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．64个直径都为的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲；一个直径为a的球，‎ 记其体积为V乙，表面积为S乙，则 ‎ A．V甲＞V乙且S甲＞S乙 B．V甲＜V乙且S甲＜S乙 ‎ C．V甲＝V乙且S甲＞S乙 D．V甲＝V乙且S甲＝S乙 ‎5．已知某曲线的参数方程是为参数）.若以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，‎ ‎ 长度单位不变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．给定四条曲线：①，②，③，④.其中与直 ‎ 线仅有一个交点的曲线是 ‎ A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④‎ ‎7．已知且|z1|=1.若，则的最大值是 ‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎8．若，则的值为 ‎ A．3 B．－3 C．－2 D．‎ ‎9．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方 ‎ 案共有 ‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎10．设命题甲：“直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，平面ACB1与对角面BB1D1D垂直”；命题 乙：“直四棱柱ABCD—A1B1C1D1是正方体”.那么，甲是乙的 ‎ A．充分必要条件 B．充分非必要条件 ‎ C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 ‎11．已知的定义在（－3，3）上的奇函数，当0＜x＜3时，的图象如图所示，那 么不等式的解集是 A． B．‎ C． D．‎ ‎12．如图所示，是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]‎ 中任意的x1和x2，任意恒成立”的只有 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 注意事项：‎ ‎1．第Ⅱ卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。‎ ‎2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。‎ 题 号 二 三 总 分 ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ 分 数 得分 评卷人 ‎ ‎ ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横 线上.‎ ‎13．从小到大的顺序是 .‎ ‎14．等差数列{an}中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么 该等比数列公比的值等于 .‎ ‎15．关于直角AOB在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③‎ 可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角.其中正确判断的序号是 ‎ ‎（注：把你认为是正确判断的序号都填上）.‎ ‎16．已知P是直线上的动点，PA，PB是圆的两 条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ 得分 评卷人 ‎ 17．（本小题满分12分）‎ 解不等式.‎ 得分 评卷人 ‎ 18．（本小题满分12分）‎ 如图，在多面体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h..‎ A B C D E F A1‎ C1‎ B1‎ D1‎ a b c d ‎ （Ⅰ）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小；‎ ‎ （Ⅱ）证明：EF//面ABCD ‎ （Ⅲ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式 ‎ V估=S中截面·h来计算.已知它的体积公式是 ‎ （S上底面+4S中截面+S下底面），‎ 试判断V估与V的大小关系，并加以证明.‎ ‎ （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.）‎ 得分 评卷人 ‎19．（本小题满分12分）‎ 数列{xn}由下列条件确定：‎ ‎ （Ⅰ）证明：对n≥2，总有；‎ ‎ （Ⅱ）证明：对n≥2，总有；‎ ‎ （Ⅲ）若数列{xn}的极限存在，且大于零，求的值.‎ 得分 评卷人 ‎20．（本小题满分12分）‎ 在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：‎ 用计算机求n个不同的数的和.计算开始前，n个数存贮在n台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数，计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作.‎ 为了用尽可能少的单位时间，使各台机器都得到这n个数的和，需要设计一种读和加的方法.比如n=2时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示：‎ 机器号 初始时 第一单位时间 第二单位时间 第三单位时间 被读机号 结 果 被读机号 结 果 被读机号 结 果 ‎1‎ v1‎ ‎2‎ v1+ v2‎ ‎2‎ v2‎ ‎1‎ v2+v1‎ ‎（Ⅰ）当n=4时，至少需要多少个单位时间可完成计算？‎ 把你设计的方法填入下表 机器号 初始时 第一单位时间 第二单位时间 第三单位时间 被读机号 结 果 被读机号 结 果 被读机号 结 果 ‎1‎ v1‎ ‎2‎ v2‎ ‎3‎ v3‎ ‎4‎ v4‎ ‎（Ⅱ）当n=128时，要使所有机器都得到，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）‎ 得分 评卷人 ‎ 21．（本小题满分13分）‎ 已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点.‎ ‎ （Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G，F，H三点共线；‎ y O B(1，0)‎ x C(b，c)‎ ‎ （Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹.‎ 得分 评卷人 ‎22．（本小题满分13分）‎ 已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：‎ ‎.‎ ‎ （Ⅰ）求f（0），f（1）的值；‎ ‎ （Ⅱ）判断的奇偶性，并证明你的结论；‎ ‎ （Ⅲ）若，求数列{un}的前n项的和Sn.‎ 数学试题（理工农医类）（北京卷）参考解答 说明：‎ 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.‎ 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.‎ 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.‎ ‎1.B 2.D 3.B 4.C 5.D 6.D 7.C 8.A 9.A 10.C 11.B 12.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.‎ ‎13． 14．4 15．①②③④⑤ 16．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．本小题主要考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力.满分12分.‎ 解：原不等式因为 又 ‎.所以，原不等式组的解集为 .‎ ‎18．本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查不等式的基本知识，考查空间想象能力和 逻辑推理能力. 满分12分.‎ ‎ （1）解：过B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于 PQ,过B1作B1G⊥PQ,垂足为G.∵平面ABCD∥平 面A1B1C1D1，∠A1B1C1=90°，∴AB⊥PQ，AB⊥‎ B1P. ∴∠B1PG为所求二面角的平面角.过C1作 C1H⊥PQ，垂足为H.由于相对侧面与底面所成二 面角的大小相等，故四边形B1PQC1为等腰梯形.‎ ‎∴，‎ 即所求二面角的大小为 ‎ （Ⅱ）证明：∵AB，CD是矩形ABCD的一组对边，有AB//CD，又CD是面ABCD与 ‎ 面CDEF的交线， ∴AB//面CDEF. ∵EF是面ABFE与面CDEF的交线，∴AB ‎ ∥EF. ∵AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外，∴EF∥面ABCD.‎ ‎ （Ⅲ）V估＜V.证明： ∵a＞c，b＞d，∴‎ ‎ ∴V估＜V.‎ ‎19．本小题主要考查数列、数列极限、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分12分.‎ ‎ （Ⅰ）证明：由，可归纳证明(没有证明过程不扣分）.‎ ‎ 从而有，所以，当n≥2时，成立.‎ ‎ （Ⅱ）证法一：当n≥2时，因为，所以 ‎ ，故当n≥2时，成立.‎ ‎ 证法二：当n≥2时，因为，所以 ‎ ，故当n≥2时，成立.‎ ‎ （Ⅲ）解：记得 ‎ ，‎ ‎ 故 ‎20．本小题主要考查运用数学思想方法，分析和解决科学问题的能力.满分12分.‎ ‎ （Ⅰ）解：当n=4时，只用2个单位时间即可完成计算.‎ 方法之一如下：‎ 机器号 初始时 第一单位时间 第二单位时间 第三单位时间 被读机号 结 果 被读机号 结 果 被读机号 结 果 ‎1‎ v1‎ ‎2‎ v1+ v2‎ ‎3‎ v1+ v2+ v3+ v4‎ ‎2‎ v2‎ ‎1‎ v2+v1‎ ‎4‎ v2+ v1+ v4+ v3‎ ‎3‎ v3‎ ‎4‎ v3+ v4‎ ‎1‎ v3+ v4+ v1+ v2‎ ‎4‎ v4‎ ‎3‎ v4+ v3‎ ‎2‎ v4+ v3+ v2+ v1‎ ‎ （Ⅱ）解：当n=128=27时，至少需要7个单位时间才能完成计算.‎ ‎21．本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力. 满分13分.‎ ‎ （Ⅰ）解：由△OBC三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c≠0），可求得 ‎ 重心，外心F，垂心.当时，‎ ‎ G，F，H三点的横坐标均为，故三点共线；当时，设G,H所在直线的斜 ‎ 率为，F，G所在直线的斜率为.因为，‎ ‎ ，所以，G，F，H三点共线.‎ ‎ 综上可得，G，F，H三点共线.‎ ‎ （Ⅱ）解：若FH//OB，由，得，‎ ‎ 配方得，即.‎ ‎ 所以，顶点C的轨迹是中心在（，0），长半轴长为，短半轴长为，且短 ‎ 轴在x轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（，），（，－）四点.‎ ‎22．本小题主要考查函数与数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力. 满分13分.‎ ‎ （Ⅰ）解：. 因为，‎ ‎ 所以 ‎ （Ⅱ）是奇函数. 证明：因为，‎ ‎ 因此，为奇函数.‎ ‎ （Ⅲ）解法一：由，‎ ‎ 猜测. 下面用数学归纳法证明：‎ ‎ 1° 当n=1时，，公式成立；‎ ‎ 2°假设当n=k时，成立，那么当n=k+1时，‎ ‎ ，公式仍成立.‎ ‎ 由上两步可知，对任意成立.所以.‎ ‎ 因为所以，‎ ‎ .‎ ‎ 解法二：当，‎ ‎ 故 ‎ 所以 （以下同解法一）‎