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- 2021-05-14 发布
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黄浦区2018年高考模拟考
数学试卷
(完卷时间:120分钟 满分:150分) 2018.4
考生注意:
1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料,解答必须在答题卷上进行,写在试卷上的解答一律无效;
2.答卷前,考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚,并在规定的区域贴上条形码;
3.本试卷共21道试题,满分150分;考试时间120分钟.
一、填空题(本大题共有12题,满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对前6题得4分、后6题得5分,否则一律得零分.
1.已知集合,若,则非零实数的数值是 .
2.不等式的解集是 .
3.若函数是偶函数,则该函数的定义域是 .
4.已知的三内角所对的边长分别为,若,则内角的大小是 .
5.已知向量在向量方向上的投影为,且,则= .(结果用数值表示)
6.方程的解 .
7.已知函数,则函数的单调递增区间是 .
8.已知是实系数一元二次方程的一个虚数根,且,则实数的取值范围是 .
9.已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人,46岁至55岁的居民有750人,56岁至65岁的居民有900人.为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况,社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查,若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人,试问这次抽样调查抽取的人数是 人.
10.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次,则恰好有3次出现正面向上的概率是 .(结果用数值表示)
11.已知数列是共有个项的有限数列,且满足,若,则 .
12.已知函数对任意恒有成立,则代数式的最小值是 .
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
13.在空间中,“直线平面”是“直线与平面内无穷多条直线都垂直 ”的
答( ).
()充分非必要条件 ()必要非充分条件
()充要条件 ()非充分非必要条件
14. 二项式的展开式中,其中是有理项的项数共有 答( ).
() 4项 () 7项 () 5项 () 6项
15.实数满足线性约束条件 则目标函数的最大值是
答( ).
() 0 () 1 () () 3
16.在给出的下列命题中,是的是 答( ).
()设是同一平面上的四个不同的点,若,
则点必共线
()若向量是平面上的两个不平行的向量,则平面上的任一向量都可以表示为
,且表示方法是唯一的
()已知平面向量满足,且,
则是等边三角形
()在平面上的所有向量中,不存在这样的四个互不相等的非零向量,使得其
中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直
三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分10分.
在四棱锥中,,
.
(1)画出四棱锥的主视图;
(2)若,求直线与平面所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)
18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌,铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的).已知,线段与弧、弧的长度之和为米,圆心角为弧度.
(1)求关于的函数解析式;
(2)记铭牌的截面面积为,试问取何值时,的值最大?并求出最大值.
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知动点到点的距离为,动点到直线的距离为,且.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点作直线交曲线于两点,若的面积(是坐标系原点),求直线的方程.
20.(本题满分16分)本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
已知函数
(1) 求函数的反函数;
(2)试问:函数的图像上是否存在关于坐标原点对称的点,若存在,求出这些点的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若方程的三个实数根满足: ,且,求实数的值.
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.
定义:若数列和满足则称数列是数列的“伴随数列”.
已知数列是数列的伴随数列,试解答下列问题:
(1)若,,求数列的通项公式;
(2)若,为常数,求证:数列是等差数列;
(3)若,数列是等比数列,求的数值.
黄浦区2018年高考模拟考
数学试卷参考答案和评分标准
2018.4
说明:
1.本解答仅列出试题的一种解法,如果考生的解法与所列解答不同,可参考解答中的评分精神进行评分.
2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.
一、填空题.
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9. 10. 11. 12..
二、选择题.
13. 14. 15. 16.
三、解答题.
17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分10分.
解 (1)主视图如下:
(2) 根据题意,可算得.
又,
按如图所示建立空间直角坐标系,
可得,.
于是,有 .
设平面的法向量为,
则即
令,可得,故平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角的大小为,则.
所以直线与平面所成角的大小为.
18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
解 (1)根据题意,可算得弧(),弧().
又,
于是,,
所以,.
(2) 依据题意,可知
化简,得
.
于是,当(满足条件)时,().
答 所以当米时铭牌的面积最大,且最大面积为平方米.
19. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
解 (1)结合题意,可得.
又,于是,,化简得
.
因此,所求动点的轨迹的方程是.
(2) 联立方程组
得.
设点,则
于是,弦,
点到直线的距离.
由,得,化简得
,解得,且满足,即都符合题意.
因此,所求直线的方程为.
20.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
解 (1)
当时,.
由,得,互换,可得.
当时,.
由,得,互换,可得.
(2) 答 函数图像上存在两点关于原点对称.
设点是函数图像上关于原点对称的点,
则,即,
解得,且满足 .
因此,函数图像上存在点关于原点对称.
(3) 考察函数与函数的图像,可得
当时,有,原方程可化为,解得
,且由,得.
当时,有,原方程可化为,化简得
,解得(当时,).
于是,.
由,得,解得.
因为,故不符合题意,舍去;
,满足条件.因此,所求实数.
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.
解 (1)根据题意,有.
由,,得
,.
所以,.
证明 (2) ,,
∴,,.
∴,.
∴数列是首项为、公差为的等差数列.
解(3) , ,
由,得.
是等比数列,且,设公比为,则.
∴当,即,与矛盾.因此,不成立.
当,即,与矛盾.因此,不成立.
,即数列是常数列,于是,().
.
,数列也是等比数列,设公比为,有.
可化为
,.
,
关于的一元二次方程有且仅有两个非负实数根.
一方面,()是方程的根;另一方面,
若,则无穷多个互不相等的 都是该二次方程的根.这与该二次方程有且仅有两个非负实数根矛盾!
,即数列也是常数列,于是,,.
由,得.
把,代入解得.
.