新课标备战高考数学文专题复习直线平面简单几何体平面所成的角 6页

第79课时：第九章 直线、平面、简单几何体——平面所成的角 课题：平面所成的角 一．复习目标：掌握二面角及二面角的平面角的概念；熟练掌握作二面角平面角的一般方法．‎ 二．知识要点：‎ ‎1．二面角的概念： ．‎ ‎2．二面角的平面角： ．‎ ‎3．求二面角平面角大小的一般方法： ．‎ 三．课前预习：‎ ‎1．二面角内有一点，若到平面的距离分别是，且在平面的内的射影的距离为，则二面角的度数是（）‎ ‎ ‎ ‎2．已知分别是正方体的棱的中点，则截面与底面所成二面角的正弦值是 （）‎ A B E C D F A1‎ B1‎ D1‎ C1‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3．对于平面几何中的命题：“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述的命题，可以得到命题： ‎ ‎ ，这个命题的真假性是 ．‎ ‎4．在四面体中，两两垂直，且 ‎，是中点，异面直线所成的角为，则二面角的大小为 ．‎ 四．例题分析：‎ A A1‎ B1‎ B C1‎ C M N P 例1．如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，‎ 交于点，（1）求证：；‎ ‎（2）在任意中有余弦定理：. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．‎ A B D C P 例2．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．‎ ‎（1）与是否相互垂直，请证明你的结论；‎ ‎（2）求二面角的大小；‎ ‎（3）求证：平面⊥平面．‎ A B D C P M N E O 解：（1）与相互垂直.证明如下：‎ 取的中点，连结，交于点；连结．‎ ‎∵，∴．又∵平面⊥平面，‎ 平面∩平面，∴⊥平面．‎ 在梯形中，可得，‎ ‎∴，‎ 即， ∴ ．‎ ‎（2）连结，‎ 由⊥平面，，可得，‎ ‎∴为二面角的平面角，‎ 设，则在中，‎ ‎ ∴二面角为 ．‎ ‎（3）取的中点，连结，由题意知：平面⊥平面，‎ 则同“（1）”可得平面．‎ 取的中点，连结，则由，‎ ‎，得四边形为平行四边形. ∴，‎ ‎∴⊥平面．∴平面⊥平面．‎ 解答二：‎ 取的中点，由侧面⊥底面，‎ 是等边三角形，‎ 得⊥底面．‎ 以为原点，以所在直线为轴，‎ 过点与平行的直线为轴，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设，则在直角梯形中，，‎ 在等边三角形中，．‎ ‎∴‎ ‎（1）与相互垂直.证明如下：‎ ‎∵‎ ‎∴．‎ ‎（2）连结，设与相交于点；连结．‎ 由得．‎ 又∵为在平面内的射影，‎ ‎∴，为二面角的平面角．‎ 在中，．‎ 在中，．‎ ‎∴二面角为．‎ ‎（3）取的中点，连结，则的坐标为．‎ 又，，‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎∴‎ ‎∴⊥平面． ∴平面⊥平面．‎ 小结：三垂线定理是求二面角的平面角的又一常用方法．‎ 五．课后作业：‎ ‎1．过正方形的顶点，引⊥平面，若，则平面和平面所成的二面角的大小是（ ）‎ ‎ ‎ ‎2．已知正三棱锥两个相邻侧面所成二面角为，那么的取值范围（ ）‎ ‎ 或 ‎3．已知正方形，交于点，若将正方形沿折成的二面角，并给出四个结论：（1）；（2）；（3）为正三角形；（4），则其中正确命题的序号为 ．‎ ‎4．平行六面体的底面是矩形，侧棱长为，点在底面上的射影是的中点，与底面成的角，二面角的平面角等于，求此平行六面体的表面积．‎ ‎5．在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是中点，作交于．‎ ‎（1）证明平面：（2）证明平面；（3）求二面角的大小．‎ ‎6．在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，分别是的中点．‎ ‎（1）证明；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离．‎