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- 2021-05-14 发布
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高考数学阶段复习试卷:三角形中的最值问题
1. 在 中, , , 分别为角 , , 所对的边长,已知: , (其中 )
(1)当 时,证明: ;
(2)若 ,求边长 的最小值.
2. 已知函数
(1)求函数 在区间 上的值域;
(2)在 中,角 所对的边分别是 若角 为锐角, ,且 ,求
面积的最大值。
3. 已知函数
(Ⅰ)若方程 在 上有解,求 的取值范围;(Ⅱ)在 中, 分别是 所对
的边,当(Ⅰ)中的 取最大值,且 , 时,求 的最小值
4. 在 中, .
求角 的值; 如果 ,求 面积的最大值.
5. 如图,扇形 ,圆心角 等于 ,半径为 ,在弧 上有一动点 ,过 引平行于 的
直线和 交于点 ,设 ,求 面积的最大值及此时 的值.
ABC∆ a b c A B C 3C
π= a b cλ+ = 1λ >
2λ = a b c= =
3AC BC λ⋅ = c
( ) 4cos sin( ) 33f x x x
π= − +
( )f x [ , ]4 2
π π
ABC∆ , ,A B C , ,a b c C ( ) 3f C = 2c = ABC∆
2( ) 3sin 2 2cosf x x x m= + −
( ) 0f x = [0, ]2x
π∈ m ABC∆ , ,a b c , ,A B C
m ( ) 1f A = − 2b c+ = a
ABC∆ sin 3 cosA B
a b
=
(1) B (2) 2b = ABC∆
AOB AOB 60o 2 AB P P OB
OA C AOP θ∠ = POC∆ θ
6. 如图,游客从某旅游景区的景点 处下山至 处有两种路径.一种是从 沿直线步行到 ,另一种是
先从 沿索道乘缆车到 ,然后从 沿直线步行到 .现有甲、乙两位游客从 处下山,甲沿 匀速
步行,速度为 / .在甲出发 后,乙从 乘缆车到 ,在 处停留 后,再从匀速步行
到 .假设缆车匀速直线运动的速度为 / ,山路 长为 ,经测量, ,
.
求索道 的长;
问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
7. 如图,在等腰直角三角形 中, , ,点 在线段 上.
若 ,求 的长;
若点 在线段 上,且 ,问:当 取何值时, 的面积最小?并求出面
积的最小值.
A C A C
A B B C A AC
50m min 2min A B B 1min
C 130m min AC 1260m 12cos 13A =
3cos 5C =
(1) AB
(2)
(3) C 3
OPQ∆ 90POQ °∠ = 2 2OP = M P Q
(1) 5OM = PM
(2) N MQ 30MON °∠ = POM∠ OMN∆
试卷答案
1. 答案: 见解析
见解析
分析: ∵ ,由正弦定理得, ,
,化简得: ,∴ 为正三角形,
.
由余弦定理得; ,
又由 知: 再由 可得:
,设 ,下面求 的最值.求导函数
,当 时,解得 ,其中 舍去.由于当
时, ;
当 时 ,故 在 上时减函数,在 上是增函数,因此当 时,
取极小值,
又在 上 有且只有一个极值点,所以当 时, 取到最小值.
,
于是在 中边长 存在最小值,不存在最大值,其最小值为 .
2. 答案:答案见解析
分析:( ) ,
由 ,有 ,得函数 的值域为 .
(1)
(2)
(1) a b cλ+ = sin sin sin 3A B Cλ+ = =
2sin sin( ) 33B Bπ∴ + − = sin( ) 1,6 3B B
π π+ = ∴ = ABC∆
a b c∴ = =
(2) 2 2 2 2 2 22 cos ( ) 3c a b ab C a b ab a b ab= + − = + − = + −
3AC BC λ⋅ = 32 ,ab λ= a b cλ+ =
3
2 2 2 3 2
2
66 1c c c
λλ λ λ= − ⇒ = −
3
2
6( ) ( 1)1f
λλ λλ= >− ( )f λ
2
2 2
6 ( 3)( 3)( ) ( 1)f
λ λ λλ λ
+ −′ = − ( ) 0f λ′ = 3λ = 0, 3λ λ= = −
1 3λ< < ( ) 0f λ′ <
3λ > ( ) 0f λ′ > ( )f λ (1, 3) ( 3, )+∞ 3λ =
( )f λ
(1, )+∞ ( )f λ 3λ = ( )f λ
min( ) ( 3) 9 3f fλ = =
ABC∆ c 4
min min( ) 3 3c f λ= =
1 ( ) 2cos (sin 3 cos ) 3 sin 2 3 cos2 2sin(2 )3f x x x x x x x
π= − + = − = −
4 2x
π π
226 3 3x
π π π− ( )f x [ ]1,2
( )由 ,有 ,又角 为锐角,则 ,
从而 ,得
由余弦定理得: ,又 ,故 。
从而 ,故当 ,即 为正三角形时, 的面积有最大值
.
3. 答案:答案见解析
分析:(1) , 在 内有
(2) , 或
, 当且仅当 时
有最大值
有最小值 ,此时
4. 答案:答案见解析
分析: 因为 , ,
所以 .
因为 ,所以 .
因为 ,
所以 ,
2 ( ) 3f C = 3sin(2 )3 2C
π− = C 223 3 3C
π π π− < − <
2 3 3C
π π− =
3C
π=
2 2 4a b ab+ − = 2 2 2a b ab+
2 24 a b ab ab= + −
1 3sin 32 4ABCS ab C ab∆ = = a b= ABC∆ ABC∆
3
( ) 2sin(2 ) 16f x x m
π= + + − 2sin(2 ) 16m x
π∴ = + + [0, ]2
π
70 ,2 6 6 6x x
π π π π∴ +
0 2sin(2 ) 3, 0 36x m
π∴ + ∴
3, ( ) 2sin(2 ) 2 16m f A A
π= = + − = −
1sin(2 ) , 2 26 2 6 6A A k
π π π π∴ + = ∴ + = +
52 2 ,( ) (0, ),6 6 3A k k Z A A
π π ππ π+ = + ∈ ∈ ∴ = , 2 2 ,3A b c ab
π= ∴ + = b c= bc
1
2 2 2 22 cos ( ) 3 4 3a b c bc A b c bc bc= + − = + − = −
a∴ 1 1b c= =
(1) sin sin
a b
A B
= sin 3 cosA B
a b
=
sin 3 cos ,tan 3B B B= =
(0, )B π∈
3B
π=
(2) 3B
π=
2 2 2 1cos 2 2
a c bB ac
+ −= =
因为 ,
所以 ,
所以 (当且仅当 时,等号成立),
所以 ,
所以 面积最大值为 .
5. 答案:
6. 答案:见解析
分析: 如图作 于点 ,设 ,
则 ,
由 知: .
设乙出发 分钟后到达点 ,此时甲到达 点,如图所示.
则: ,
由余弦定理得: ,
其中 ,当 时, 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.
由 知: ,甲到 用时: .
若甲等乙 分钟,则乙到 用时: ,在 上用时: .
此时乙的速度最小,且为: / .
若乙等甲 分钟,则乙到 用时: ,在 上用时: .
此时乙的速度最大,且为: / ,
故乙步行的速度应控制在 范围内.
2b =
2 2 4 2a c ac ac+ = + ≥
4ac ≤ a c=
1 sin 32ABCS ac B∆ = ≤
ABC∆ 3
3
3
(1) BD CA⊥ D 20BD k=
25 , 48 , 52DC k AD k AB k= = =
63 1260AC k m= = 52 1040AB k m= =
(2) x M N
130 , 50( 2)AM x AN x= = +
2 2 2 22 cos 7400 14000 10000MN AM AN AM AN A x x= + − ⋅ = − +
0 8x≤ ≤ 35 (min)37x = MN
(3) (1) 500BC m= C ( )1260 126 min50 5
=
3 C ( )126 1413 min5 5
+ = BC ( )86 min5
86 1250500 5 43 m÷ = min
3 C ( )126 1113 min5 5
− = BC ( )56 min5
56 625500 5 43 m÷ = min
1250 625[ , ]43 14
7. 答案: 或
分析: 在中 , , , ,
由余弦定理得, ,
得 ,解得 或 .
设 , ,
在 中,由正弦定理,得 ,
所以 ,
同理
故
(1) 1MP = 3MP = (2) 8 4 3−
(1) OMP∆ 45OPM °∠ = 5OM = 2 2OP =
2 2 2 2 cos45OM OP MP OP MP °= + − × × ×
2 4 3 0MP MP− + = 1MP = 3MP =
(2) POM α∠ = 0 60α° °≤ ≤
OMP∆
sin sin
OM OP
OPM OMP
=∠ ∠
( )
sin 45
sin 45
OPOM α
°
°
=
+
( )
sin 45
sin 75
OPON α
°
°
=
+
1 sin2OMNS OM ON MON∆ = × × × ∠
( ) ( )
2 21 sin 45
4 sin 45 sin 75
OP
α α
°
° °
= ×
+ +
( ) ( )
1
sin 45 sin 45 30α α° ° °
=
+ + +
( ) ( ) ( )
1
3 1sin 45 sin 45 cos 452 2
α α α° ° °
= + + + +
( ) ( ) ( )2
1
3 1sin 45 sin 45 cos 452 2
α α α° ° °
=
+ + + +
( ) ( )
1
3 11 cos 90 2 sin 90 24 4
α α° °
=
− + + +
因为 , ,所以当 时,
的最大值为 ,此时 的面积取到最小值.
即 时, 的面积的最小值为 .
1
3 3 1sin 2 cos24 4 4
α α
=
+ +
( )
1
3 1 sin 2 304 2
α °
=
+ +
0 60α° °≤ ≤ 30 2 30 150α° ° °≤ + ≤ 30α °=
( )sin 2 30α °+ 1 OMN∆
30POM °∠ = OMN∆ 8 4 3−