高考数学一轮复习共87节273参数方程 8页

‎27.3 参数方程 ‎【知识网络】‎ ‎1. 参数方程的概念.‎ ‎2. 曲线的参数方程与普通方程的互化.‎ ‎3.利用曲线的参数方程解决有关问题.‎ ‎【典型例题】‎ 例1.（1）3．将参数方程为参数化为普通方程为（C）‎ A． B． C． D． 提示：将代入即可，但是.‎ ‎（2）参数方程为为参数表示的曲线是（D）‎ A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线 提示：表示一条平行于轴的直线，而，所以表示两条射线 ‎（3）直线为参数和圆交于两点，则的中点坐 标为（D）‎ A．B．C．D． 提示：，得， ‎ 中点为 ‎（4）直线为参数的斜率为______________________. 提示： ‎（5）抛物线（为参数）在轴上截得的弦长为. ‎ 提示：令，得.‎ 当时，；当时，，∴抛物线与轴交于点.‎ 例2.分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程：‎ ‎（1）为参数，为常数；‎ ‎（2）为参数，为常数；‎ 解：（1）当时，，即；‎ ‎ 当时， ‎ 而，即 ‎（2）当时，，，即；‎ 当时，，，即；‎ 当时，得，即 得 即。‎ 例3.求经过点倾斜角为的直线的参数方程.‎ 解：设点为直线上的任意一点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，‎ 两直线相交于点.规定直线向上的方向为正方向.‎ 当与同方向或重合时,因,由三角函数定义,‎ 有;‎ 当与反方向时,同时改变符号,上式依然成立.‎ 设,取为参数, ∵,‎ ‎∴, 即,‎ ‎∴直线的参数方程为.‎ 例4.已知点是圆上的动点，‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围。‎ 解：（1）设圆的参数方程为，‎ ‎∵ ‎∴,即的取值范围为.‎ ‎（2） ‎∴,‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎【课内练习】‎ ‎1.与参数方程为为参数等价的普通方程为（D）‎ A．B． C．D． 提示：而得 ‎2.若曲线的参数方程为（为参数），则曲线上的点的轨迹是（D）‎ A．直线B．以为端点的射线 ‎ C．圆D．以和为端点的线段 提示：将曲线的参数方程化为普通方程得 ‎3.曲线为参数与坐标轴的交点是（B）‎ A． B． C．D． 提示：令，得，此时，∴曲线与轴的交点为；‎ 令，得，此时， 曲线与轴的交点为.‎ ‎4.直线为参数被圆所截得的弦长为（C）‎ A．B．C． D． 提示：，把直线代入 得 ，弦长为 ‎5.直线为参数恒过定点_____________. 提示：将参数方程化为乭方程得，当且时，此方程对于任 何都成立，所以直线恒过定点.‎ ‎6.直线为参数被圆截得的弦长为______________. 提示：直线为，圆心到直线的距离，‎ 弦长的一半为，得弦长为.‎ ‎7.已知曲线为参数，为正常数上的两点对应的参数分别为和，且，那么=_______________. 提示：参数方程表示的曲线为抛物线，线段垂直于抛物线的对称轴，‎ ‎∴ ‎8.选取适当参数，把直线方程化为参数方程.‎ 解：选，则， 由此得直线的参数方程为.‎ 也可选，则， 由此得直线的参数方程为.‎ 可见，曲线的参数方程随参数选取的不同而不同，同一条曲线可以有多种不同形式的参数方程.‎ ‎9.已知弹道曲线的参数方程为.‎ ‎（1）求发射角时，弹道曲线的普通方程和射程；‎ ‎（2）设是定值，可以变动，求证：当时射程最大.‎ 解：（1）发射角时，弹道曲线的参数方程为，‎ 由，得， 代入并化简，得.‎ 令，得或，可知射程为.‎ ‎∴弹道曲线的普通方程为，射程为.‎ ‎（2）证明：由弹道曲线的参数方程消去，‎ 得到它的普通方程为，由（1）知，射程为， ‎ ‎∵， ∴，∴当时射程最大，为.‎ ‎10.在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值.‎ 解：设椭圆的参数方程为， ‎ 当，即时，，此时所求点为.‎ 作业本 ‎1.把方程化为以参数的参数方程是（D）‎ A．B．C．D． 提示：，可取一切非零实数，而A，B，C中的都取不到一切非零实数.‎ ‎2.直线：与圆：（其中为参数）的位置关系是（D）‎ A．相切 B．相离C．直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 提示：圆的普通方程为，圆心到直线的距离为 .‎ ‎3.椭圆（为参数）的焦距为（B）‎ A． B．‎2‎C．D．2 提示：椭圆的普通方程为，‎ 椭圆可通过平移将其方程化为，.‎ ‎4.直线的参数方程为为参数，上的点对应的参数是，则点与 之间的距离是. 提示：距离为.‎ ‎5.直线与圆相切，则_______________. ，或 提示：直线为，圆为，圆心为，‎ 由， ∴或，‎ ‎∴或.‎ ‎6.动点作等速直线运动，它在轴和轴方向的分速度分别为和，运动开始时，点 位于，求点的轨迹的参数方程.‎ 解：设动点运动的时间为，点的坐标为，‎ 由题设知，，‎ ‎∴点的轨迹的参数方程为（）.‎ ‎7.设直线的参数方程为，求直线被圆截得的弦长.‎ 解：把直线的参数方程代入圆的方程，得，得， ∴或，‎ 分别代入直线方程，得， ∴直线与圆的交点为和，‎ ，即直线被圆所截得的弦长为.‎ ‎8.设直线，椭圆.求椭圆到直线的最小距离（即椭圆 上任意一点到直线的距离的最小值）.‎ 解：把椭圆方程化为参数方程为参数，则椭圆上任意一点为 ，它到直线的距离为，‎ ‎∴， ∴椭圆到直线的最小距离为.‎