北京市高考数学理科试卷及答案解析 7页

‎2012北京理科高考试卷及答案解析精校版 一、选择题共8小题。每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.‎ ‎1．已知集合A={x∈R｜3x+2>0﹜，B={x∈ R｜(x+1)(x-3)>0﹜则A∩B=( )‎ A．（﹣∞，﹣1） B.｛｝ C. ﹙﹚ D.（3，＋∝）‎ ‎2. 设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.设.“”是‘复数是纯虚数”的（ ）‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）‎ A. 2 B .4‎ C.8 D. 16‎ ‎5.如图. ∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则（ ）‎ A. CE·CB=AD·DB B. CE·CB=AD·AB C. D.‎ ‎6.从0，2中选一个数字.从‎1.3.5‎中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )‎ A. 24 B. ‎18 C. 12 D. 6‎ ‎7.某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。m值为（ ）‎ A.5‎ B.7‎ C.9‎ D.11‎ 二.填空题共6小题。每小题5分。共30分.‎ ‎9.直线 (为参数)与曲线 (为参数)的交点个数为 ‎ ‎10.已知等差数列为其前n项和，若，，则= ， ‎ ‎11.在△ABC中，若，，，则= ‎ ‎12.在直角坐标系xOy中，直线过抛物线的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方，若直线的倾斜角为60º.则的面积为 ‎ ‎13.己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点.则的值为 ‎ ‎14.已知，，若同时满足条件：①，有或；②，使得 则的取值范围是 ‎ 三、解答题公6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎15．（本小题共13分）已知函数。（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间。‎ ‎16. （本小题共14分）‎ ‎ 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A‎1C⊥CD,如图2.‎ ‎（1）求证：A‎1C⊥平面BCDE；‎ ‎（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；‎ ‎（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？‎ 说明理由 ‎17．（本小题共13分）‎ ‎“厨余垃圾”箱 ‎“可回收物”箱 ‎“其它垃圾”箱 厨余垃圾 ‎400‎ ‎100‎ ‎100‎ 可回收物 ‎30‎ ‎240‎ ‎30‎ 其它垃圾 ‎20‎ ‎20‎ ‎60‎ 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000‎ 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；‎ ‎（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；‎ ‎（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；‎ ‎（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a﹥0，a+b+c=600.当数据a，b，c的方差最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时的值。‎ ‎（注：：，其中为数据，，…，的平均数）‎ ‎18．（本小题共13分）‎ 已知函数（），‎ ‎（1）若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；‎ ‎（2）当时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间上的最大值，‎ ‎19．（本小题共14分） 已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)‎ ‎（1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；‎ ‎（2）设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线。‎ ‎20．（本小题共13分）‎ ‎ 设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合。‎ 对于A∈S(m,n),记ri(A)为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)为A的第j列各数之和（1≤j≤n）：‎ 记K(A)为∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。‎ 对如下数表A，求K（A）的值；‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-0.8‎ ‎0.1‎ ‎-0.3‎ ‎-1‎ ‎（2）设数表A∈S（2,3）形如 ‎1‎ ‎1‎ c a b ‎-1‎ 求K（A）的最大值；‎ ‎（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2,2t+1），求K（A）的最大值。‎ 一、选择题 ‎1、D 2、D 3、B 4、C 5、A 6、B 7、B 8、C 二、填空题 ‎9、2 10、1； 11、4 12、 13、1 14、‎ 三、解答题 ‎15．‎ ‎（1）原函数的定义域为，最小正周期为．‎ ‎（2）原函数的单调递增区间为，‎ ‎16． 解：（1），‎ 平面，又平面，‎ 又，‎ 平面 ‎（2）如图建系，则，，，‎ ‎∴,‎ 设平面法向量为 则 ∴ ∴‎ ‎∴ 又∵ ∴‎ ‎∴‎ ‎∴与平面所成角的大小 ‎（3）设线段上存在点，设点坐标为，则 则，‎ 设平面法向量为 则 ∴ ∴‎ 假设平面与平面垂直 则，‎ ‎∴，，‎ ‎∵ ∴不存在线段上存在点，使平面与平面垂直 ‎17．（1）由题意可知： （2）由题意可知：‎ ‎（3）由题意可知：，因此有当，，时，有．‎ ‎18．（1）由为公共切点可得：‎ ‎，则，，‎ ‎，则，，‎ ‎①又，，‎ ‎，即，代入①式可得：．‎ ‎（2），设 则，令，解得：，；‎ ‎，，‎ 原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增，且 ‎①若，即时，最大值为；‎ ‎②若，即时，最大值为 ‎③若时，即时，最大值为．‎ 综上所述：当时，最大值为；当时，最大值为．‎ ‎19．（1）原曲线方程可化简得：‎ 由题意可得：，解得：‎ ‎（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，‎ ‎，解得： 由韦达定理得：①，，②‎ 设，，‎ 方程为：，则，‎ ‎，，‎ 欲证三点共线，只需证，共线 即成立，化简得：‎ 将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。‎ ‎20．（1）由题意可知，，，，‎ ‎∴ （2）先用反证法证明：‎ 若 则，∴‎ 同理可知，∴ 由题目所有数和为 即 ∴‎ 与题目条件矛盾 ∴．‎ 易知当时，存在 ∴的最大值为1‎ 另解：因为数表中所有数和为0，，，‎ ‎，，，，‎ 或，当，时，取到最大值1。‎ ‎（3）的最大值为.首先构造满足的：‎ ‎，‎ ‎.‎ 经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且 ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 下面证明是最大值. 若不然，则存在一个数表，使得.‎ 由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于.‎ 设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则. 另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负.‎ 考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）. 因此，‎ 故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾. ‎