高考数列专题复习专练 13页

数列专题复习专练 ‎1．已知数列{a}是公差d≠0的等差数列，其前n项和为S．‎ ‎(2)过点Q(1，a)，Q(2，a)作直线l，设l与l的夹角为θ，‎ ‎2．已知数列中，是其前项和，并且，‎ ‎⑴设数列，求证：数列是等比数列；‎ ‎⑵设数列，求证：数列是等差数列；‎ ‎⑶求数列的通项公式及前项和。‎ ‎3．设a1=1,a2=,an+2=an+1-an (n=1,2,---),令bn=an+1-an (n=1,2---)求数列{bn}的通项公式，(2)求数列{nan}的前n项的和Sn。‎ ‎4．数列中，且满足 ‎ ‎⑴求数列的通项公式；‎ ‎⑵设，求；‎ ‎⑶设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎5．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。‎ 已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为_____，这个数列的前n项和的计算公式为__ ‎ ‎6．已知数列{an}中，a1=1，a2k=a2k-1+(-1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3，…。‎ ‎(1)求a3,a5； （2）求{an}的通项公式 ‎7．数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式． ‎ ‎8．已知数列满足 求数列的通项公式；‎ ‎9．已知数列和，设，求数列的前项和．‎ ‎10．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．‎ ‎11．已知数列的通项公式为＝，设，求．‎ ‎12．是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，求数列的通项．‎ ‎13．已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且 ，．设（），则数列的前10项和等于（ 　）‎ ‎（A）55　　　　 （B）70　　　　　（C）85　　　　　（D）100‎ ‎14．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an}是公比为q的无穷等比数列，下列{an}的四组量中：①S1与S2； ②a2与S3； ③a1与an； ④q与an．‎ 其中一定能成为该数列“基本量”的是第 组．(写出所有符合要求的组号)‎ ‎15. 已知等比数列的前项和为，且．‎ ‎（1）求、的值及数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎16. 已知数列在直线x-y+1=0上．‎ （1） 求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若函数 求函数f (n)的最小值；‎ ‎ (3)设表示数列{bn}的前n项和． 试问:是否存在关于n 的整式g(n)， 使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明;若不存在，说明理由． ‎ ‎17. 设数列是等差数列，．‎ ‎（Ⅰ）当时，请在数列中找一项，使得成等比数列；‎ ‎（Ⅱ）当时，若满足，‎ 使得是等比数列，求数列的通项公式．‎ ‎18. 数列{}的前项和满足： ‎（1）求数列{}的通项公式；‎ ‎（2）数列{}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．‎ ‎19.在等差数列中，，前项和满足， ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，求数列的前项和．‎ 答案部分 ‎1．已知数列{a}是公差d≠0的等差数列，其前n项和为S．‎ ‎(2)过点Q(1，a)，Q(2，a)作直线l，设l与l的夹角为θ，‎ 证明：(1)因为等差数列{a}的公差d≠0，所以 Kpp是常数(k=2，3，…，n)．‎ ‎(2)直线l的方程为y-a=d(x-1)，直线l的斜率为d．‎ ‎2．已知数列中，是其前项和，并且，‎ ‎⑴设数列，求证：数列是等比数列；‎ ‎⑵设数列，求证：数列是等差数列；‎ ‎⑶求数列的通项公式及前项和。‎ 分析：由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S=‎4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径．‎ 解：(1)由S=‎4a，S=‎4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=‎4a‎-4a．(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)‎ a‎-2a=2(a‎-2a)，又b=a‎-2a，所以b=2b　　　 ①‎ 已知S=‎4a+2，a=1，a+a=‎4a+2，解得a=5，b=a‎-2a=3　　 ②‎ 由①和②得，数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3·2．‎ 当n≥2时，S=‎4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式．‎ 综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2．‎ ‎3．设a1=1,a2=,an+2=an+1-an (n=1,2,---),令bn=an+1-an (n=1,2---)求数列{bn}的通项公式，(2)求数列{nan}的前n项的和Sn。‎ ‎ 解：（I）因 故{bn}是公比为的等比数列，且 ‎ （II）由 ‎ ‎ 注意到可得 ‎ 记数列的前n项和为Tn，则 ‎4．数列中，且满足 ‎ ‎⑴求数列的通项公式；‎ ‎⑵设，求；‎ ‎⑶设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。‎ 解：（1）由题意，，为等差数列，设公差为，‎ 由题意得，.‎ ‎（2）若， 时， 故 ‎（3） 若对任意成立，即对任意成立，‎ 的最小值是，的最大整数值是7。‎ 即存在最大整数使对任意，均有 ‎5．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。‎ 已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为__3___，这个数列的前n项和的计算公式为__当n为偶数时，；当n为奇数时， ‎6．已知数列{an}中，a1=1，a2k=a2k-1+(-1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3，…。‎ ‎(1)求a3,a5； （2）求{an}的通项公式 解：（I）a2=a1+(－1)1=0, a3=a2+31=3.a4=a3+(－1)2=‎4 a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13.‎ ‎ (II) a2k+1=a2k+3k = a2k－1+(－1)k+3k, 所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k, ‎ ‎ 同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1, a3－a1=3+(－1).‎ ‎ 所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)‎ ‎ =(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)],‎ ‎ 由此得a2k+1－a1=(3k－1)+[(－1)k－1],‎ ‎ 于是a2k+1=a2k= a2k－1+(－1)k=(－1)k－1－1+(－1)k=(－1)k=1. ‎ ‎{an}的通项公式为：‎ ‎ 当n为奇数时，an= ‎ 当n为偶数时， ‎7．数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式． ‎ 解：（I）由a1=1，，n=1，2，3，……，得 ，，，‎ 由（n≥2），得（n≥2），‎ 又a2=，所以an=(n≥2),‎ ‎∴ 数列{an}的通项公式为 ‎8．已知数列满足 求数列的通项公式；‎ 解： ‎ ‎ 是以为首项，2为公比的等比数列．‎ ‎ ‎ 即　 ‎9．已知数列和，设，求数列的前项和．‎ 解：，‎ 两式相减得 ‎10．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．‎ 解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且 解得，．所以，．‎ ‎（Ⅱ）．，①‎ ，②‎ ‎②－①得，‎ ．‎ ‎11．已知数列的通项公式为＝，设，求．‎ 解：＝＝2（－）． ‎ ＝2[（－）＋（－）＋（－）＋……＋（－‎ ）＋（－）]＝2（＋－－）.‎ ‎12．是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，求数列的通项．‎ 解： 由已知得， 即 ，‎ 解得或 或 ‎13．已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且 ，．设（），则数列的前10项和等于（　C　）‎ ‎（A）55　　　　 （B）70　　　　　（C）85　　　　　（D）100‎ ‎14．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an}是公比为q的无穷等比数列，下列{an}的四组量中：①S1与S2； ②a2与S3； ③a1与an； ④q与an．‎ 其中一定能成为该数列“基本量”的是第 ①④ 组．(写出所有符合要求的组号)‎ ‎15. 已知等比数列的前项和为，且．‎ ‎（1）求、的值及数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ 解：（1）当时，．‎ 而为等比数列，得，即，从而． ‎ 又．‎ ‎（2）， 两式相减得，‎ 因此，．‎ ‎16. 已知数列在直线x-y+1=0上．‎ （1） 求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若函数 求函数f (n)的最小值；‎ ‎ (3)设表示数列{bn}的前n项和． 试问:是否存在关于n 的整式g(n)， ‎ 使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明;若不存在，说明理由． ‎ 解：（1）在直线x-y+1=0上　　　‎ 　 ‎ ‎ （2） ，‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎ ‎ （3），‎ ‎ ‎ ．‎ ‎ ……………………………………‎ ‎ ‎ ‎ 故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立． ‎ ‎17. 设数列是等差数列，．‎ ‎（Ⅰ）当时，请在数列中找一项，使得成等比数列；‎ ‎（Ⅱ）当时，若满足，‎ 使得是等比数列，求数列的通项公式．‎ 解：（Ⅰ）设公差为，则由，得 ‎∵成等比数列，∴ 解得．故成等比数列． ‎ ‎（Ⅱ），∴，故．‎ 又是等比数列，‎ 则，∴， 又，∴，∴ ‎18. 数列{}的前项和满足： ‎（1）求数列{}的通项公式；‎ ‎（2）数列{}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）当时有： 两式相减得： ‎ ‎ ‎∴数列{}是首项6，公比为2的等比数列．‎ 从而 ‎ ‎（2）假设数列{}中存在三项，它们可以构成等差数列，‎ 因此只能是，‎ 即 ‎ 、、均为正整数，‎ ‎∴（*）式左边为奇数右边为偶数，不可能成立。‎ 因此数列{}中不存在可以构成等差数列的三项。‎ ‎19.在等差数列中，，前项和满足， ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，求数列的前项和．‎ 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，由得，‎ 所以，即，所以．‎ ‎（Ⅱ）由，得．故，‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 即