步步高高考数学文江苏专用大二轮总复习练习专题三平面向量doc 16页

第3讲　平面向量 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．(2016·课标全国丙改编)已知向量＝，＝，则∠ABC＝________.‎ 答案　30°‎ 解析　∵||＝1，||＝1，‎ cos∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°.‎ ‎2．(2016·山东改编)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为______．‎ 答案　－4‎ 解析　∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即t·m·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4.‎ ‎3．(2016·天津改编)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为________．‎ 答案　 解析　如图所示，＝＋.‎ 又D，E分别为AB，BC的中点，‎ 且DE＝2EF，所以＝，‎ ＝＋＝＋ ‎＝＝，‎ 所以＝＋.又＝－，‎ 则·＝·(－)‎ ‎＝·－2＋2－· ‎＝2－2－·.‎ 又||＝||＝1，∠BAC＝60°，‎ 故·＝－－×1×1×＝.‎ ‎4．(2016·浙江)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，则a·b的最大值是________．‎ 答案　 解析　由已知可得：‎ ≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|，‎ 由于上式对任意单位向量e都成立．‎ ‎∴≥|a＋b|成立．‎ ‎∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.‎ 即6≥5＋2a·b，∴a·b≤.‎ ‎1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为填空题，难度中低档.2.考查平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.‎ 热点一　平面向量的线性运算 ‎1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．‎ ‎2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．‎ 例1　(1)设0<θ<，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝______.‎ ‎(2)如图，在△ABC中，已知＝2，以向量，向量 作为基底，则向量可表示为____________．‎ 答案　(1)　(2)＋ 解析　(1)因为a∥b，‎ 所以sin 2θ＝cos2θ，即2sin θcos θ＝cos2θ.‎ 因为0<θ<，所以cos θ>0，‎ 得2sin θ＝cos θ，tan θ＝.‎ ‎(2)根据平面向量的运算法则及已知图形可知＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋.‎ 思维升华　(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．‎ 跟踪演练1　(1)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么以向量和向量为基底，向量可表示为__________．‎ ‎(2)如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为________．‎ 答案　(1)－　(2) 解析　(1)在△CEF中，有＝＋.‎ 因为点E为DC的中点，所以＝.‎ 因为点F为BC的一个三等分点，所以＝.‎ 所以＝＋＝＋＝－.‎ ‎(2)因为E为DC的中点，所以＝＋＝＋＋＝＋，即＝－＋，‎ 所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝.‎ 热点二　平面向量的数量积 ‎1．数量积的定义：a·b＝|a||b|cos θ.‎ ‎2．三个结论 ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.‎ ‎(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎||＝.‎ ‎(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，‎ 则cos θ＝＝.‎ 例2　(1)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．‎ ‎(2)若b＝，|a|＝2|b|，且(a＋b)·b＝－2，则向量a，b的夹角为________．‎ 答案　(1)　(2) 解析　(1)以A为原点，建立如图所示的坐标系，‎ 可得A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)，‎ ‎∴＝(，0)，＝(x,2)，‎ ‎∴·＝x＝，‎ 解得x＝1，∴F(1,2)．‎ ‎∴＝(，1)，＝(1－，2)，‎ ‎∴·＝×(1－)＋1×2＝.‎ ‎(2)b2＝cos2＋cos2＝cos2＋sin2＝1，‎ 所以|b|＝1，|a|＝2.‎ 由(a＋b)·b＝－2，可得a·b＋b2＝－2，‎ 故a·b＝－，故cos〈a，b〉＝＝＝－.‎ 又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.‎ 思维升华　(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．‎ 跟踪演练2　(1)已知点A，B，C，D在边长为1的方格点图的位置如图所示，则向量在方向上的投影为________．‎ ‎(2)如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，则·的值为________．‎ 答案　(1)－　(2)－2‎ 解析　(1)不妨以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得＝(－2,3)，＝(4,2)，所以向量在方向上的投影为＝＝－.‎ ‎(2)·＝(＋)·＝(＋)· ‎＝[＋(－)]·＝(＋)·(－)‎ ‎＝－2＋·＋2‎ ‎＝－6＋1＋3＝－2.‎ 热点三　平面向量与三角函数 平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．‎ 例3　已知函数f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x(x∈R)．‎ ‎(1)当x∈[0，)时，求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝3，f(C)＝2，若向量m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，求a，b的值．‎ 解　(1)f(x)＝2cos2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＋1＝2sin(2x＋)＋1，‎ 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，‎ 因为x∈[0，)，‎ 所以f(x)的单调递增区间为[0，]．‎ ‎(2)由f(C)＝2sin(2C＋)＋1＝2，‎ 得sin(2C＋)＝，‎ 而C∈(0，π)，所以2C＋∈(，)，‎ 所以2C＋＝π，解得C＝.‎ 因为向量m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，‎ 所以＝.‎ 由正弦定理得＝，①‎ 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos，‎ 即a2＋b2－ab＝9.②‎ 联立①②，解得a＝，b＝2.‎ 思维升华　在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．‎ 跟踪演练3　已知△ABC是锐角三角形，向量m＝ ，n＝，且m⊥n.‎ ‎(1)求A－B的值；‎ ‎(2)若cos B＝，AC＝8，求BC的长．‎ 解　(1)因为m⊥n，‎ 所以m·n＝coscos B＋sinsin B ‎＝cos＝0，‎ 又A，B∈，‎ 所以∈，‎ 所以A＋－B＝，即A－B＝.‎ ‎(2)因为cos B＝，B∈，所以sin B＝，‎ 所以sin A＝sin＝sin Bcos＋cos Bsin ‎＝·＋·＝，‎ 由正弦定理，得BC＝·AC＝×8＝4＋3.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．如图，在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设＝a，＝b，用a，b表示向量，则＝____________.‎ 押题依据　平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示(用基底或坐标)是向量应用的基础．‎ 答案　(a＋b)‎ 解析　因为DE∥BC，所以DN∥BM，‎ 则△AND∽△AMB，所以＝.‎ 因为＝，所以＝.‎ 因为M为BC的中点，‎ 所以＝(＋)＝(a＋b)，‎ 所以＝＝(a＋b)．‎ ‎2．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·＝________.‎ 押题依据　数量积是平面向量最重要的概念，平面向量数量积的运算是高考的必考内容，和平面几何知识的结合是向量考查的常见形式．‎ 答案　－ 解析　∵＝2，圆O的半径为1，∴||＝，‎ ‎∴·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝()2＋0－1＝－.‎ ‎3．在△ABC中，＝(cos 32°，cos 58°)，＝(sin 60°sin 118°，sin 120°sin 208°)，则△ABC的面积为________．‎ 押题依据　平面向量作为数学解题工具，通过向量的运算给出条件解决三角函数问题已成为近几年高考的热点．‎ 答案　 解析　||＝ ‎＝＝1，‎ ＝，‎ 所以||＝ ＝.‎ 则·＝cos 32°×cos 28°－sin 32°×sin 28°‎ ‎＝(cos 32°cos 28°－sin 32°sin 28°)‎ ‎＝cos(32°＋28°)＝cos 60°＝，‎ 故cos〈，〉＝＝＝.‎ 又〈，〉∈[0°，180°]，所以〈，〉＝60°，‎ 故B＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°.‎ 故△ABC的面积为 S＝×||×||sin B ‎＝×1××sin 120°＝.‎ ‎4．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则·的最小值是_______________________________________．‎ 押题依据　本题将向量与平面几何、最值问题等有机结合，体现了高考在知识交汇点命题的方向，本题解法灵活，难度适中．‎ 答案　－ 解析　因为＝＋，所以·＝(＋)·＝·＋2.又因为∠AOB＝60°，OA＝OB，‎ 所以∠OBA＝60°，OB＝1.所以·＝||cos 120°＝－||，所以·＝－||＋||2＝(||－)2－≥－，当且仅当||＝时，·取得最小值－.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A组　专题通关 ‎1．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________.‎ 答案　 解析　在△ABC中，已知D是AB边上一点，‎ ‎∵＝2，＝＋λ，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ＝.‎ ‎2．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是________．‎ ‎①|b|＝1; ②a⊥b；‎ ‎③a·b＝1; ④(4a＋b)⊥.‎ 答案　④‎ 解析　在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，‎ 得|b|＝2.‎ 又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，‎ 所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2‎ ‎＝4×(－1)＋4＝0，‎ 所以(4a＋b)⊥.‎ ‎3．在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，＝2，＝3，则·＝________.‎ 答案　－ 解析　由已知得到·＝(＋)·(＋)＝－2＋·＋·＋2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，所以·＝－×22＋0＋0＋×22＝－.‎ ‎4．(2016·天津蓟县期中)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．‎ 答案　 解析　设a与b的夹角为θ，∵(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，∴1＋a·b－8＝－6，‎ ‎∴a·b＝1＝|a||b|cos θ，∴cos θ＝，‎ 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.‎ ‎5．(2016·安徽江淮十校第二次联考)已知平面向量a、b(a≠0，a≠b)满足|a|＝3，且b与b－a 的夹角为30°，则|b|的最大值为________．‎ 答案　6‎ 解析　令＝a，＝b，则b－a＝－＝，如图，∵b与b－a的夹角为30°，∴∠OBA＝30°，‎ ‎∵|a|＝||＝3，∴由正弦定理＝得，|b|＝||＝6·sin∠OAB≤6.‎ ‎6．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，2)，若a，b在向量c方向上的投影相等，且(c－a)·(c－b)＝－，则向量c的坐标为________．‎ 答案　(，)‎ 解析　设c＝(x，y)，根据题意有 解得 ‎7．设向量＝(5＋cos θ，4＋sin θ)，＝(2,0)，则||的取值范围是________．‎ 答案　[4,6]‎ 解析　∵＝－＝(－3－cos θ，－4－sin θ)，‎ ‎∴||2＝(－3－cos θ)2＋(－4－sin θ)2‎ ‎＝6cos θ＋8sin θ＋26＝10sin(θ＋φ)＋26，‎ 其中tan φ＝，‎ ‎∴16≤||2≤36，∴4≤||≤6.‎ ‎8．设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积a⊗b＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sin x的图象上运动，Q是函数y＝f(x)图象上的点，且满足＝m⊗＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是________．‎ 答案　[－，]‎ 解析　令Q(c，d)，由新的运算可得＝m⊗＋n＝(2x，sin x)＋(，0)＝(2x＋，sin x)，‎ ‎∴消去x得d＝sin(c－)，‎ ‎∴y＝f(x)＝sin(x－)，易知y＝f(x)的值域是[－，]．‎ ‎9．设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈[0，]．‎ ‎(1)若|a|＝|b|，求x的值；‎ ‎(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．‎ 解　(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，‎ ‎|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，‎ 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.‎ 又x∈[0，]，从而sin x＝，所以x＝.‎ ‎(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x ‎＝sin 2x－cos 2x＋＝sin(2x－)＋，‎ 当x＝∈[0，]时，sin(2x－)取最大值1，‎ 所以f(x)的最大值为.‎ ‎10．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0<α