高考文科数学试题分类汇编圆锥曲线 29页

2012 高考文科试题解析分类汇编：圆锥曲线 一、选择题 1.【2012 高考新课标文 4】设 是椭圆 的左、右焦点， 为直 线 上一点， 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为（ ） 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思 想，是简单题. 【解析】∵△ 是底角为 的等腰三角形， ∴ ， ，∴ = ， ∴ ，∴ = ，故选 C. 2.【2012 高考新课标文 10】等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ；则 的实轴长为（ ） 【答案】C 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为： ，设等轴双曲线方程为： ，将 代入等轴双曲线方程解得 = ，∵ = ，∴ = ，解得 =2， ∴ 的实轴长为 4，故选 C. 3.【2012 高考山东文 11】已知双曲线 ： 的离心率为 2.若抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离为 2，则抛物线 的方程为 (A) 　(B) 　　(C) 　　(D) 【答案】D 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为 2 且双曲线中 a，b，c 的关系可知 ，此题应注意 C2 的焦 点在 y 轴上，即（0，p/2）到直线 的距离为 2，可知 p=8 或数形结合，利用直 角三角形求解。 4.【2012 高考全国文 5】椭圆的中心在原点，焦距为 ，一条准线为 ，则该椭圆的方 程为 1 2F F 3 2 ax = 30 2 1F PF 030 0 2 60PF A∠ = 2 1 2| | | | 2PF F F c= = 2| |AF c 32 2c a= e 3 4 4x = 2 2 2x y a− = 4x = y 216 a± − | |AB 4 3 22 16 a− 4 3 a C ab 3= xy 3= 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > P 12 PFF∆ E ( )A 1 2 ( )B 2 3 ( )C 3 4 ( )D 4 5 C x C xy 162 = ,A B 4 3AB = C ( )A 2 ( )B 2 2 ( )C 4 ( )D 8 1C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2 : 2 ( 0)C x py p= > 1C 2C 2 8 3 3x y= 2 16 3 3x y= 2 8x y= 2 16x y= 4 4x = − （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置， 然后借助于焦距和准线求解参数 ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为 ，由一条准线方程为 可得该椭圆的焦点在 轴上县 ，所以 。故选答案 C 5.【2012 高考全国文 10】已知 、 为双曲线 的左、右焦点，点 在 上， ，则 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。 首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。 【解析】解：由题意可知， ，设 ，则 ，故 ， ，利用余弦定理可 得 。 6.【2012 高考浙江文 8】 如图，中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N 是双 曲线的两顶点。若 M，O，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是 A.3 B.2 C. D. 【答案】B 【命题意图】本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质，通过对两者公交点求解离心率的 , ,a b c 2 4 2c c= ⇔ = 4x = − x 2 24 4 8a a cc = ⇔ = = 2 2 2 8 4 4b a c= − = − = 2 , 2a b c= = ∴ = 1 2| | 2 ,| |PF x PF x= = 1 2| | | | 2 2 2PF PF x a− = = = 1 2| | 4 2,| | 2 2PF PF= = 1 2 4F F = 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (4 2) (2 2) 4 3cos 2 42 2 2 4 2 PF PF F FF PF PF PF + − + −∠ = = =⋅ × × 3 2 2 2 116 12 x y+ = 2 2 112 8 x y+ = 2 2 18 4 x y+ = 2 2 112 4 x y+ = 1F 2F 2 2: 2C x y− = P C 1 2| | 2 | |PF PF= 1 2cos F PF∠ = 1 4 3 5 3 4 4 5 关系. 【解析】设椭圆的长轴为 2a，双曲线的长轴为 ，由 M，O，N 将椭圆长轴四等分，则 ，即 ，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为 c，则双曲线的离 心率为 ， ， . 7.【2012 高考四川文 9】已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点 ，并且经过点 。若点 到该抛物线焦点的距离为 ，则 （ ） A、 B、 C、 D、 【答案】B [解析]设抛物线方程为 y2=2px(p>0),则焦点坐标为（ ），准线方程为 x= , [点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点，F 为抛物线的焦点，d 为点 M 到准线的距离). 8.【2012 高考四川文 11】方程 中的 ，且 互不相同， 在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ） A、28 条 B、32 条 C、36 条 D、48 条 【答案】B [解析]方程 变形得 ，若表示抛物线，则 所以，分 b=-2,1,2,3 四种情况： （1）若 b=-2， ; （2）若 b=2, 以上两种情况下有 4 条重复，故共有 9+5=14 条； 同理 若 b=1，共有 9 条； 若 b=3 时，共有 9 条. 综上，共有 14+9+9=32 种 [点评]此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的 4 条抛物线. 列举法是 解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用. 9.【2012 高考上海文 16】对于常数 、 ，“ ”是“方程 的曲线是 椭圆”的（ ） 2a′ 2 2 2a a′= × 2a a′= ce a ′ = ′ ce a = 2e a e a ′ = =′ 0,2 p 2 p− 32)22(2|| 22,2 22,1 32 p22 p-2 22 0 22 0 2 =+=∴ ∴ == =+=+∴ ∴ OM M yp y M M 有：），根据两点距离公式（点 解得： ）（）（ 线的距离，即到焦点的距离等于到准 在抛物线上， 2 2ay b x c= + 22 2 b cyb ax −= 0,0 ≠≠ ba    == == == 2,1,03 3,1,0,2 3,2,0c,1 或或， 或或 或或 ca ca a    −== −== =−= 1,0,23 3,0,2c,1 3,1,0,2 或或， 或或 或或 ca a ca x O 0(2, )M y M 3 | |OM = 2 2 2 3 4 2 5 2 2ay b x c= + , , { 2,0,1,2,3}a b c∈ − , ,a b c m n 0mn > 2 2 1mx ny+ = A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不 充分也不必要条件 【答案】B. 【解析】方程 的曲线表示椭圆，常数常数 的取值为 所以，由 得不到程 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示 椭圆，能推出 ，因而必要.所以答案选择 B. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程 的组成特征，可以知道常数 的取值情况.属于中档题. 10.【2012 高考江西文 8】椭圆 的左、右顶点分别是 A，B，左、右 焦点分别是 F1，F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与 方程，转化与化归思想. 利 用 椭 圆 及 等 比 数 列 的 性 质 解 题 . 由 椭 圆 的 性 质 可 知 ： ， ， . 又 已 知 ， ， 成 等 比 数 列 ， 故 ， 即 ，则 .故 .即椭圆的离心率为 . 【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关 的方程，然后化为有关 的 齐次式方程，进而转化为只含有离心率 的方程，从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握 椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等. 11.【2012 高考湖南文 6】已知双曲线 C ： - =1 的焦距为 10 ，点 P （2,1）在 C 的 渐近线上，则 C 的方程为 A． - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1[ 【答案】A 122 =+ nymx nm, 0, 0, , m n m n >  >  ≠ 0mn > 122 =+ nymx 0mn > nm, 5 5 5-2 1AF a c= − 1 2 2F F c= 1F B a c= + 1AF 1 2F F 1F B 2( )( ) (2 )a c a c c− + = 2 2 24a c c− = 2 25a c= 5 5 ce a = = 5 5 ,a c ,a c e 2 2 x a 2 2 y b 2 20 x 2 5 y 2 5 x 2 20 y 2 80 x 2 20 y 2 20 x 2 80 y 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 4 1 2 【解析】设双曲线 C ： - =1 的半焦距为 ，则 . 又 C 的渐近线为 ，点 P （2,1）在 C 的渐近线上， ，即 . 又 ， ， C 的方程为 - =1. 【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想 和基本运算能力，是近年来常考题型. 12.【2102 高考福建文 5】已知双曲线 - =1 的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率 等于 A B C D 【答案】C. 考点：双曲线的离心率。 难度：易。 分析：本题考查的知识点为圆锥曲线的性质，利用离心率 即可。 解答：根据焦点坐标 知 ，由双曲线的简单几何性质知 ，所以 ， 因此 .故选 C. 二 、填空题 13.【2012 高考四川文 15】椭圆 为定值，且 的的左焦点为 ，直线 与椭圆相交于点 、 ， 的周长的最大值是 12，则该椭圆的离心率是______。 【答案】 ， [解析]根据椭圆定义知：4a=12, 得 a=3 , 又 [点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念. 14.【2012 高考辽宁文 15】已知双曲线 x2 y2 =1,点 F1,F2 为其两个焦点，点 P 为双曲线上 一点，若 P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________. 【答案】 【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适 2 2 x a 2 2 y b c 2 10, 5c c= =  by xa = ± 1 2b a ∴ =  2a b= 2 2 2c a b= + 2 5, 5a b∴ = = ∴ 2 20 x 2 5 y 2 2 x a 2 5 y 3 14 14 3 2 4 3 2 4 3 a ce = 522 =− ca 3 2,2 ==∴=∴ a cec )0,3( 3=c 952 =+a 2=a 2 3=e 2 2 2 1(5 x y aa + = 5)a > F x m= A B FAB∆ 3 2 − 2 3 中。 【解析】由双曲线的方程可知 【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差—积—和的转化。 15.【2012 高考江苏 8】（5 分）在平面直角坐标系 中，若双曲线 的离 心率为 ，则 的值为 ▲ ． 【答案】2。 【考点】双曲线的性质。 【解析】由 得 。 ∴ ，即 ，解得 。 16.【2012 高考陕西文 14】右图是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 1 米后，水面宽 米. 【答案】 . 【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点 的坐标为（0,0）， 设 与抛物线的交点为 ，根据题意，知 （-2，-2）， （2，-2）． 设抛物线的解析式为 ， 则有 ，∴ ． ∴抛物线的解析式为 ． 水位下降 1 米，则 -3，此时有 或 ． 1 21, 2, 2 2,a c PF PF a= = ∴ − = = 2 2 1 1 2 22 4PF PF PF PF∴ − + = 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 , (2 ) 8, 2 4, ( ) 8 4 12, 2 3 PF PF PF PF c PF PF PF PF PF PF ⊥ ∴ + = = ∴ = ∴ + = + = ∴ + =  2 2 2 14 x y m m − =+ 2 2= = 4 = 4a m b m c m m+ + +， ， 2 4= = = 5c m me a m + + 2 4 4=0m m− + =2m O l A B、 A B 2axy = ( )222 −×=− a 2 1−=a 2 2 1 xy −= y = 6=x 6−=x xOy 2 2 2 14 x y m m − =+ 5 m l 62 ∴此时水面宽为 米． 17.【2012 高考重庆文 14】设 为直线 与双曲线 左支的 交点， 是左焦点， 垂直于 轴，则双曲线的离心率 18.【2012 高考安徽文 14】过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 两点，若 ，则 =______。 【答案】 【解析】设 及 ；则点 到准线 的距离为 得： 又 19. 【 2012 高 考 天 津 文 科 11 】 已 知 双 曲 线 与 双 曲 线 有相同的渐近线，且 的右焦点为 ,则 【答案】1，2 【解析】双曲线的 渐近线为 ，而 的渐近线为 ， 所以有 ， ，又双曲线 的右焦点为 ，所以 ，又 ，即 ，所以 。 三、解答题 62 (0 )AFx θ θ π∠ = < < BF m= A : 1l x = − 3 13 2 3cos cos 3 θ θ= + ⇔ = 2 32 cos( ) 1 cos 2m m mπ θ θ= + − ⇔ = =+ 1164 22 =− yx xy 2±= 12 2 2 2 =− b y a x xa by ±= 2= a b ab 2= 12 2 2 2 =− b y a x )0,5( 5=c 222 bac += 222 545 aaa =+= 2,1,12 === baa P 3 by xa = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1F 1PF x e = 2 4y x= F ,A B | | 3AF = | |BF 3 2 )0,0(1: 2 2 2 2 1 >>=− bab y a xC 1164: 22 2 =− yxC 1C ( 5,0)F a = b = 20. 【2012 高考天津 19】（本小题满分 14 分） 已知椭圆 （a>b>0）,点 P（ , ）在椭圆上。 （I）求椭圆的离心率。 （II）设 A 为椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线 的 斜率的值。 【解析】(Ⅰ) 点 在椭圆上 (Ⅱ) 设 ；则 直线 的斜率 21.【2012 高考江苏 19】（16 分）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点分别为 ， ．已知 和 都在椭圆上，其中 为椭圆 的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设 是椭圆上位于 轴上方的两点，且直线 与直线 平行， 与 交于 点 P． （i）若 ，求直线 的斜率； （ii）求证： 是定值． 5 2( , )5 2P a a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 5 3 65 2 1 18 8 4 a a b be ea b a a ⇔ + = ⇔ = ⇔ = − = ⇔ = ( cos , sin )(0 2 )Q a bθ θ θ π≤ < ( ,0)A a 2 2 2 2 2 2 (1 cos ) sin 13cos 16cos 5 0 cos 3 AQ AO a b aθ θ θ θ θ = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ = OQ sin 5cosOQ bk a θ θ= = ± OQ xoy 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1( 0)F c− ， 2 ( 0)F c， (1 )e， 3 2e       ， e ,A B x 1AF 2BF 2AF 1BF 1 2 6 2AF BF− = 1AF 1 2PF PF+ 【答案】解：（1）由题设知， ，由点 在椭圆上，得 ， ∴ 。 由点 在椭圆上，得 ∴椭圆的方程为 。 （2）由（1）得 ， ，又∵ ∥ ， ∴ 设 、 的 方 程 分 别 为 ， 。 ∴ 。 ∴ 。① 同理， 。② （i）由①②得， 。解 得 =2。 2 2 2= = ca b c e a + ， (1 )e， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 11 =1 = = =1e c b c a b a a b b a b a a b + = ⇒ + ⇒ + ⇒ ⇒ 2 2= 1c a − 3 2e       ， 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 4 3 3 2 2 1 31 1 1 4 4=0 =21 4 e c a a a a a b a a         −   + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ − + ⇒ 2 2 12 x y+ = 1( 1 0)F − ， 2 (1 0)F ， 1AF 2BF 1AF 2BF = 1 = 1my x my x+ −， ( ) ( )1 1 2 2 1 20 0A x y B x y y > y >， ， ， ， ， ( ) 2 221 2 21 1 1 1 2 1 1 2 21 2 2 1=0 =2 2= 1 x m my m y my y mmy x  + ++ = ⇒ + − − ⇒ + + ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 12 2= 1 0 = = 1 2 2 m m mm mAF x y my y m m m + + ++ ++ + − + + ⋅ =+ + ( )2 2 2 2 2 1 1 = 2 m m m BF m + − + + 2 1 2 2 2 1 2 m mAF BF m +− = + 2 2 2 1 6=2 2 m m m + + 2m ∵注意到 ，∴ 。 ∴直线 的斜率为 。 （ ii ） 证 明 ： ∵ ∥ ， ∴ ， 即 。 ∴ 。 由点 在椭圆上知， ，∴ 。 同理。 。 ∴ 由①②得， ， ， ∴ 。 ∴ 是定值。 【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。 【解析】（1）根据椭圆的性质和已知 和 都在椭圆上列式求解。 （2）根据已知条件 ，用待定系数法求解。 22.【2012 高考安徽文 20】（本小题满分 13 分） 如图， 分别是椭圆 ： + =1（ ） 的左、右焦点， 是椭圆 的顶点， 是直线 与椭圆 的 0m > = 2m 1AF 1 2= 2m 1AF 2BF 2 1 1 BFPB PF AF = 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1BF PB PF BF AFPB PF AF PF AF + ++ = + ⇒ = 1 1 1 1 2 = AFPF BFAF BF+ B 1 2 2 2BF BF+ = ( )1 1 2 1 2 = 2 2AFPF BFAF BF −+ ( )2 2 1 1 2 = 2 2BFPF AFAF BF −+ ( ) ( )1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2+ = 2 2 2 2 2 2AF BF AF BFPF PF BF AFAF BF AF BF AF BF − + − = −+ + +  ( )2 1 2 2 2 1 = 2 m AF BF m + + + 2 2 1= 2 mAF BF m + + 1 2 2 3+ =2 2 = 22 2PF PF − 1 2PF PF+ (1 )e， 3 2e       ， 1 2 6 2AF BF− = 21, FF C 2 2 a x 2 2 b y 0>> ba A C B 2AF C 另一个交点， =60°. （Ⅰ）求椭圆 的离心率； （Ⅱ）已知△ 的面积为 40 ，求 a, b 的值. 【解析】（I） （Ⅱ）设 ；则 在 中， 面积 23.【2012 高考广东文 20】（本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： （ ）的左焦点为 ，且点 在 上. （1）求椭圆 的方程； （2）设直线 同时与椭圆 和抛物线 ： 相切，求直线 的方程. 【答案】 【解析】（1）因为椭圆 的左焦点为 ，所以 ， 点 代入椭圆 ，得 ，即 ， 所以 ， 所以椭圆 的方程为 . （2）直线 的斜率显然存在，设直线 的方程为 ， ，消去 并整理得 ， 1 2 160 2 2 cF AF a c e a ο∠ = ⇔ = ⇔ = = 2BF m= 1 2BF a m= − 1 2BF F∆ 2 2 2 1 2 1 2 2 1 22 cos120BF BF F F BF F F ο= + − × × 2 2 2 3(2 ) 5a m m a am m a⇔ − = + + ⇔ = 1AF B∆ 2 1 1 1 3 3sin 60 ( ) 40 32 2 5 2 10, 5, 5 3 S F F AB a a a a c b ο= × × × ⇔ × × + × = ⇔ = = = 1F∠ A 2F C A BF1 3 xOy 1C 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 1( 1,0)F − (0,1)P 1C 1C l 1C 2C 2 4y x= l 1C 1( 1,0)F − 1c = (0,1)P 2 2 2 2 1x y a b + = 2 1 1b = 1b = 2 2 2 2a b c= + = 1C 2 2 12 x y+ = l l y kx m= + 2 2 12 x y y kx m  + =  = + y 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x kmx m+ + + − = 因为直线 与椭圆 相切，所以 ， 整理得 ① ，消去 并整理得 。 因为直线 与抛物线 相切，所以 ， 整理得 ② 综合①②，解得 或 。 所以直线 的方程为 或 。 24.【2102 高考北京文 19】(本小题共 14 分) 已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的一个顶点为 A （2,0），离心率为 ， 直线 y=k(x-1) 与椭圆 C 交与不同的两点 M,N （Ⅰ）求椭圆 C 的方程 （Ⅱ）当△AMN 的面积为 时，求 k 的值 【考点定位】此题难度集中在运算，但是整体题目难度确实不大，从形式到条件的设计都是 非常熟悉的，相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。 解：（1）由题意得 解得 .所以椭圆 C 的方程为 . （2）由 得 . 设 点 M,N 的 坐 标 分 别 为 ， ， 则 ， ， ， . 所以|MN|= = = . 由因为点 A(2,0)到直线 的距离 ， 2 2 x a 2 2 y b 2 2 10 3 2 2 2 2 2 2 a c a a b c =  =  = + 2b = 2 2 14 2 x y+ = 2 2 ( 1) 14 2 y k x x y = − + = 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 4 0k x k x k+ − + − = 1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 1( 1)y k x= − 2 2( 1)y k x= − 2 1 2 2 4 1 2 kx x k + = + 2 1 2 2 2 4 1 2 kx x k −= + 2 2 2 1 2 1( ) ( )x x y y− + − 2 2 1 2 1 2(1 )[( ) 4 ]k x x x x+ + − 2 2 2 2 (1 )(4 6 ) 1 2 k k k + + + ( 1y k x= − ） 2 | | 1 2 kd k = + l 1C 2 2 2 216 4(1 2 )(2 2) 0k m k m∆ = − + − = 2 22 1 0k m− + = 2 4y x y kx m  =  = + y 2 2 2(2 4) 0k x km x m+ − + = l 2C 2 2 2(2 4) 4 0km k m∆ = − − = 1km = 2 2 2 k m  =  = 2 2 2 k m  = −  = − l 2 22y x= + 2 22y x= − − 所 以 △ AMN 的 面 积 为 . 由 ， 解 得 . 25.【2012 高考山东文 21】 (本小题满分 13 分) 如图，椭圆 的离心率为 ，直线 和 所围成的矩 形 ABCD 的面积为 8. (Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程； (Ⅱ) 设直线 与椭圆 M 有两个不同的交点 与矩形 ABCD 有两个 不同的交点 .求 的最大值及取得最大值时 m 的值. 【答案】(21)(I) ……① 矩形 ABCD 面积为 8，即 ……② 由①②解得： ， ∴椭圆 M 的标准方程是 . (II) ， 设 ，则 ， 由 得 . . 当 过 点时， ，当 过 点时， . ①当 时，有 ， ， 其中 ，由此知当 ，即 时， 取得最大值 . 2 2 1 | | 4 6| |2 1 2 k kS MN d k += ⋅ = + 2 2 | | 4 6 10 1 2 3 k k k + =+ 1k = ± 2 2 2 2: 1( 0)x yM a ba b + = > > 3 2 x a= ± y b= ± : ( )l y x m m= + ∈R , ,P Q l ,S T | | | | PQ ST 2 2 2 3 3 2 4 c a be a a −= = ⇒ = 2 2 8a b⋅ = 2, 1a b= = 2 2 14 x y+ = 2 2 2 24 4, 5 8 4 4 0 , x y x mx m y x m  + = ⇒ + + − = = + 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 2 1 2 1 2 8 4 4,5 5 mx x m x x −+ = − = 2 264 20(4 4) 0m m∆ = − − > 5 5m− < < 2 2 28 4 4 4 2| | 2 4 55 5 5 mPQ m m − = − − = −   l A 1m = l C 1m = − 5 1m− < < − ( 1, 1), (2,2 ),| | 2(3 )S m T m ST m− − − + = + 2 2 2 | | 4 5 4 4 6 1| | 5 (3 ) 5 PQ m ST m t t −= = − + −+ 3t m= + 1 3 4t = 4 5, ( 5, 1)3 3t m= = − ∈ − − | | | | PQ ST 2 55 ②由对称性，可知若 ，则当 时， 取得最大值 . ③当 时， ， ， 由此知，当 时， 取得最大值 . 综上可知，当 和 0 时， 取得最大值 . 26.【2102 高考福建文 21】（本小题满分 12 分） 如图，等边三角形 OAB 的边长为 ，且其三个顶点均在抛物线 E：x2=2py（p＞0）上。 （1） 求抛物线 E 的方程； （2） 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P，与直线 y=-1 相较于点 Q。证明以 PQ 为直径的 圆恒过 y 轴上某定点。 考点：圆锥曲线的定义，直线和圆锥曲线的位置关系，定值的证明。 难度：难。 分析：本题考查的知识点为抛物线方程的求解，直线和圆锥曲线的联立，定值的表示及计 算。 解答： （I）设 ；则 得：点 关于 轴对称（lfxlby） 代入抛物线 的方程得： 抛物线 的方程为 8 3 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 2 1 1 2 22 , 2x py x py= = 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ( )(2 ) 0 ( 2 , , 0) OA OB x y x y py y py y y y p y y y y p y y = ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ − + + = ⇔ = > ,A B y 8 3 ( 4 3,12), (4 3,12)OA OB AB A B= = = ⇒ − E 2 22 xp y = = ⇒ E 2 4x y= 1 5m< < 5 3m = | | | | PQ ST 2 55 1 1m− ≤ ≤ | | 2 2ST = 2| | 2 5| | 5 PQ mST = − 0m = | | | | PQ ST 2 55 5 3m = ± | | | | PQ ST 2 55 （II）设 ；则 过点 的切线方程为 即 令 设 满足： 及 得： 对 均成立 以 为直径的圆恒过 轴上定点 27.【2012 高考上海文 22】（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 6 分 在平面直角坐标系 中，已知双曲线 （1）设 是 的左焦点， 是 右支上一点，若 ，求点 的坐标； （2）过 的左焦点作 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； （3）设斜率为 （ ）的直线 交 于 、 两点，若 与圆 相切，求 证： ⊥ [解]（1）双曲线 ，左焦点 . 设 ，则 ， ……2 分 由 M 是右支上一点，知 ，所以 ，得 . 所以 . ……5 分 （2）左顶点 ，渐近线方程： . 过 A 与渐近线 平行的直线方程为： ，即 . 2 0 0( , )4 xP x 21 1 4 2y x y x′= ⇒ = P 2 0 0 0 1 1 ( )4 2y x x x x− = − 2 0 0 1 1 2 4y x x x= − 2 0 0 41 ( , 1)2 xy Q x −= − ⇒ − (0, )M t 0MP MQ =   2 0 0 0 0 4( , ), ( , 1 )2 xMP x y t MQ tx −= − = − −  2 2 04( 2) (1 ) 0t t t x+ − + − = 0 0x ≠ 2 2 0,1 0 1t t t t⇔ + − = − = ⇔ = PQ y (0,1)M 1: 2 2 1 2 =− yC x )0,( 2 6−F ),( yxM 2 2 222 2 62 )3()(|| +=++= xyxMF 2 2≥x 223|| 2 2 =+= xMF 2 6=x )2,( 2 6 ±M )0,( 2 2−A xy 2±= xy 2= )(2 2 2+= xy 12 += xy xOy 2 2: 2 1C x y− = F C M C 2 2MF = M C C k 2k < l C P Q l 2 2 1x y+ = OP OQ 解方程组 ，得 . ……8 分 所求平行四边形的面积为 . ……10 分 （3）设直线 PQ 的方程是 .因直线与已知圆相切，故 ， 即 (*). 由 ，得 . 设 P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则 . ，所以 . 由(*)知 ，所以 OP⊥OQ. ……16 分 【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别 要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为 ， 它的渐近线为 ，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于 中档题 ． 28．【2012 高考新课标文 20】（本小题满分 12 分） 设抛物线 C：x2=2py(p>0)的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上一点，已知以 F 为圆心，FA 为半 径的圆 F 交 l 于 B，D 两点. （I）若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2，求 p 的值及圆 F 的方程； （II）若 A，B，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求 坐标原点到 m，n 距离的比值. 【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物 线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识，考查数形 结合思想和运算求解能力. 【解析】设准线 于 轴的焦点为 E，圆 F 的半径为 ， 则|FE|= ， = ，E 是 BD 的中点， (Ⅰ) ∵ ，∴ = ，|BD|= ， 设 A( ， )，根据抛物线定义得，|FA|= ， ∵ 的面积为 ，∴ = = = ，解得 =2， ∴F(0,1), FA|= ， ∴圆 F 的方程为： ； ( Ⅱ ) 【 解 析 1 】 ∵ ， ， 三 点 在 同 一 条 直 线 上 , ∴ 是 圆 的 直 径 ， ,    += −= 12 2 xy xy    = −= 2 1 4 2 y x 4 2|||| == yOAS bkxy += 11 || 2 = +k b 122 += kb    =− += 12 22 yx bkxy 012)2( 222 =−−−− bkbxxk    = =+ − −− − 2 2 2 2 1 21 2 2 21 k b k kb xx xx ))(( 2121 bkxbkxyy ++= 2 2121 2 2121 )()1( bxxkbxxkyyxxOQOP ++++=+=⋅ 2 22 2 22 2 22 2 1 2 2 2 )1)(1( k kb k bk k bk − −+− −− −−+ =+ 0=⋅OQOP 2 xy ±= l y r p | | | |= | |FA FB FD= r 090BFD∠ = | | | |= | |FA FB FD= 2p 2p 0x 0y 02 p y+ ABD∆ 4 2 ABDS∆ 0 1 | | ( )2 2 pBD y + 1 2 22 p p× × 4 2 p 2 2 2 2( 1) 8x y+ − = A B F m AB F 090ADB∠ = 由抛物线定义知 ，∴ ，∴ 的斜率为 或－ ， ∴直线 的方程为： ，∴原点到直线 的距离 = ， 设直线 的方程为： ，代入 得， ， ∵ 与 只有一个公共点， ∴ = ，∴ ， ∴直线 的方程为： ，∴原点到直线 的距离 = ， ∴坐标原点到 ， 距离的比值为 3. 【解析 2】由对称性设 ，则 点 关于点 对称得： 得： ，直线 切点 直线 坐标原点到 距离的比值为 。 29.【2012 高考浙江文 22】本题满分 14 分）如图，在直角坐标系 xOy 中，点 P（1， ）到 抛物线 C： =2px（P＞0）的准线的距离为 。点 M（t，1）是 C 上的定点，A，B 是 C 上的两动点，且线段 AB 被直线 OM 平分。 （1）求 p,t 的值。 （2）求△ABP 面积的最大值。 1| | | | | |2AD FA AB= = 030ABD∠ = m 3 3 3 3 m 3 3 2 py x= ± + m 1d 3 4 p n 3 3y x b= ± + 2 2x py= 2 2 3 2 03x x pb± − = n C ∆ 24 8 03 p pb+ = 6 pb = − n 3 3 6 py x= ± − n 2d 3 12 p m n 2 0 0 0( , )( 0)2 xA x xp > (0, )2 pF ,A B F 2 2 2 20 0 0 0( , ) 32 2 2 x x pB x p p x pp p − − ⇒ − = − ⇔ = 3( 3 , )2 pA p 3 32 2: 3 02 23 p p p pm y x x y p − = + ⇔ − + = 2 2 3 32 2 3 3 x xx py y y x pp p ′= ⇔ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ 3( , )3 6 p pP 3 3 3: ( ) 3 06 3 3 6 p pn y x x y p− = − ⇔ − − = ,m n 3 3: 32 6 p p = 1 2 5 4 2y 【命题意图】本题主要考查了抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解 析几何的基本思想方法和运算求解能力. 【解析】 （1）由题意得 ，得 . （2）设 ，线段 AB 的中点坐标为 由题意得，设直线 AB 的斜率为 k（k ）. 由 ，得 ，得 所以直线的方程为 ，即 . 由 ，整理得 ， 所以 ， ， .从而得 ， 设点 P 到直线 AB 的距离为 d，则 ，设 ABP 的面积为 S，则 . 由 ，得 . 令 ， ，则 . 设 ， ，则 . 由 ，得 ，所以 ，故 ABP 的面积的最大值为 . 30.【2012 高考湖南文 21】（本小题满分 13 分） 在直角坐标系 xOy 中，已知中心在原点，离心率为 的椭圆 E 的一个焦点为圆 C：1 2 2 1 51 2 4 pt p = + = 1 2 1 p t  =  = ( )1 1 2 2( , ), ,A x y B x y ( , )Q m m 0≠ 2 1 1 2 2 2 2px 2px y y  = = 2 1 1 2 2 1( )( ) ( )y y y y k x x− + = − 2 1k m⋅ = 1 ( )2y m x mm − = − 22 2 0x my m m− + − = 2 2 2 2 0x my m m y x  − + − = = 2 22 2 0y my m m− + − = 24 4m m= − 1 2 2y y m+ = 2 1 2 2y y m m= − 2 2 1 22 11 1 4 4 4AB y y m m mk = + − = + − 2 2 1 2 2 1 4 m m d m − + = + ∆ 2 21 1 2( )2S AB d m m m m= ⋅ = − − ⋅ − 24 4 0m m∆ = − > 0 1m< < 2t m m= − 10 2t< < 2(1 2 )S t t= − 2(1 2 )S t t= − 10 2t< ≤ 21 6S t′ = − 21 6 0S t′ = − = 6 10,6 2t  = ∈   max 6 9S = ∆ 6 9 x2+y2-4x+2=0 的圆心.[ （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）设 P 是椭圆 E 上一点，过 P 作两条斜率之积为 的直线 l1，l2.当直线 l1，l2 都与圆 C 相切时，求 P 的坐标. 【答案】 【解析】（Ⅰ）由 ，得 .故圆Ｃ的圆心为点 从而可设椭圆Ｅ的方程为 其焦距为 ，由题设知 故椭圆Ｅ的方程为： （ Ⅱ ） 设 点 的 坐 标 为 ， 的 斜 分 率 分 别 为 则 的 方 程 分 别 为 且 由 与圆 相 切，得 　　 ， 即　　　　　 同理可得　　 . 从而 是方程 的两个实根，于是 　　　　　　　 　　　　　　　① 且 由 得 解得 或 由 得 由 得 它们满足①式，故点Ｐ的坐标为 1 2 2 2 4 2 0x y x+ − + = 2 2( 2) 2x y− + = (2,0), 2 2 2 2 1( 0),x y a ba b + = > > 2c 2 2 212, , 2 4, 12.2 cc e a c b a ca = = = ∴ = = = − = 2 2 1.16 12 x y+ = p 0 0( , )x y 1 2,l l 1 2, .k k 1 2,l l 1 0 1 0 2 0 2 0: ( ), : ( ),l y y k x x l y y k x x− = − − = − 1 2 1 .2k k = 1l 2 2:( 2) 2c x y− + = 1 0 1 0 2 1 2 2 1 k y k x k + − = + 2 2 2 0 1 0 0 2 0(2 ) 2 2(2 ) 2 0.x k x y k y − − + − + − =  2 2 2 0 2 0 0 2 0(2 ) 2 2(2 ) 2 0x k x y k y − − + − + − =  1 2,k k 0 2 2 0 0 0 0(2 ) 2 2(2 ) 2 0x k x y k y − − + − + − =  2 0 2 2 0 0 (2 ) 2 0, 8 (2 ) 2 0, x x y  − − ≠  ∆ = − + − >   2 0 1 2 2 2 2 2.(2 ) 2 yk k x −= =− − 2 2 0 0 2 0 2 0 1,16 12 2 1 (2 ) 2 2 x y y x  + = − = − − 2 0 05 8 36 0.x x− − = 0 2,x = 0 10.5x = 0 2x = − 0 3;y = ± 0 18 5x = 0 57 ,5y = ± ，或 ，或 ，或 . 【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、 函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出 即得椭圆 E 的 方程，第二问设出点 P 坐标，利用过 P 点的两条直线斜率之积为 ，得出关于点 P 坐标的 一个方程，利用点 P 在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点 P 坐标. 31.【2012 高考湖北文 21】（本小题满分 14 分） 设 A 是单位圆 x2+y2=1 上任意一点，l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线，D 是直线 l 与 x 轴的交 点，点 M 在直线 l 上，且满足 当点 A 在圆上运动时，记点 M 的 轨迹为曲线 C。 （1）求曲线 C 的方程，判断曲线 C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。 （2）过原点斜率为 K 的直线交曲线 C 于 P，Q 两点，其中 P 在第一象限，且它在 y 轴上的 射影为点 N，直线 QN 交曲线 C 于另一点 H，是否存在 m,使得对任意的 K>0，都有 PQ⊥PH？ 若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由。 21. 【答案】 解：（Ⅰ）如图 1，设 ， ，则由 ， 可得 ， ，所以 ， . ① 因为 点在单位圆上运动，所以 . ② 将①式代入②式即得所求曲线 的方程为 . 因为 ，所以 当 时，曲线 是焦点在 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为 ， ； 当 时，曲线 是焦点在 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为 ， . （Ⅱ）解法 1：如图 2、3， ，设 ， ，则 ， ， 直线 的方程为 ，将其代入椭圆 的方程并整理可得 . 依题意可知此方程的两根为 ， ，于是由韦达定理可得 ，即 . 因为点 H 在直线 QN 上，所以 . ( , )M x y 0 0( , )A x y | | | | ( 0, 1)DM m DA m m= > ≠且 0x x= 0| | | |y m y= 0x x= 0 1| | | |y ym = A 2 2 0 0 1x y+ = C 2 2 2 1 ( 0, 1)yx m mm + = > ≠且 (0, 1) (1, )m∈ + ∞ 0 1m< < C x 2( 1 , 0)m− − 2( 1 , 0)m− 1m > C y 2(0, 1)m− − 2(0, 1)m − 0k∀ > 1 1( , )P x kx 2 2( , )H x y 1 1( , )Q x kx− − 1(0, )N kx QN 12y kx kx= + C 2 2 2 2 2 2 2 1 1( 4 ) 4 0m k x k x x k x m+ + + − = 1x− 2x 2 1 1 2 2 2 4 4 k xx x m k − + = − + 2 1 2 2 24 m xx m k = + 2 1 2 1 2 2 2 22 4 km xy kx kx m k − = = + ( 2,3)− ( 2, 3)− − 18 57( , )5 5 18 57( , )5 5 − , ,c a b 1 2 于是 ， . 而 等价于 ， 即 ，又 ，得 ， 故存在 ，使得在其对应的椭圆 上，对任意的 ， 都有 . 解法 2：如图 2、3， ，设 ， ，则 ， ， 因为 ， 两点在椭圆 上，所以 两式相减可得 . ③ 依题意，由点 在第一象限可知，点 也在第一象限，且 ， 不重合， 故 . 于是由③式可得 . ④ 又 ， ， 三点共线，所以 ，即 . 于是由④式可得 . 而 等价于 ，即 ，又 ，得 ， 故存在 ，使得在其对应的椭圆 上，对任意的 ，都有 . 【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想 以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论， 不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求 解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求. 1 1( 2 , 2 )PQ x kx= − − 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 4 2( , ) ( , )4 4 k x km xPH x x y kx m k m k = − − = − + +  PQ PH⊥ 2 2 2 1 2 2 4(2 ) 04 m k xPQ PH m k −⋅ = =+   22 0m− = 0m > 2m = 2m = 2 2 12 yx + = 0k > PQ PH⊥ 1 (0, 1)x∀ ∈ 1 1( , )P x y 2 2( , )H x y 1 1( , )Q x y− − 1(0, )N y P H C 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 , , m x y m m x y m  + = + = 2 2 2 2 2 1 2 1 2( ) ( ) 0m x x y y− + − = P H P H 1 2 1 2( )( ) 0x x x x− + ≠ 21 2 1 2 1 2 1 2 ( )( ) ( )( ) y y y y mx x x x − + = −− + Q N H QN QHk k= 1 1 2 1 1 2 2y y y x x x += + 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 ( )( )1 2 ( )( ) 2PQ PH y y y y y y y mk k x x x x x x x − − +⋅ = ⋅ = ⋅ = −− − + PQ PH⊥ 1PQ PHk k⋅ = − 2 12 m− = − 0m > 2m = 2m = 2 2 12 yx + = 0k > PQ PH⊥ P O x y N Q 图 2 (0 1)m< < H P O x y N Q 图 3 ( 1)m > H 图 1 O D x y A M 第 21 题解答图 32.【2012 高考全国文 22】（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效） 已知抛物线 与圆 有一个公共点 ， 且在点 处两曲线的切线为同一直线 . （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）设 、 是异于 且与 及 都相切的两条直线， 、 的交点为 ，求 到 的 距离。 【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程，以及两个曲线的公共点处的切线的运用，并 在此基础上求解点到直线的距离。 解：（1）设 ，对 求导得 ，故直线 的斜率 ，当 时，不合题意，所心 圆心为 ， 的斜率 由 知 ，即 ，解得 ，故 所以 （2）设 为 上一点，则在该点处的切线方程为 即 若该直线与圆 相切，则圆心 到该切线的距离为 ，即 ，化简可得 求解可得 抛物线 在点 处的切线分别为 ，其方程分别为 ① ② ③ ②－③得 ，将 代入②得 ，故 2 0 0( ,( 1) )A x x + 2( 1)y x x= = + 2( 1)y x′ = + l 02( 1)k x= + 0 1x = 0 1x ≠ 1(1, )2M MA 2 0 0 1( 1) 2 1 x k x + − ′ = − l MA⊥ 1kk′ = − 2 0 0 0 1( 1) 22( 1) 11 x x x + − + × = −− 0 0x = (0,1)A 2 21 5| | (1 0) ( 1)2 2r MA= = − + − = 2( ,( 1) )a a + C 2( 1) 2( 1)( )y a a x a− + = + − 22( 1) 1y a x a= + − + M M 5 2 2 2 2 1| 2( 1) 1 1| 52 2[2( 1)] ( 1) a a a + × − − + = + + − 2 2( 4 6) 0a a a− − = 0 1 20, 2 10, 2 10a a a= = + = − C 2( ,( 1) )( 0,1,2)i ia a i+ = , ,l m n 2 1y x= + 2 1 12( 1) 1y a x a= + − + 2 2 22( 1) 1y a x a= + − + 1 2 22 a ax += = 2x = 1y = − (2, 1)D − 2: ( 1)C y x= + 2 2 21:( 1) ( ) ( 0)2M x y r r− + − = > A A l r m n l C M m n D D l 所以 到直线 的距离为 。 【点评】该试题出题的角度不同于平常，因为涉及的是两个二次曲线的交点问题，并且要研 究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来，是该试题的创新处。另 外对于在第二问中更是难度加大了，出现了另外的两条公共的切线，这样的问题对于我们以 后的学习也是一个需要练习的方向。 33.【2012 高考辽宁文 20】(本小题满分 12 分) 如图，动圆 ,10 而当 1 或-1 为方程（*）的根时，m 的值为-1 或 1. 结合题设（m>0）可知，m>0，且 m≠1 设 Q、R 的坐标分别为（XQ,YQ）,(XR,YR),则为方程（*）的两根. 因为 ,所以 ， 所以 。 此时 所以 y xBA O M 1+X y 1−x y 1+X y 1−x y    =−− += 044 22 yx mxy ∆ PRPQ < XX RQ < 3 32,3 32 22 ++=+−= mXmX mm PQ 1312 21 1312 1312 2 2 2 −+ += ++ ++ == m m X X m PQ PR R P 231,131 22 ≠+>+ mm 且 3 5 1312 21,3 1312 211 m22 ≠ −+ +< −+ +< 且 m M C C ( 0)y x m m= + > y P C Q R、 | | | |PQ PR< | | | | PR PQ 所以 综上所述， …………………………12 分 [点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能 力，考察函数、分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。 36.【2012 高考重庆文 21】本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 7 分） 已知椭圆的中心为原点 ，长轴在 轴 上，上顶点为 ，左、右焦点分别为 ，线段 的中点分别为 ，且△ 是面积为 4 的直角三 角形。（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方 程；（Ⅱ）过 作直线交椭圆于 ， ，求△ 的面积 【答案】：（Ⅰ） + =1（Ⅱ） ， 3 5,31 ≠=<=< X X X X P R P R PQ PR PQ PR 且 ），（），的取值范围是（ 33 5 3 51 ∪ PQ PR 2 20 x 2 4 y 16 10 9 1 2 |OA B B⊥ O x A 1 2,F F 1 2,OF OF 1 2,B B 1 2AB B 1B ,P Q 2 2PB QB⊥ 2PB Q （*） 设 则 是上面方程的两根，因此 又 ， 所 以 由 ，知 ，即 ，解得 当 时，方程（*）化为： 故 ， 的面积 当 时，同理可得（或 由对称性可得） 的面积 综上所述， 的面积为 。 37.【2012 高考陕西文 20】（本小题满分 13 分） 1 1 2 2( , ), ( , ),P x y Q x y 1 2,y y 1 2 2 4 ,5 my y m + = + 1 2 2 16 5y y m −⋅ = + 1 1 1 2 2 2( 2, ), ( 2, )B P x y B P x y= − = −  1 2 1 2( 2)( 2)B P B P x x⋅ = − −  1 2y y+ 1 2 1 2( 4)( 4)my my y y= − − + 2 1 2( 1)m y y= + 1 24 ( ) 16m y y− + + 2 2 2 2 16( 1) 16 165 5 m m m m − += − ++ + 2 2 16 64 5 m m −= − + 2 2PB QB⊥ 2 2 0B P B Q⋅ =  216 64 0m − = 2m = ± 2m = 29 8 16 0y y− − = 1 2 4 4 10 4 4 10,9 9y y + −= = 1 2 8 10| | 9y y− = 2PB Q 1 2 1 2 1 16 10| || |2 9S B B y y= − = 2m = − 2PB Q 16 10 9S = 2PB Q 16 10 9 已知椭圆 ，椭圆 以 的长轴为短轴，且与 有相同的离心率。 （1）求椭圆 的方程； （2）设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 和 上， ，求直线 的方程。 【解析】（Ⅰ）由已知可设椭圆 的方程为 ， 其离心率为 ，故 ，则 ． 故椭圆 的方程为 ． （Ⅱ）解法一： 两点的坐标分别为 ， 由 及（Ⅰ）知， 三点共线且点 不在 轴上， 因此可设直线 的方程为 ． 将 代入 中，得 ，所以 ， 将 代入 中，得 ，所以 ， 又由 ，得 ，即 ． 解得 ，故直线 的方程为 或 ． 解法二： 两点的坐标分别为 ， 由 及（Ⅰ）知， 三点共线且点 不在 轴上， 因此可设直线 的方程为 ． 将 代入 中，得 ，所以 ， 又由 ，得 ， ， 2C ( )2 2 2 1 24 y x aa + = > 3 2 2 4 3 2 a a − = 4a = 2C 1416 22 =+ xy A B， ( ) ( )A A B Bx y x y， ， ， 2AB OA=  O A B， ， A B， y AB kxy = kxy = 14 2 2 =+ yx ( ) 441 22 =+ xk 2 2 41 4 kxA += kxy = 2 2 + 116 4 y x = ( )2 24 16k x+ = 2 2 16 4Bx k = + 2AB OA=  22 4 AB xx = 22 41 16 4 16 kk +=+ 1±=k AB xy = xy −= A B， ( ) ( )BBAA yxyx ,,, OAAB 2= O A B， ， A B， y AB kxy = kxy = 14 2 2 =+ yx ( ) 441 22 =+ xk 2 2 41 4 kxA += 2AB OA=  2 2 41 16 kxB += 2 2 2 41 16 k kyB += 2 2 1 : 14 xC y+ = 2C 1C 1C 2C 1C 2C 2OB OA=  AB 将 代入 中，得 ，即 ， 解得 ，故直线 的方程为 或 22 , BB yx 1416 22 =+ xy 141 4 2 2 =+ + k k 22 414 kk +=+ 1±=k AB xy = xy −=