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- 2021-05-14 发布
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2007年普通高等学校招生全国统一考试数学文科(宁夏卷)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.第II卷第22题为选考题.
参考公式:
样本数据,,,的标准差 锥体体积公式
其中为标本平均数 其中为底面面积,为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
,
其中为底面面积,为高 其中为球的半径
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,则( )
A. B. C. D.
2.已知命题,,则( )
A., B.,
C., D.,
A.
B.
C.
D.
3.函数在区间的简图是( )
开始
是
否
输出
结束
4.已知平面向量,则向量( )
A. B.
C. D.
5.如果执行右面的程序框图,那么输出的( )
A.2450 B.2500
C.2550 D.2652
6.已知成等比数列,且曲线的顶点
是,则等于( )
A.3 B.2 C.1 D.
7.已知抛物线的焦点为,点
,在抛物线上,且,则有( )
20
20
正视图
20
侧视图
10
10
20
俯视图
A.
B.
C.
D.
8.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是( )
A.
B.
C.
D.
9.若,则的值为( )
A. B. C. D.
10.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A. B. C. D.
11.已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上,球心在上,底面,,则球的体积与三棱锥体积之比是( )
A. B. C. D.
12.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次,三人的测试成绩如下表
甲的成绩
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
乙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
丙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
4
6
6
4
分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有( )
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为 .
14.设函数为偶函数,则 .
15.是虚数单位, .(用的形式表示,)
16.已知是等差数列,,其前5项和,则其公差 .
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
如图,测量河对岸的塔高时,可以选与塔底在同一水平面内的两个侧点与.现测得,并在点测得塔顶的仰角为,求塔高.
18.(本小题满分12分)
如图,为空间四点.在中,.等边三角形以为轴运动.
(Ⅰ)当平面平面时,求;
(Ⅱ)当转动时,是否总有?证明你的结论.
19.(本小题满分12分)
设函数
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)求在区间的最大值和最小值.
20.(本小题满分12分)
设有关于的一元二次方程.
(Ⅰ)若是从四个数中任取的一个数,是从三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
(Ⅱ)若是从区间任取的一个数,是从区间任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
21.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中,已知圆的圆心为,过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)是否存在常数,使得向量与共线?如果存在,求值;如果不存在,请说明理由.
22.请考生在A、B两题中选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22.A(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,已知是的切线,为切点,是的割线,与交于两点,圆心在的内部,点是的中点.
(Ⅰ)证明四点共圆;
(Ⅱ)求的大小.
22.B(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
和的极坐标方程分别为.
(Ⅰ)把和的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)求经过,交点的直线的直角坐标方程.
[参考答案]
一、选择题
1.A 2.C 3.A 4.D 5.C 6.B
7.C 8.B 9.C 10.D 11.D 12.B
二、填空题
13. 14.1 15. 16.
三、解答题
17.解:在中,.
由正弦定理得.
所以.
在中,.
18.解:
(Ⅰ)取的中点,连结,因为是等边三角形,所以.
当平面平面时,
因为平面平面,
所以平面,
可知
由已知可得,在中,.
(Ⅱ)当以为轴转动时,总有.
证明:
(ⅰ)当在平面内时,因为,所以都在线段的垂直平分线上,即.
(ⅱ)当不在平面内时,由(Ⅰ)知.又因,所以.
又为相交直线,所以平面,由平面,得.
综上所述,总有.
19.解:的定义域为.
(Ⅰ).
当时,;当时,;当时,.
从而,分别在区间,单调增加,在区间单调减少.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在区间的最小值为.
又.
所以在区间的最大值为.
20.解:
设事件为“方程有实根”.
当,时,方程有实根的充要条件为.
(Ⅰ)基本事件共12个:
.其中第一个数表示的取值,第二个数表示的取值.
事件中包含9个基本事件,事件发生的概率为.
(Ⅱ)试验的全部结束所构成的区域为.
构成事件的区域为.
所以所求的概率为.
21.解:
(Ⅰ)圆的方程可写成,所以圆心为,过且斜率为的直线方程为.
代入圆方程得,
整理得. ①
直线与圆交于两个不同的点等价于
,
解得,即的取值范围为.
(Ⅱ)设,则,
由方程①,
②
又. ③
而.
所以与共线等价于,
将②③代入上式,解得.
由(Ⅰ)知,故没有符合题意的常数.
22.A
(Ⅰ)证明:连结.
因为与相切于点,所以.
因为是的弦的中点,所以.
于是.
由圆心在的内部,可知四边形的对角互补,所以四点共圆.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得四点共圆,所以.
由(Ⅰ)得.
由圆心在的内部,可知.
所以.
22.B
解:以有点为原点,极轴为轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.
(Ⅰ),,由得.
所以.
即为的直角坐标方程.
同理为的直角坐标方程.
(Ⅱ)由
解得.
即,交于点和.过交点的直线的直角坐标方程为.