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- 2021-05-14 发布
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2018全国卷Ⅰ高考压轴卷
理科数学
本试卷共23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,,则等于
A. B. C. D.
2. 设,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3. 为得到的图象,只需把函数的图象上所有的点 ( )
A、向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
B、向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
C、向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)
D、向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)
4. 展开式中任取一项,则所取项是有理项的概率为( )
A. B. C. D.
5. 已知函数,若(、、互不相等),且的取值范围为,则实数m的值为( ).
A.0 B.-1 C.1 D.2
6. 如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
7. 设函数,若存在区间,使在上的值域为,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8. 执行如图所示的程序,若输入的,则输出的所有的值的和为
A.243 B.363 C.729 D.1092
9. 已知抛物线,圆.过点的直线交圆于两点,交抛物线于两点,且满足的直线恰有三条,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
10. 函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
11. 若且函数在处有极值,则的最大值等于
A.121 B.144 C.72 D.80
12. 已知双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13. 若直线与圆相交于两点,若
的平分线过线段的中点,则实数
14. 边长为8的等边△ABC所在平面内一点O,满足,若M为△
ABC边上的点,点P满足,则|MP|的最大值为 .
15. 设,若关于,的不等式组表示的可行域与圆存在公共点,则的最大值的取值范围为 .
16.为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关,现随机抽取50名学生,得到2×2列联表:
理科
文科
总计
男
13
10
23
女
7
20
27
总计
20
30
50
已知P(K2≥3.841)≈0.05,P(K2≥5.024)≈0.025.
根据表中数据,得到K2=≈4.844,则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为 .
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:60分。
17.(12分)
已知数列的前项和为,向量,满足条件⊥
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
18.(12分)
某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品,为了检测两套设备的生产质量情况,随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项质量指标值落在内,则为合格品,否则为不合格品. 表1是甲套设备的样本的频数分布表,图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.
表1:甲套设备的样本的频数分布表
质量指标值
[95,100)
[100,105)
[105,110)
[110,115)
[115,120)
[120,125]
频数
1
4
19
20
5
1
图1:乙套设备的样本的频率分布直方图
(Ⅰ)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关;
甲套设备
乙套设备
合计
合格品
不合格品
合计
(Ⅱ)根据表1和图1,对两套设备的优劣进行比较;
(Ⅲ)将频率视为概率. 若从甲套设备生产的大量产品中,随机抽取3件产品,记抽到的不合格品的个数为,求的期望.
附:
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
.
19.(12分)
如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=BC=2AD=2,四边形EDCF为矩形, CD=,平面EDCF⊥平面ABCD.
(1)求证:DF∥平面ABE.
(2)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值.
(3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为,若存在,求出线段BP的长.
20.(12分)
已知椭圆的短轴长为,离心率为,点,是上的动点,为的左焦点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若点在轴的右侧,以为底边的等腰的顶点在轴上,求四边形面积的最小值.
21.(12分)
已知函数.
(1)当时,判断函数的单调性;
(2)当有两个极值点时,
① 求a的取值范围;
② 若的极大值小于整数m,求m的最小值.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4,坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中中,曲线的参数方程为为参数,). 以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线的极坐标方程为.
(1)设是曲线上的一个动点,当时,求点到直线的距离的最大值;
(2)若曲线上所有的点均在直线的右下方,求的取值范围.
23.[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知函数,.
(1)求不等式的解集;
(2)若方程有三个实数根,求实数的取值范围.
参考答案
1.【Ks5u答案】D
2.【Ks5u答案】C
【Ks5u解析】当 时, ,当ab一正一负时,
,当 时,,所以,故选C.
3.【Ks5u答案】C
4.【Ks5u答案】B
【Ks5u解析】解:由题意可得二项展开式的通项=根据题意可得,为整数时,展开式的项为有理项,则r=3,9共有2项,而r的所有取值是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11共12个,所求的概率为
5【Ks5u答案】C
【Ks5u解析】作出的图象,如图所示,可令,则有图知点,
关于直线对称,所以,又,所以,
由于(、、互不相等),结合图象可知点的坐标为,
代入函数解析式,得,解得.故选.
6【Ks5u答案】A
7【Ks5u答案】C
【Ks5u解析】因为 ,所以 因此在上有两个不同的零点,由得 ,所以 令 ,则,所以 ,又,所以当时 ,当 时 ,要使方程有两个不同的零点,需,选C.
8【Ks5u答案】D
9【Ks5u答案】C
10【Ks5u答案】C
11【Ks5u答案】C
12【Ks5u答案】D
13【Ks5u答案】
14【Ks5u答案】
15【Ks5u答案】
16【Ks5u答案】5%
【Ks5u解析】根据题意,K2=≈4.844,又由5.024>4.844>3.841,而P(K2≥3.841)≈0.05,P(K2≥5.024)≈0.025,故选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%,故答案为:5%
17. 【Ks5u答案】(1)∵⊥,∴, 当时,,
当时,满足上式,∴
(2)
两边同乘,
得,两式相减得: ,
.
18. 【Ks5u答案】(Ⅰ)根据表1和图1得到列联表
甲套设备
乙套设备
合计
合格品
48
43
91
不合格品
2
7
9
合计
50
50
100
将列联表中的数据代入公式计算得
∵
∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.
(Ⅱ)根据表1和图1可知,甲套设备生产的合格品的概率约为,乙套设备生产的合格品的概率约为,甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115)之间,乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此,可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高,且质量指标值更稳定,从而甲套设备优于乙套设备
(Ⅲ)由题知,
∴
19. 【Ks5u答案】解:(1)证明:取为原点,所在直线为轴,
所在直线为轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
∴,,
设平面的法向量为,
∴不妨设,
又,
∴,
∴,
又∵平面,
∴平面.
(2)解:∵,,
设平面的法向量为,
∴不妨设,
∴,
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
(3)解:设,,
∴,
∴,
又∵平面的法向量为,
∴,
∴,
∴或,
∴当时,,
∴,
当时,,
∴,
综上.
20.【Ks5u答案】(Ⅰ)依题意得解得
∴椭圆的方程是
(Ⅱ)设
设线段中点为 ∵ ∴中点,直线斜率为
由是以为底边的等腰三角形∴
∴直线的垂直平分线方程为
令 得 ∵ ∴
由 ∴四边形面积
当且仅当即时等号成立,四边形面积的最小值为.
21. 【Ks5u答案】(1)由题.
方法1:由于,,,
又,所以,从而,
于是为(0,+∞)上的减函数.
方法2:令,则,
当时,,为增函数;当时,,为减函数.
故在时取得极大值,也即为最大值.
则.由于,所以,
于是为(0,+∞)上的减函数.
(2)令,则,
当时,,为增函数;当时,,为减函数.
当x趋近于时,趋近于.
由于有两个极值点,所以有两不等实根,
即有两不等实数根().
则解得.
可知,由于,则.
而,即(#)
所以,于是,(*)
令,则(*)可变为,
可得,而,则有,
下面再说明对于任意,,.
又由(#)得,把它代入(*)得,
所以当时,恒成立,
故为的减函数,所以.
所以满足题意的整数m的最小值为3.
22. 【Ks5u答案】(1)由,得,化成直角坐标方程,得,即直线的方程为,依题意,设,则到直线的距离,当,即时,,故点到直线的距离的最大值为.
(2)因为曲线上的所有点均在直线的右下方,,恒成立,即(其中)恒成立,,又,解得,故取值范围为.
23. 【Ks5u答案】(1)原不等式等价于或或,
得或
∴不等式的解集为.
(2)由方程可变形为,
令,作出图象如下:
于是由题意可得.