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  • 2021-05-14 发布

全国卷Ⅰ高考压轴卷理科数学试卷答案及评分参考

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‎2018全国卷Ⅰ高考压轴卷 理科数学 本试卷共23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合,,则等于 A. B. C. D.‎ ‎2. 设,则“”是“”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎3. 为得到的图象,只需把函数的图象上所有的点 ( )‎ A、向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)‎ B、向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)‎ C、向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)‎ D、向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)‎ ‎4. 展开式中任取一项,则所取项是有理项的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 已知函数,若(、、互不相等),且的取值范围为,则实数m的值为( ).‎ A.0 B.-1 C.1 D.2‎ ‎6. 如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎7. 设函数,若存在区间,使在上的值域为,则的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎8. 执行如图所示的程序,若输入的,则输出的所有的值的和为 ‎ ‎ A.243 B.363 C.729 D.1092‎ ‎9. 已知抛物线,圆.过点的直线交圆于两点,交抛物线于两点,且满足的直线恰有三条,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10. 函数的图象可能是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎ ‎ ‎11. 若且函数在处有极值,则的最大值等于 A.121 B.144 C.72 D.80‎ ‎12. 已知双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13. 若直线与圆相交于两点,若 ‎ 的平分线过线段的中点,则实数 ‎14. 边长为8的等边△ABC所在平面内一点O,满足,若M为△‎ ABC边上的点,点P满足,则|MP|的最大值为 .‎ ‎ ‎ ‎15. 设,若关于,的不等式组表示的可行域与圆存在公共点,则的最大值的取值范围为 .‎ ‎16.为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关,现随机抽取50名学生,得到2×2列联表:‎ 理科 文科 总计 男 ‎13‎ ‎10‎ ‎23‎ 女 ‎7‎ ‎20‎ ‎27‎ 总计 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 已知P(K2≥3.841)≈0.05,P(K2≥5.024)≈0.025.‎ 根据表中数据,得到K2=≈4.844,则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为 .‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:60分。‎ ‎17.(12分)‎ 已知数列的前项和为,向量,满足条件⊥‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)‎ 某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品,为了检测两套设备的生产质量情况,随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项质量指标值落在内,则为合格品,否则为不合格品. 表1是甲套设备的样本的频数分布表,图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.‎ 表1:甲套设备的样本的频数分布表 质量指标值 ‎[95,100)‎ ‎[100,105)‎ ‎[105,110)‎ ‎[110,115)‎ ‎[115,120)‎ ‎[120,125]‎ 频数 ‎1‎ ‎4‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎5‎ ‎1‎ 图1:乙套设备的样本的频率分布直方图 ‎ ‎ ‎(Ⅰ)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关;‎ 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 不合格品 合计 ‎(Ⅱ)根据表1和图1,对两套设备的优劣进行比较;‎ ‎(Ⅲ)将频率视为概率. 若从甲套设备生产的大量产品中,随机抽取3件产品,记抽到的不合格品的个数为,求的期望.‎ 附:‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)‎ 如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=BC=2AD=2,四边形EDCF为矩形, CD=,平面EDCF⊥平面ABCD.‎ ‎(1)求证:DF∥平面ABE.‎ ‎(2)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值.‎ ‎(3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为,若存在,求出线段BP的长.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)‎ 已知椭圆的短轴长为,离心率为,点,是上的动点,为的左焦点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)若点在轴的右侧,以为底边的等腰的顶点在轴上,求四边形面积的最小值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)当时,判断函数的单调性;‎ ‎(2)当有两个极值点时,‎ ‎① 求a的取值范围;‎ ‎② 若的极大值小于整数m,求m的最小值.‎ ‎ ‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4,坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系中中,曲线的参数方程为为参数,). 以坐标原点为极点,‎ 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)设是曲线上的一个动点,当时,求点到直线的距离的最大值;‎ ‎(2)若曲线上所有的点均在直线的右下方,求的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎23.[选修4—5:不等式选讲](10分)‎ 已知函数,.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若方程有三个实数根,求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 参考答案 ‎1.【Ks5u答案】D ‎2.【Ks5u答案】C ‎【Ks5u解析】当 时, ,当ab一正一负时,‎ ‎ ,当 时,,所以,故选C.‎ ‎3.【Ks5u答案】C ‎4.【Ks5u答案】B ‎【Ks5u解析】解:由题意可得二项展开式的通项=根据题意可得,为整数时,展开式的项为有理项,则r=3,9共有2项,而r的所有取值是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11共12个,所求的概率为 ‎5【Ks5u答案】C ‎【Ks5u解析】作出的图象,如图所示,可令,则有图知点,‎ 关于直线对称,所以,又,所以,‎ 由于(、、互不相等),结合图象可知点的坐标为,‎ 代入函数解析式,得,解得.故选.‎ ‎ ‎ ‎6【Ks5u答案】A ‎7【Ks5u答案】C ‎【Ks5u解析】因为 ,所以 因此在上有两个不同的零点,由得 ,所以 令 ,则,所以 ,又,所以当时 ,当 时 ,要使方程有两个不同的零点,需,选C. ‎ ‎8【Ks5u答案】D ‎ ‎ ‎9【Ks5u答案】C ‎10【Ks5u答案】C ‎11【Ks5u答案】C ‎12【Ks5u答案】D ‎13【Ks5u答案】‎ ‎14【Ks5u答案】‎ ‎15【Ks5u答案】‎ ‎16【Ks5u答案】5%‎ ‎【Ks5u解析】根据题意,K2=≈4.844,又由5.024>4.844>3.841,而P(K2≥3.841)≈0.05,P(K2≥5.024)≈0.025,故选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%,故答案为:5%‎ ‎17. 【Ks5u答案】(1)∵⊥,∴, 当时,,‎ 当时,满足上式,∴‎ ‎(2)‎ 两边同乘,‎ 得,两式相减得: ,‎ ‎. ‎ ‎18. 【Ks5u答案】(Ⅰ)根据表1和图1得到列联表 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 ‎48‎ ‎43‎ ‎91‎ 不合格品 ‎2‎ ‎7‎ ‎9‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎ ‎ 将列联表中的数据代入公式计算得 ‎ ‎ ‎∵‎ ‎∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关. ‎ ‎(Ⅱ)根据表1和图1可知,甲套设备生产的合格品的概率约为,乙套设备生产的合格品的概率约为,甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115)之间,乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此,可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高,且质量指标值更稳定,从而甲套设备优于乙套设备 ‎ ‎(Ⅲ)由题知, ‎ ‎∴ ‎ ‎19. 【Ks5u答案】解:(1)证明:取为原点,所在直线为轴,‎ 所在直线为轴建立空间直角坐标系,‎ 则,,,,‎ ‎∴,,‎ 设平面的法向量为,‎ ‎∴不妨设,‎ 又,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 又∵平面,‎ ‎∴平面.‎ ‎(2)解:∵,,‎ 设平面的法向量为,‎ ‎∴不妨设,‎ ‎∴,‎ ‎∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎(3)解:设,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 又∵平面的法向量为,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴或,‎ ‎∴当时,,‎ ‎∴,‎ 当时,,‎ ‎∴,‎ 综上.‎ ‎20.【Ks5u答案】(Ⅰ)依题意得解得 ‎∴椭圆的方程是 ‎(Ⅱ)设 设线段中点为 ∵ ∴中点,直线斜率为 由是以为底边的等腰三角形∴‎ ‎∴直线的垂直平分线方程为 令 得 ∵ ∴‎ 由 ∴四边形面积 当且仅当即时等号成立,四边形面积的最小值为.‎ ‎21. 【Ks5u答案】(1)由题.‎ 方法1:由于,,,‎ 又,所以,从而,‎ 于是为(0,+∞)上的减函数.‎ 方法2:令,则,‎ 当时,,为增函数;当时,,为减函数.‎ 故在时取得极大值,也即为最大值.‎ 则.由于,所以,‎ 于是为(0,+∞)上的减函数.‎ ‎(2)令,则,‎ 当时,,为增函数;当时,,为减函数.‎ 当x趋近于时,趋近于.‎ 由于有两个极值点,所以有两不等实根,‎ 即有两不等实数根().‎ 则解得.‎ 可知,由于,则.‎ 而,即(#)‎ 所以,于是,(*)‎ 令,则(*)可变为,‎ 可得,而,则有,‎ 下面再说明对于任意,,.‎ 又由(#)得,把它代入(*)得,‎ 所以当时,恒成立,‎ 故为的减函数,所以.‎ 所以满足题意的整数m的最小值为3.‎ ‎22. 【Ks5u答案】(1)由,得,化成直角坐标方程,得,即直线的方程为,依题意,设,则到直线的距离,当,即时,,故点到直线的距离的最大值为.‎ ‎(2)因为曲线上的所有点均在直线的右下方,,恒成立,即(其中)恒成立,,又,解得,故取值范围为.‎ ‎23. 【Ks5u答案】(1)原不等式等价于或或,‎ 得或 ‎∴不等式的解集为.‎ ‎(2)由方程可变形为,‎ 令,作出图象如下:‎ ‎ ‎ 于是由题意可得. ‎ ‎ ‎