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- 2021-05-14 发布
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中档题目强化练——立体几何
A组 专项基础训练
(时间:40分钟)
一、选择题
1. 以下关于几何体的三视图的论述中,正确的是 ( )
A.球的三视图总是三个全等的圆
B.正方体的三视图总是三个全等的正方形
C.水平放置的各面均为正三角形的四面体的三视图都是正三角形
D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆
答案 A
解析 画几何体的三视图要考虑视角,但对于球无论选择怎样的视角,其三视图总是三个全等的圆.
2. 设α、β、γ是三个互不重合的平面,m、n是两条不重合的直线,下列命题中正确的是( )
A.若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ
B.若m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n
C.若α⊥β,m⊥α,则m∥β
D.若α∥β,m⃘β,m∥α,则m∥β
答案 D
解析 对于A,若α⊥β,β⊥γ,α,γ可以平行,也可以相交,A错;对于B,若m∥α,n∥β,α⊥β,则m,n可以平行,可以相交,也可以异面,B错;对于C,若α⊥β,m⊥α,则m可以在平面β内,C错;易知D正确.
3. 设α、β、γ为平面,l、m、n为直线,则m⊥β的一个充分条件为 ( )
A.α⊥β,α∩β=l,m⊥l
B.n⊥α,n⊥β,m⊥α
C.α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ
D.α⊥γ,β⊥γ,m⊥α
答案 B
解析 如图①知A错;如图②知C错;如图③在正方体中,两侧面α与β相交于l,都与底面γ垂直,γ内的直线m⊥α,但m与β不垂直,故D错;
由n⊥α,n⊥β,得α∥β.又m⊥α,则m⊥β,故B正确.
4. 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB1、BC1的中点,
则下列结论不成立的是 ( )
A.EF与BB1垂直
B.EF与BD垂直
C.EF与CD异面
D.EF与A1C1异面
答案 D
解析 连接B1C,AC,则B1C交BC1于F,且F为B1C的中点,
又E为AB1的中点,所以EF綊AC,
而B1B⊥平面ABCD,所以B1B⊥AC,
所以B1B⊥EF,A正确;
又AC⊥BD,所以EF⊥BD,B正确;
显然EF与CD异面,C正确;由EF綊AC,AC∥A1C1,
得EF∥A1C1.故不成立的选项为D.
5. 若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是 ( )
A.2 B. C.3 D.
答案 A
解析 由三视图知原几何体可理解为三个部分拼接而成,其中一个棱长为1的正方体,另外两个为正方体的一半.因此易得总体积为2.
二、填空题
6. 三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=3,底面ABC
是边长为2的正三角形,则三棱锥P-ABC的体积等于________.
答案
解析 ∵PA⊥底面ABC,
∴PA为三棱锥P-ABC的高,且PA=3.
∵底面ABC为正三角形且边长为2,
∴底面面积为×22×sin 60°=,
∴VP-ABC=××3=.
7. 已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,点E、F分别是棱PC、PD的中点,则
①棱AB与PD所在直线垂直;
②平面PBC与平面ABCD垂直;
③△PCD的面积大于△PAB的面积;
④直线AE与直线BF是异面直线.
以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号)
答案 ①③
解析 由条件可得AB⊥平面PAD,
∴AB⊥PD,故①正确;
若平面PBC⊥平面ABCD,由PB⊥BC,
得PB⊥平面ABCD,从而PA∥PB,这是不可能的,故②错;
S△PCD=CD·PD,S△PAB=AB·PA,
由AB=CD,PD>PA知③正确;
由E、F分别是棱PC、PD的中点,
可得EF∥CD,又AB∥CD,
∴EF∥AB,故AE与BF共面,④错.
8. 三棱锥S-ABC中,∠SBA=∠SCA=90°,△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形,则以下结论中:
①异面直线SB与AC所成的角为90°;
②直线SB⊥平面ABC;
③平面SBC⊥平面SAC;
④点C到平面SAB的距离是a.
其中正确结论的序号是________.
答案 ①②③④
解析 由题意知AC⊥平面SBC,故AC⊥SB,SB⊥平面ABC,平面
SBC⊥平面SAC,①②③正确;取AB的中点E,连接CE,(如图)可
证得CE⊥平面SAB,故CE的长度即为点C到平面SAB的距离a,
④正确.
三、解答题
9. 如图,已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥DC,AB∥DC,
DC=DD1=2AD=2AB=2.
(1)求证:DB⊥平面B1BCC1;
(2)设E是DC上一点,试确定E的位置,使得D1E∥平面A1BD,
并说明理由.
(1)证明 在Rt△ABD中,AB=AD=1,BD=,
又∵BC=,CD=2,
∴∠DBC=90°,即BD⊥BC.
又BD⊥BB1,B1B∩BC=B,
∴BD⊥平面B1BCC1.
(2)解 DC的中点即为E点,
连接D1E,BE,∵DE∥AB,DE=AB,
∴四边形ABED是平行四边形.
∴AD綊BE.
又AD綊A1D1,∴BE綊A1D1,
∴四边形A1D1EB是平行四边形.
∴D1E∥A1B.
∵D1E⃘平面A1BD,A1B平面A1BD,
∴D1E∥平面A1BD.
10.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,棱AB,BB′,B′C′,
C′D′的中点分别是E,F,G,H,如图所示.
(1)求证:AD′∥平面EFG;
(2)求证:A′C⊥平面EFG;
(3)判断点A,D′,H,F是否共面?并说明理由.
(1)证明 连接BC′.
在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AB=C′D′,
AB∥C′D′,
所以四边形ABC′D′是平行四边形,
所以AD′∥BC′.
因为F,G分别是BB′,B′C′的中点,
所以FG∥BC′,所以FG∥AD′.
因为EF,AD′是异面直线,
所以AD′⃘平面EFG.
因为FG平面EFG,所以AD′∥平面EFG.
(2)证明 连接B′C.
在正方体ABCD-A′B′C′D′中,A′B′⊥平面BCC′B′,
BC′平面BCC′B′,
所以A′B′⊥BC′.
在正方形BCC′B中,B′C⊥BC′,
因为A′B′平面A′B′C,B′C平面A′B′C,A′B′∩B′C=B′,
所以BC′⊥平面A′B′C.
因为A′C平面A′B′C,所以BC′⊥A′C.
因为FG∥BC′,所以A′C⊥FG,同理可证A′C⊥EF.
因为EF平面EFG,FG平面EFG,EF∩FG=F,
所以A′C⊥平面EFG.
(3)解 点A,D′,H,F不共面.理由如下:
假设A,D′,H,F共面,连接C′F,AF,HF.
由(1)知,AD′∥BC′,
因为BC′平面BCC′B′,AD′平面BCC′B′.
所以AD′∥平面BCC′B′.
因为C′∈D′H,
所以平面AD′HF∩平面BCC′B′=C′F.
因为AD′平面AD′HF,
所以AD′∥C′F.
所以C′F∥BC′,而C′F与BC′相交,矛盾.
所以点A,D′,H,F不共面.
B组 专项能力提升
(时间:25分钟)
1. 已知直线l1,l2与平面α,则下列结论中正确的是 ( )
A.若l1α,l2∩α=A,则l1,l2为异面直线
B.若l1∥l2,l1∥α,则l2∥α
C.若l1⊥l2,l1⊥α,则l2∥α
D.若l1⊥α,l2⊥α,则l1∥l2
答案 D
解析 对于选项A,当A∈l1时,结论不成立;对于选项B、C,当l2α时,结论不成立.
2. 已知直线l⊥平面α,直线m平面β,有下面四个命题:
①α∥β⇒l⊥m; ②α⊥β⇒l∥m;
③l∥m⇒α⊥β; ④l⊥m⇒α∥β.
其中正确的命题有 ( )
A.①② B.①③
C.②④ D.③④
答案 B
解析 ①中,⇒⇒l⊥m,故①正确;
②中,l与m相交、平行、异面均有可能,故②错;
③中,⇒⇒α⊥β,故③正确;
④中,α与β也有可能相交,故④错误.
3. 如图所示,是一几何体的平面展开图,其中ABCD为正方形,E、
F分别为PA、PD的中点.在此几何体中,给出下面四个结论:
①直线BE与直线CF异面;
②直线BE与直线AF异面;
③直线EF∥平面PBC;
④平面BCE⊥平面PAD.
其中正确的有 ( )
A.①② B.②③ C.①④ D.②④
答案 B
解析 对于①,因为E、F分别是PA、PD的中点,
所以EF∥AD.又因为AD∥BC,
所以EF∥BC.所以BE与CF共面.故①不正确.
对于②,因为BE是平面APD的斜线,AF是平面APD内与BE不相交的直线,所以BE与AF不共面.故②正确.
对于③,由①,知EF∥BC,所以EF∥平面PBC.故③正确.
对于④,条件不足,无法判断两平面垂直.
4. 有一个内接于球的四棱锥P-ABCD,若PA⊥底面ABCD,∠BCD=,∠ABC≠,BC=3,CD=4,PA=5,则该球的表面积为________.
答案 50π
解析 由∠BCD=90°知BD为底面ABCD外接圆的直径,则2r==5.
又∠DAB=90°⇒PA⊥AB,PA⊥AD,BA⊥AD.
从而把PA,AB,AD看作长方体的三条棱,设外接球半径为R,则(2R)2=52+(2r)2=52+52,
∴4R2=50,∴S球=4πR2=50π.
5. 如图,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD=
,AD=BD,EC⊥底面ABCD,FD⊥底面ABCD,且有EC=
FD=2.
(1)求证:AD⊥BF;
(2)若线段EC上一点M在平面BDF上的射影恰好是BF的中点N,试求二面角B-MF-C的余弦值.
(1)证明 ∵BC⊥DC,且BC=CD=,
∴BD=2且∠CBD=∠BDC=45°.
又AB∥DC,可知∠DBA=∠CDB=45°.
∵AD=BD,
∴△ADB是等腰三角形,且∠DAB=∠DBA=45°.
∴∠ADB=90°,即AD⊥DB.
∵FD⊥底面ABCD于D,AD平面ABCD,
∴AD⊥DF.
又DF∩DB=D1,∴AD⊥平面BDF,
∵BF平面DBF,∴AD⊥BF.
(2)解 以点C为原点,直线CD、CB、CE方向为x,y,z轴建
系.
则D(,0,0),B(0,,0),F(,0,2),A(2,,0),
∵N恰好为BF的中点,
∴N(,,1).
设M(0,0,z0),∴=(,,1-z0).
由解得z0=1.
故M为线段CE的中点.
设平面BMF的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),
且=(,-,2),=(0,-,1),
由可得取x1=-1,
则得n1=(-1,1,).
∵平面MFC的一个法向量为n2=(0,1,0),
∴cos〈n1,n2〉==.
故所求二面角B-MF-C的余弦值为.