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  • 2021-05-14 发布

2015高考数学(理)(第八章 中档题目强化练 立体几何)一轮复习题

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中档题目强化练——立体几何 A组 专项基础训练 ‎(时间:40分钟)‎ 一、选择题 ‎1. 以下关于几何体的三视图的论述中,正确的是 (  )‎ A.球的三视图总是三个全等的圆 B.正方体的三视图总是三个全等的正方形 C.水平放置的各面均为正三角形的四面体的三视图都是正三角形 D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆 答案 A 解析 画几何体的三视图要考虑视角,但对于球无论选择怎样的视角,其三视图总是三个全等的圆.‎ ‎2. 设α、β、γ是三个互不重合的平面,m、n是两条不重合的直线,下列命题中正确的是(  )‎ A.若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ B.若m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n C.若α⊥β,m⊥α,则m∥β D.若α∥β,m⃘β,m∥α,则m∥β 答案 D 解析 对于A,若α⊥β,β⊥γ,α,γ可以平行,也可以相交,A错;对于B,若m∥α,n∥β,α⊥β,则m,n可以平行,可以相交,也可以异面,B错;对于C,若α⊥β,m⊥α,则m可以在平面β内,C错;易知D正确.‎ ‎3. 设α、β、γ为平面,l、m、n为直线,则m⊥β的一个充分条件为 (  )‎ A.α⊥β,α∩β=l,m⊥l B.n⊥α,n⊥β,m⊥α C.α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ D.α⊥γ,β⊥γ,m⊥α 答案 B 解析 如图①知A错;如图②知C错;如图③在正方体中,两侧面α与β相交于l,都与底面γ垂直,γ内的直线m⊥α,但m与β不垂直,故D错;‎ 由n⊥α,n⊥β,得α∥β.又m⊥α,则m⊥β,故B正确.‎ ‎4. 如图,在正四棱柱ABCD-A1B‎1C1D1中,E、F分别是AB1、BC1的中点,‎ 则下列结论不成立的是 (  )‎ A.EF与BB1垂直 B.EF与BD垂直 C.EF与CD异面 D.EF与A‎1C1异面 答案 D 解析 连接B‎1C,AC,则B‎1C交BC1于F,且F为B‎1C的中点,‎ 又E为AB1的中点,所以EF綊AC,‎ 而B1B⊥平面ABCD,所以B1B⊥AC,‎ 所以B1B⊥EF,A正确;‎ 又AC⊥BD,所以EF⊥BD,B正确;‎ 显然EF与CD异面,C正确;由EF綊AC,AC∥A‎1C1,‎ 得EF∥A‎1C1.故不成立的选项为D.‎ ‎5. 若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是 (  )‎ A.2 B. C.3 D. 答案 A 解析 由三视图知原几何体可理解为三个部分拼接而成,其中一个棱长为1的正方体,另外两个为正方体的一半.因此易得总体积为2.‎ 二、填空题 ‎6. 三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=3,底面ABC 是边长为2的正三角形,则三棱锥P-ABC的体积等于________.‎ 答案  解析 ∵PA⊥底面ABC,‎ ‎∴PA为三棱锥P-ABC的高,且PA=3.‎ ‎∵底面ABC为正三角形且边长为2,‎ ‎∴底面面积为×22×sin 60°=,‎ ‎∴VP-ABC=××3=.‎ ‎7. 已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,点E、F分别是棱PC、PD的中点,则 ‎①棱AB与PD所在直线垂直;‎ ‎②平面PBC与平面ABCD垂直;‎ ‎③△PCD的面积大于△PAB的面积;‎ ‎④直线AE与直线BF是异面直线.‎ 以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号)‎ 答案 ①③‎ 解析 由条件可得AB⊥平面PAD,‎ ‎∴AB⊥PD,故①正确;‎ 若平面PBC⊥平面ABCD,由PB⊥BC,‎ 得PB⊥平面ABCD,从而PA∥PB,这是不可能的,故②错;‎ S△PCD=CD·PD,S△PAB=AB·PA,‎ 由AB=CD,PD>PA知③正确;‎ 由E、F分别是棱PC、PD的中点,‎ 可得EF∥CD,又AB∥CD,‎ ‎∴EF∥AB,故AE与BF共面,④错.‎ ‎8. 三棱锥S-ABC中,∠SBA=∠SCA=90°,△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形,则以下结论中:‎ ‎①异面直线SB与AC所成的角为90°;‎ ‎②直线SB⊥平面ABC;‎ ‎③平面SBC⊥平面SAC;‎ ‎④点C到平面SAB的距离是a.‎ 其中正确结论的序号是________.‎ 答案 ①②③④‎ 解析 由题意知AC⊥平面SBC,故AC⊥SB,SB⊥平面ABC,平面 SBC⊥平面SAC,①②③正确;取AB的中点E,连接CE,(如图)可 证得CE⊥平面SAB,故CE的长度即为点C到平面SAB的距离a,‎ ‎④正确.‎ 三、解答题 ‎9. 如图,已知在直四棱柱ABCD-A1B‎1C1D1中,AD⊥DC,AB∥DC,‎ DC=DD1=2AD=2AB=2.‎ ‎(1)求证:DB⊥平面B1BCC1;‎ ‎(2)设E是DC上一点,试确定E的位置,使得D1E∥平面A1BD,‎ 并说明理由.‎ ‎(1)证明 在Rt△ABD中,AB=AD=1,BD=,‎ 又∵BC=,CD=2,‎ ‎∴∠DBC=90°,即BD⊥BC.‎ 又BD⊥BB1,B1B∩BC=B,‎ ‎∴BD⊥平面B1BCC1.‎ ‎(2)解 DC的中点即为E点,‎ 连接D1E,BE,∵DE∥AB,DE=AB,‎ ‎∴四边形ABED是平行四边形.‎ ‎∴AD綊BE.‎ 又AD綊A1D1,∴BE綊A1D1,‎ ‎∴四边形A1D1EB是平行四边形.‎ ‎∴D1E∥A1B.‎ ‎∵D1E⃘平面A1BD,A1B平面A1BD,‎ ‎∴D1E∥平面A1BD.‎ ‎10.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,棱AB,BB′,B′C′,‎ C′D′的中点分别是E,F,G,H,如图所示.‎ ‎(1)求证:AD′∥平面EFG;‎ ‎(2)求证:A′C⊥平面EFG;‎ ‎(3)判断点A,D′,H,F是否共面?并说明理由.‎ ‎(1)证明 连接BC′.‎ 在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AB=C′D′,‎ AB∥C′D′,‎ 所以四边形ABC′D′是平行四边形,‎ 所以AD′∥BC′.‎ 因为F,G分别是BB′,B′C′的中点,‎ 所以FG∥BC′,所以FG∥AD′.‎ 因为EF,AD′是异面直线,‎ 所以AD′⃘平面EFG.‎ 因为FG平面EFG,所以AD′∥平面EFG.‎ ‎(2)证明 连接B′C.‎ 在正方体ABCD-A′B′C′D′中,A′B′⊥平面BCC′B′,‎ BC′平面BCC′B′,‎ 所以A′B′⊥BC′.‎ 在正方形BCC′B中,B′C⊥BC′,‎ 因为A′B′平面A′B′C,B′C平面A′B′C,A′B′∩B′C=B′,‎ 所以BC′⊥平面A′B′C.‎ 因为A′C平面A′B′C,所以BC′⊥A′C.‎ 因为FG∥BC′,所以A′C⊥FG,同理可证A′C⊥EF.‎ 因为EF平面EFG,FG平面EFG,EF∩FG=F,‎ 所以A′C⊥平面EFG.‎ ‎(3)解 点A,D′,H,F不共面.理由如下:‎ 假设A,D′,H,F共面,连接C′F,AF,HF.‎ 由(1)知,AD′∥BC′,‎ 因为BC′平面BCC′B′,AD′平面BCC′B′.‎ 所以AD′∥平面BCC′B′.‎ 因为C′∈D′H,‎ 所以平面AD′HF∩平面BCC′B′=C′F.‎ 因为AD′平面AD′HF,‎ 所以AD′∥C′F.‎ 所以C′F∥BC′,而C′F与BC′相交,矛盾.‎ 所以点A,D′,H,F不共面.‎ ‎B组 专项能力提升 ‎(时间:25分钟)‎ ‎1. 已知直线l1,l2与平面α,则下列结论中正确的是 (  )‎ A.若l1α,l2∩α=A,则l1,l2为异面直线 B.若l1∥l2,l1∥α,则l2∥α C.若l1⊥l2,l1⊥α,则l2∥α D.若l1⊥α,l2⊥α,则l1∥l2‎ 答案 D 解析 对于选项A,当A∈l1时,结论不成立;对于选项B、C,当l2α时,结论不成立.‎ ‎2. 已知直线l⊥平面α,直线m平面β,有下面四个命题:‎ ‎①α∥β⇒l⊥m; ②α⊥β⇒l∥m;‎ ‎③l∥m⇒α⊥β; ④l⊥m⇒α∥β.‎ 其中正确的命题有 (  )‎ A.①② B.①③‎ C.②④ D.③④‎ 答案 B 解析 ①中,⇒⇒l⊥m,故①正确;‎ ‎②中,l与m相交、平行、异面均有可能,故②错;‎ ‎③中,⇒⇒α⊥β,故③正确;‎ ‎④中,α与β也有可能相交,故④错误.‎ ‎3. 如图所示,是一几何体的平面展开图,其中ABCD为正方形,E、‎ F分别为PA、PD的中点.在此几何体中,给出下面四个结论:‎ ‎①直线BE与直线CF异面;‎ ‎②直线BE与直线AF异面;‎ ‎③直线EF∥平面PBC;‎ ‎④平面BCE⊥平面PAD.‎ 其中正确的有 (  )‎ A.①② B.②③ C.①④ D.②④‎ 答案 B 解析 对于①,因为E、F分别是PA、PD的中点,‎ 所以EF∥AD.又因为AD∥BC,‎ 所以EF∥BC.所以BE与CF共面.故①不正确.‎ 对于②,因为BE是平面APD的斜线,AF是平面APD内与BE不相交的直线,所以BE与AF不共面.故②正确.‎ 对于③,由①,知EF∥BC,所以EF∥平面PBC.故③正确.‎ 对于④,条件不足,无法判断两平面垂直.‎ ‎4. 有一个内接于球的四棱锥P-ABCD,若PA⊥底面ABCD,∠BCD=,∠ABC≠,BC=3,CD=4,PA=5,则该球的表面积为________.‎ 答案 50π 解析 由∠BCD=90°知BD为底面ABCD外接圆的直径,则2r==5.‎ 又∠DAB=90°⇒PA⊥AB,PA⊥AD,BA⊥AD.‎ 从而把PA,AB,AD看作长方体的三条棱,设外接球半径为R,则(2R)2=52+(2r)2=52+52,‎ ‎∴4R2=50,∴S球=4πR2=50π.‎ ‎5. 如图,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD=‎ ,AD=BD,EC⊥底面ABCD,FD⊥底面ABCD,且有EC=‎ FD=2.‎ ‎(1)求证:AD⊥BF;‎ ‎(2)若线段EC上一点M在平面BDF上的射影恰好是BF的中点N,试求二面角B-MF-C的余弦值.‎ ‎(1)证明 ∵BC⊥DC,且BC=CD=,‎ ‎∴BD=2且∠CBD=∠BDC=45°.‎ 又AB∥DC,可知∠DBA=∠CDB=45°.‎ ‎∵AD=BD,‎ ‎∴△ADB是等腰三角形,且∠DAB=∠DBA=45°.‎ ‎∴∠ADB=90°,即AD⊥DB.‎ ‎∵FD⊥底面ABCD于D,AD平面ABCD,‎ ‎∴AD⊥DF.‎ 又DF∩DB=D1,∴AD⊥平面BDF,‎ ‎∵BF平面DBF,∴AD⊥BF.‎ ‎(2)解 以点C为原点,直线CD、CB、CE方向为x,y,z轴建 系.‎ 则D(,0,0),B(0,,0),F(,0,2),A(2,,0),‎ ‎∵N恰好为BF的中点,‎ ‎∴N(,,1).‎ 设M(0,0,z0),∴=(,,1-z0).‎ 由解得z0=1.‎ 故M为线段CE的中点.‎ 设平面BMF的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),‎ 且=(,-,2),=(0,-,1),‎ 由可得取x1=-1,‎ 则得n1=(-1,1,).‎ ‎∵平面MFC的一个法向量为n2=(0,1,0),‎ ‎∴cos〈n1,n2〉==.‎ 故所求二面角B-MF-C的余弦值为.‎