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- 2021-05-14 发布
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2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题及答案
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.
4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)已知在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是
(A) (B)(C)(D)
(2)已知集合,,则
(A)(B)(C)(D)
(3)已知向量,且,则m=
(A)-8 (B)-6 (C)6 (D)8
(4)圆的圆心到直线 的距离为1,则a=
(A) (B) (C) (D)2
(5)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
(A)24 (B)18 (C)12 (D)9
(6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为
(A)20π (B)24π (C)28π (D)32π
(7)若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度,则评议后图象的对称轴为
(A)x=– (k∈Z) (B)x=+ (k∈Z) (C)x=– (k∈Z) (D)x=+ (k∈Z)
(8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=
(A)7 (B)12 (C)17 (D)34
(9)若cos(–α)= ,则sin 2α=
(A) (B) (C)– (D)–
(10)从区间随机抽取2n个数,,…,,,,…,,构成n个数对,,…,,其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率
的近似值为
(A) (B) (C) (D)
(11)已知F1,F2是双曲线E的左,右焦点,点M在E上,M F1与 轴垂直,sin ,则E的离心率为
(A) (B) (C) (D)2
(12)已知函数满足,若函数与图像的交点为 则
(A)0 (B)m (C)2m (D)4m
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共3小题,每小题5分
(13)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= .
(14)α、β是两个平面,m、n是两条直线,有下列四个命题:
(1)如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
(2)如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.
(3)如果α∥β,mα,那么m∥β.
(4)如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号)
(15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3。甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 。
(16)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+2)的切线,则b= 。
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本题满分12分)
为等差数列的前n项和,且记,其中表示不超过x的最大整数,如.
(I)求;
(II)求数列的前1 000项和.
18.(本题满分12分)
某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
4
5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
一年内出险次数
0
1
2
3
4
5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0. 05
(I)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(II)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;
(III)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
19.(本小题满分12分)
如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△的位置,.
(I)证明:平面ABCD;
(II)求二面角的正弦值.
20. (本小题满分12分)
已知椭圆E:的焦点在轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(I)当t=4,时,求△AMN的面积;
(II)当时,求k的取值范围.
(21)(本小题满分12分)
(I)讨论函数 的单调性,并证明当 >0时,
(II)证明:当 时,函数 有最小值.设g(x)的最小值为,求函数 的值域.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
(22)(本小题满分10分)选修4-1:集合证明选讲
如图,在正方形ABCD,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.
(I) 证明:B,C,E,F四点共圆;
(II)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.
(23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(I)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(II)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A、B两点,∣AB∣=,求l的斜率。
(24)(本小题满分10分),选修4—5:不等式选讲
已知函数f(x)= ∣x-∣+∣x+∣,M为不等式f(x) <2的解集.
(I)求M;
(II)证明:当a,b∈M时,∣a+b∣<∣1+ab∣。
参考答案
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