附答案高考冲刺练习数列 43页

‎ ‎ ‎ 数 列 例1、已知数列项、公比都为q（q>0且q≠1）的等比数列，.‎ ‎ （1）当q=5时，求数列的前n项和Sn； （2）当时，若，求n的最小值.‎ 解：（1）由题得………2分 ‎ ‎ 设…………（1）‎ ‎ ……………………（2分）‎ ‎ 两式相减：‎ ‎ …………6分 ‎ （2）‎ ‎ …………8分 ‎ ，即取时，.‎ ‎ 所求的最小自然数是15.……………………………………………………12分 例2、已知数列中，，且对时，有 ‎．‎ ‎（Ⅰ）设数列满足，证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，求数列的前n项和Sn．‎ ‎（Ⅰ） 证明：由条件，得，‎ 则．………………2分 即，所以，．‎ 所以是首项为2，公比为2的等比数列． ……………4分 ‎，所以．两边同除以，可得．……………………………6分 于是为以首项，－为公差的等差数列．所以．………………………8分 ‎（Ⅱ），令，则．‎ 而．∴． ………………………………………12分 ‎，‎ ‎∴．…14分 令Tn＝， ①则2Tn＝． ②‎ ‎①－②，得Tn＝，Tn＝．∴．……………16分 例3、已知以a为首项的数列满足：(1)若0＜≤6，求证：0＜≤6; ‎ ‎(2)若a，k∈N﹡，求使对任意正整数n都成立的k与a；‎ ‎(3)若 (m∈N﹡)，试求数列的前4m+2项的和.‎ ‎【解】 （1）当时，则，当时，则,‎ 故，所以当时，总有．　 ……………………4分 ‎ （2）①当时，，故满足题意的N*．‎ 同理可得，当或4时，满足题意的N*．当或6时，满足题意的N*．‎ ‎②当时，，故满足题意的k不存在．‎ ‎③当时，由（1）知，满足题意的k不存在．综上得：当时，满足题意的N*；‎ ‎ 当时，满足题意的N*． ……………………10分 ‎（3）由mN*，可得，故,当时，．‎ 故且．又，所以．‎ ‎ 　故=4‎ ‎ =4=‎ ‎．　……16分 例4、设数列的前项和为，且，其中；‎ （１） 证明：数列是等比数列。（２）设数列的公比，数列满足 （２） ‎，（求数列的通项公式；‎ ‎（３）记，记，求数列的前项和为；‎ ‎【解】（1）由，‎ ‎ 相减得：，∴，∴数列是等比数列 ‎ （2），∴，‎ ‎∴是首项为，公差为1的等差数列；∴∴‎ ‎（3）时，，∴，‎ ‎∴， ①‎ ‎ ②‎ ‎②-①得：，‎ ‎∴，‎ 所以：‎ 例5、 已知数列是公差为的等差数列，‎ 数列是公比为的(q∈R)的等比数列，若函数，且,,，‎ ‎(1)求数列和的通项公式；‎ ‎(2)设数列的前n项和为，对一切，都有成立，求 ‎【解】(1)数列是公差为的等差数列 ‎，且 ‎ ‎ ……数列是公比为的(q∈R)的等比数列 ‎，且,, ‎ ‎ ………………….8分 ‎(2) ，………………….10分 ‎ ………………….12分 ‎ ‎ 设 ‎ ‎………………….14分 综上………………….16分 例6、在正项数列中,令.（Ⅰ）若是首项为25,公差为2的等差数列,求；‎ ‎（Ⅱ）若（为正常数）对正整数恒成立,求证为等差数列；‎ ‎（Ⅲ）给定正整数,正实数,对于满足的所有等差数列,‎ 求的最大值.‎ ‎【解】（Ⅰ）解：由题意得,,所以=…(4分)‎ ‎（Ⅱ）证:令,,则=1………………………(5分)‎ 所以=（1）,=（2）,‎ ‎（2）—（1）,得—=,‎ 化简得（3）……………………………………(7分)‎ ‎（4）,（4）—（3）得(9分)‎ 在（3）中令,得,从而为等差数列 ………………………(10分)‎ ‎（Ⅲ）记,公差为,则=……(12分)‎ 则,‎ ‎……………………(14分)‎ 则,当且仅当,即时等号成立 (16分)‎ 例7、已知点(N)顺次为直线上的点,点(N)顺次为轴上的点,其中,对任意的N,点、、构成以为顶点的等腰三角形.(Ⅰ)证明:数列是等差数列;‎ ‎(Ⅱ)求证:对任意的N,是常数,并求数列的通项公式; ‎ ‎ (Ⅲ)在上述等腰三角形中是否存在直角三角形,若存在,求出此时的值;若不存在,请说明理由.‎ 解: (Ⅰ)依题意有,于是.所以数列是等差数列. ……….4分 ‎(Ⅱ)由题意得,即 , () ①‎ 所以又有. ② ………6分 由②①得,可知都是等差数列.那么得 ‎,. ( ‎ 故 …………10分 ‎(Ⅲ)当为奇数时,,所以 当为偶数时,所以 ‎ 作轴,垂足为则,要使等腰三角形为直角三角形,‎ 必须且只需. 当为奇数时,有,即 . ①‎ 当时,;当时,;当, ①式无解.‎ 当为偶数时,有,同理可求得. ‎ 综上所述,上述等腰三角形中存在直角三角形,此时的值为或或. ……………..14分 例8、已知点N)都在函数的图象上.‎ ‎(Ⅰ)若数列是等差数列,求证数列为等比数列；‎ ‎(Ⅱ)若数列的前项和为=,过点的直线与两坐标轴所围成三角形面积为,求使对N恒成立的实数的取值范围.‎ 解: (Ⅰ)因为数列是等差数列,故设公差为,则对N恒成立.依题意 ‎,.由,所以是定值,‎ 从而数列是等比数列. …………5分 ‎(Ⅱ)当时,,当时,,当时也适合此式,即数列的通项公式是. 由,数列的通项公式是. ……………8分 ‎ 所以,过这两点的直线方程是,该直线 与坐标轴的交点是和.. ……………11分 因为.‎ 即数列的各项依次单调递减,所以要使对N恒成立,只要,又,可得的取值范围是. 故实数的取值范围是. …………14分 例9、已知数列{an}、{bn}满足：。‎ ‎(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列{an}的通项an；‎ ‎(3)设，若对于nÎN*恒成立，试求实数a的取值范围。‎ 解：（1）由依题意 ‎ ‎ ‎（2）由（1）知 ‎ （3）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例10、设正整数数列满足：，当时，有．‎ ‎（I） 求、的值；（Ⅱ）求数列的通项；‎ ‎(Ⅲ) 记，证明，对任意， .‎ 解（Ⅰ）时，，由已知，得，‎ 因为为正整数，所以，同理………………………………2分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：。………………………………………………3分 证明：①时，命题成立；②假设当与时成立，即，。……………4分 于是，整理得：，……………………………5分 由归纳假设得：，…………………6分 因为为正整数，所以，即当时命题仍成立。‎ 综上：由知①②知对于，有成立．………………………………7分 ‎(Ⅲ)证明：由 ③得 ‎ ‎ ④‎ ‎③式减④式得 ⑤…………………9分 ‎ ⑥‎ ‎⑤式减⑥式得…………………11分 ‎ 则 ．……14分 例11、设数列{}的前n项和为,点的图象上。‎ ‎（1）求数列{}的通项公式；‎ ‎（2）设对所有都成立的最小正整数m.‎ 解：（1）依题意得…………………………2分 ‎ 当时，……①‎ ‎ 当时，适合①式，所以，…5分 ‎ ‎ ‎（2）由（1）得知 ‎ 故…9分 ‎ 因此，使成立的，必须且仅须满足，‎ ‎ 即，…………………………………………………………………………11分 ‎ 所以满足要求的最小正整数为10。……………………………………………13分 例12、已知曲线C：xy=1，过C上一点作一斜率为的直线交曲线C于另一点，点列的横坐标构成数列{}，其中．‎ ‎（1）求与的关系式；（2）求证：{}是等比数列；‎ ‎（3）求证：。‎ 解：（1）过C：上一点作斜率为的直线交C于另一点，‎ ‎ 则， ----------------------------3分 ‎（前三个式子各式1分） 于是有： 即： --------4分 ‎（2）记，则， ‎ 因为，因此数列{}是等比数列。 --------8分 ‎（3）由（2）可知：，。 ‎ 当n为偶数时有：=， 于是①在n为偶数时有：‎ ‎。 ----------12分 ‎②在n为奇数时，前n-1项为偶数项，于是有：‎ ‎。 -----------------13分 综合①②可知原不等式得证。 ----------------------------14分 例13、根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为；‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列{yn}；‎ 的一个通项公式yn，并证明你的结论;‎ ‎（Ⅲ）求．‎ 解：（Ⅰ）由框图，知数列 ……2分 ‎∴ ……4分 ‎（Ⅱ）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80.由此，猜想 ……2分 证明：由框图，知数列{yn}中，yn+1=3yn+2∴∴ …4分 ‎∴数列{yn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列。∴+1=3·3n－1=3n ‎∴=3n－1（） ……6分 ‎（Ⅲ）zn==1×（3－1）+3×（32－1）+…+（2n－1）（3n－1）‎ ‎=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n－[1+3+…+（2n－1）]记Sn=1×3+3×32+…+（2n－‎ ‎1）·3n，① ‎ 则3Sn=1×32+3×33+…+（2n－1）×3n+1 ② ……2分 ‎①－②，得－2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n－（2n－1）·3n+1=2（3+32+…+3n）－3－（2n－1）·3n+1‎ ‎=2×=‎ ‎∴又1+3+…+（2n－1）=n2‎ ‎∴. ……4分 例14、已知数列的首项，前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，，为数列的前项和，求证：．‎ 解：（Ⅰ）由，， ①‎ ‎∴ ， ②‎ ‎①－②得：，即 ‎， 4分 ‎∵，‎ ‎∴。 8分 ‎（Ⅱ）∵，∴， 10分 ‎∴ ‎ ‎ ．故． 14分 例15、已知点在直线上，点……，顺次为轴上的点,其中，对于任意，点构成以为顶角的等腰三角形, 设的面积为．‎ (1) 证明：数列是等差数列；‎ (2) 求；（用和的代数式表示）‎ O ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ B1‎ B2‎ Bn x y (3) 设数列前项和为，判断与()的大小，并证明你的结论；‎ 解：（1）由于点在直线上，‎ 则， 因此，所以数列是等差数列 ……2分 ‎（2）由已知有，那么 ……3分 同理以上两式相减，得， ……4分 ‎ ‎∴成等差数列；也成等差数列， ‎ ‎∴， ……5分 ‎ ……6分 点，则，，‎ 而∴ ……8分 ‎（3）由(1)得:， ……9分 则 ‎ 而，则， ……11分 即 ∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ……12分 由于 ，而,‎ 则, 从而 , ……13分 ‎ 同理:……‎ 以上个不等式相加得：‎ 即，从而 …14分 说明：（1）也可由数学归纳法证明 ；‎ （2） 本题也可以求出的通项公式，由两边同时除以，‎ （3） 令，则 （4） ‎ ‎ 利用错位相减法可求出：‎ 则，则，时，也符合上式，‎ 则对任意正整数都成立．下同上述解法 w.w.w.k.s.5.‎ 例16、已知定义在上的函数满足：对任意实数，总有 ‎ 恒成立，，且对任意正整数，有，．‎ ‎（１）求数列的通项公式；‎ ‎（２）记，，比较与的大小关系，并给出证明；‎ 解：（１）因为，所以 又因为……………………………3分 又 ‎． ……………6分 ‎（２），…………8分 ‎ …………………………10分 ‎（用数学归纳法也行）．　………13分 例17、已知正项数列的前项和为，，且满足 。‎ ‎（1）求数列通项公式；（2）求证：当时，。‎ 解：（1）时， ……………①‎ 时，…………………②………………………1分 ‎ 时，①－②得：‎ ‎∵ ∴，………………………………………………3分 令， ∵ ∴‎ 时，…………………………………5分 又 ∴…………………………………6分 ‎（2）当时，左边 ‎ ……………………9分 ‎ ………………11分 ‎ ‎ ‎∴当时，………………………………12分 例18、设方程tan2πx－4tanπx＋＝0在[n－1，n)(n∈N*)内的所有解之和为an．‎ ‎（1）求a1、a2的值，并求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足条件：b1＝2，bn＋1≥a，求证：‎ ‎　　　＋＋…＋＜2．‎ 解：方程tan2πx－4tanπx＋＝(tanπx－1)(tanπx－)＝0得tanπx＝或tanπx＝ ‎（1）当n＝1时，x∈[0，1)，即πx∈[0，π)‎ ‎　　　　由tanπx＝，或tanπx＝得πx＝或πx＝ ‎ 故a1＝＋＝；………………2分 ‎　　　　　当n＝2时，x∈[1，2)，则πx∈[π，2π)由tanπx＝或tanπx＝，得πx＝或πx＝ ‎ 故a1＝＋＝………………4分当x∈[n－1，n)时，πx∈[(n－1)π，nπ)‎ 由tanπx＝，或tanπx＝得πx＝＋(n－1)π或πx＝＋(n－1)π得x＝＋(n－1)或x＝＋(n－1)， ‎ 故an＝＋(n－1)＋＋(n－1)＝2n－………6分 ‎（2）由（1）得bn＋1≥a＝2bn－即bn＋1－≥a＝2(bn－)≥22(bn－1－)≥…≥2n(b1－)＝2n－1＞0……10分 则≤，即≤ ＋＋…＋≤1＋＋…＋＝2－＜2．……12分 例19、正项数列中，前n项和为Sn，且。‎ （1） 求数列的通项公式；‎ （2） ‎（2）设。‎ 解：（1）由 例20、已知数列中，‎ ‎（1）求数列的通项公式；（2）设 ‎（3）设是否存在最大的整数m ‎，使得对任意，均有成立？若存在，求出m，若不存在，请说明理由。‎ 答案：解：（1）……………………5分 ‎（2）……………………10分 ‎（3）由（1）可得则 ‎……………………12分 由Tn为关于n的增函数，故，于是欲使恒成立 则∴存在最大的整数m=7满足题意…………………………14分 例21、已知数列的前n项和为且．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前n项和；‎ ‎（Ⅲ）设，证明：．‎ 答案：（Ⅰ）（1） (2)‎ ‎ （2)－(1)得： ，所以 （3分）‎ ‎（Ⅱ） （3）‎ ‎ （4）‎ ‎（3)－(4)得： ‎ ‎ ‎ 例22、数列中,且满足 ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设求的解析式;‎ ‎（Ⅲ）设计一个求的程序框图.‎ ‎【解】（Ⅰ） 所以数列为等差数列. ………………………2分 ‎ 又 所以……………………………………4分 ‎ ‎（Ⅱ）令则有所以 ‎ 所以当时,‎ ‎……………………6分 当时,‎ ‎……………8分 是 否 ‎（Ⅲ）‎ ‎……………………………………………12分 例23、设数列的前项和为，点在直线上，为常数，．‎ ‎(Ⅰ)求；（Ⅱ）若数列的公比,数列满足，求证：为等差数列，并求；（III）设数列满足，为数列的前项和，且存在实数满足，，求的最大值．‎ ‎【解】（Ⅰ）由题设， ①…………………1分 ‎ ‎ ‎ 由①，时， ② ………………2分 ‎ ‎①②得， ‎ ‎…………………………………………………………………5分 ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ‎ 化简得： …………………………7分 ‎ 为等差数列，………………………9分 ‎ ‎（III）由（Ⅱ）知为数列的前项和，因为，‎ 所以是递增的， .……………………………………………12分 ‎ 所以要满足，，‎ 所以的最大值是.……………………………………………………………………14分 例24、已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….‎ ‎（1）令求证数列是等比数列（2）求数列 ‎ ⑶ 设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。‎ 解：（I）由已知得 ‎ 又 是以为首项，以为公比的等比数列.‎ ‎（II）由（I）知，‎ 将以上各式相加得：‎ ‎ ‎ ‎（III）解法一：存在，使数列是等差数列.‎ 数列是等差数列的充要条件是、是常数即 又 当且仅当，即时，数列为等差数列.‎ 解法二：存在，使数列是等差数列.由（I）、（II）知，‎ 又 当且仅当时，数列是等差数列.‎ 例25、如图，是曲线 上的个点，点在轴的正半轴上，是正三角形(是坐标原点) .(Ⅰ) 写出；(Ⅱ)求出点的横坐标关于的表达式；‎ ‎(Ⅲ)设，若对任意正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 解：(Ⅰ) .…………………………………………… 2分 ‎(Ⅱ)依题意，则 y x O A0‎ P1‎ P2‎ P3‎ A1‎ A2‎ A3‎ ‎，… 3分 在正三角形中，有 ‎ ..……………… 4分 ‎， ， ①‎ 同理可得 . ②‎ ‎①-②并变形得 ‎， ， … 6分 ‎ . ∴数列是以为首项，公差为的等差数列. ， …………………………………… 7分 ‎，.‎ ‎. ………………………… 8分 ‎(Ⅲ)解法1 ：∵， ∴.‎ ‎.∴当时，上式恒为负值，∴当时，，‎ ‎∴数列是递减数列. 的最大值为. ……………… 11分 若对任意正整数，当时，不等式恒成立，则不等式在时恒成立，即不等式在时恒成立.‎ ‎ 设，则且，∴‎ 解之，得 或，即的取值范围是.…………… 14分 解法2：∵，‎ 设，则.‎ 当时，，在是增函数.∴数列是递减数列. 的最大值为. …… 11分 ‎(以下解答过程与解法1相同)‎ 例26、已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数 ‎ ‎（1）用表示；（2）,若，试证明数列为等比数列，并求数列的通项公式； （3）若数列的前项和，记数列的前项和，求。‎ 解：（1）由题可得，所以在曲线上点处的切线方程为，即 -2分 令，得，即由题意得，所以 --4分 ‎（2）因为，所以 即，所以数列为等比数列故 ---8分 ‎ ‎（3）当时，当时，‎ 所以数列的通项公式为，故数列的通项公式为 ‎ ① ①的 ②‎ ‎①②得故 --14分 例27、数列的前项和为，已知 ‎（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和。‎ 解：由得：，即 ‎，所以，对成立。由，，…，相加得：，又，所以，当时，也成立。‎ ‎（Ⅱ）由，得。而，‎ 例28、已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….‎ ‎(Ⅰ)令(Ⅱ)求数列 ‎(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。‎ 解：（I）由已知得 ‎ 又 是以为首项，以为公比的等比数列.‎ ‎（II）由（I）知，‎ 将以上各式相加得：‎ ‎ ‎ ‎（III）解法一：存在，使数列是等差数列.‎ 数列是等差数列的充要条件是、是常数即 又 当且仅当，即时，数列为等差数列.‎ 解法二：存在，使数列是等差数列.‎ 由（I）、（II）知，‎ 又 ‎ 当且仅当时，数列是等差数列.‎ 例29、在数列中，，其中．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立．‎ ‎（Ⅰ）解法一：，，‎ ‎．由此可猜想出数列的通项公式为．‎ 以下用数学归纳法证明．（1）当时，，等式成立．‎ ‎（2）假设当时等式成立，即，‎ 那么．‎ 就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立．‎ 解法二：由，，可得，‎ 所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．‎ ‎（Ⅱ）解：设，　　　①‎ ‎　　　　　　　　②‎ 当时，①式减去②式，得，‎ ‎．这时数列的前项和．当时，．这时数列的前项和．‎ ‎（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：‎ ‎．　　　　③由知，要使③式成立，只要，‎ 因为 ‎．所以③式成立．‎ 因此，存在，使得对任意均成立．‎ 例30、已知数列中，，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若数列中，，，‎ 证明：，．‎ 解：（Ⅰ）由题设：‎ ‎，．‎ 所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，‎ 即的通项公式为，．‎ ‎（Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当时，因，，所以 ‎，结论成立．（ⅱ）假设当时，结论成立，即，‎ 也即．当时，‎ ‎，又，‎ 所以　　．‎ 也就是说，当时，结论成立．‎ 根据（ⅰ）和（ⅱ）知，．‎ 例31、数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，.（1）求；‎ ‎（2）求证.‎ 解：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，，‎ 依题意有①由知为正有理数，故为的因子之一，‎ 解①得故 ‎（2）∴‎ 例32、 数列 ‎ (Ⅰ)求并求数列的通项公式；‎ ‎ (Ⅱ)设证明：当 ‎ 解: (Ⅰ)因为所以 一般地，当时，＝，即 所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此 当时，‎ 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列 的通项公式为 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ①‎ ‎ ②‎ ‎ ①-②得，‎ ‎ 所以 ‎ 要证明当时，成立，只需证明当时，成立.‎ ‎ 证法一(1)当n = 6时，成立.‎ ‎ (2)假设当时不等式成立，即 ‎ 则当n=k+1时，‎ ‎ 由(1)、(2)所述，当n≥6时，.即当n≥6时，‎ ‎ 证法二 令，则 ‎ 所以当时，.因此当时，于是当时，‎ 综上所述，当时，‎ 例33、已知数列的首项，，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的，，；‎ ‎（Ⅲ）证明：．‎ 解法一：（Ⅰ），，，‎ 又，是以为首项，为公比的等比数列．，．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ ‎，原不等式成立．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有 ‎．取，‎ 则．原不等式成立．‎ 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设，‎ 则，‎ 当时，；当时，，当时，取得最大值．原不等式成立．（Ⅲ）同解法一．‎ 例34、等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.‎ ‎（1）求r的值； （11）当b=2时，记 . ‎ 证明：对任意的 ，不等式成立 解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,‎ ‎（2）当b=2时，, ‎ 则,所以 . ‎ 下面用数学归纳法证明不等式成立.‎ ① 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.‎ ① 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=‎ 所以当时,不等式也成立. . 由①、②可得不等式恒成立.‎ ‎【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.‎ 例35、已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．（1）求数列的通项公式；（2）证明：.‎ 解：（1）设直线：，联立得，则，∴（舍去）. ‎ ‎，即，∴‎ ‎（2）证明：∵ . ‎ ‎∴‎ 由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，则有，即. ‎ 例36、数列的通项，其前n项和为. ‎ ‎(1) 求; (2) 求数列｛｝的前n项和.‎ 解: (1) 由于,故 ‎,‎ 故 ()‎ ‎(2) ‎ 两式相减得 故 ‎ 例37、设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。 ‎ ‎（I）求数列与数列的通项公式；‎ ‎（II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；（III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；‎ ‎【解析】（I）当时， 又 ‎∴数列是首项为，公比为的等比数列，‎ ‎∴， …………………………………3分 ‎（II）不存在正整数，使得成立。证明：由（I）知 ‎ ‎∴当n为偶数时，设 ∴‎ 当n为奇数时，设∴∴对于一切的正整数n，都有 ∴不存在正整数，使得成立。 …………………………………8分 ‎（III）由得 ‎ 又， ‎ 当时，，‎ 当时，‎ ‎ ‎