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- 2021-05-14 发布
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一、 基本知识篇
(一)集合与简易逻辑
1.研究集合问题,一定要抓住集合的代表元素,如: 与 及
2.数形结合是解集合问题的常用方法,解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决;
3.一个语句是否为命题,关键要看能否判断真假,陈述句、反诘问句都是命题,而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题;
4.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命题 ,逆命题与其否命题是等价命题 ,一真俱真,一假俱假,当一个命题的真假不易判断时,可考虑判断其等价命题的真假;
5.判断命题充要条件的三种方法:(1)定义法;(2)利用集合间的包含关系判断,若 ,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件;(3)等价法:即利用等价关系 判断,对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题,一般运用等价法;
6.(1)含n个元素的集合的子集个数为 ,真子集(非空子集)个数为 -1;
(2)
(3) 。
二、 思想方法篇
函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系,从而解决问题的一种思维方式,是很重要的数学思想。
1.函数思想:把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来,并研究这些量间的相互制约关系,最后解决问题,这就是函数思想;
2.应用函数思想解题,确立变量之间的函数关系是一关键步骤,大体可分为下面两个步骤:(1)根据题意建立变量之间的函数关系式,把问题转化为相应的函数问题;(2)根据需要构造函数,利用函数的相关知识解决问题;(3)方程思想:在某变化过程中,往往需要根据一些要求,确定某些变量的值,这时常常列出这些变量的方程或(方程组),通过解方程(或方程组)求出它们,这就是方程思想;
3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念,它们之间相互渗透,很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决,很多函数的问题也需要用方程的方法的支援,函数与方程之间的辩证关系,形成了函数方程思想。
四、 基本知识篇
(二)函数
1.复合函数的有关问题
(1)复合函数定义域求法:若已知f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;
2.函数的奇偶性
(1)若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(|x|);
(2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0(可用于求参数);
(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);
(4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性;
(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;
3.函数图像(或方程曲线的对称性)
(1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明图像C1与C2的对称性,即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上,反之亦然;
(3)曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函数y=f(x)对x∈R时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)图像关于直线x=a对称;
(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;
4.函数的周期性
(1)y=f(x)对x∈R时,f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;
(2)若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;
(3)若y=f(x)奇函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;
(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2|a-b|的周期函数;
(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数;
(6)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ,则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数;
5.方程k=f(x)有解 k∈D(D为f(x)的值域);
6.a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;
7.(1) (a>0,a≠1,b>0,n∈R+);
(2)log a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);
(3)log a b的符号由口诀“同正异负”记忆;
(4)a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 );
8.能熟练地用定义证明函数的单调性,求反函数,判断函数的奇偶性。
9.判断对应是否为映射时,抓住两点:(1)A中元素必须都有象且唯一;(2)B中元素不一定都有原象,并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
10.对于反函数,应掌握以下一些结论:
(1)定义域上的单调函数必有反函数;
(2)奇函数的反函数也是奇函数;
(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;
(4)周期函数不存在反函数;
(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;
(6)y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数,设f(x)的定义域为A,值域为B,则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).
11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;
12.恒成立问题的处理方法:(1)分离参数法;(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解;
13.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题: (或 (或 );
14.掌握函数 的图象和性质;
函数
(b - ac≠0)
定义域
值域
奇偶性
非奇非偶函数
奇函数
单调性
当b-ac>0时:分别在 上单调递减;
当b-ac<0时:分别在上单调递增;
在上单调递增;
在 上单调递减;
图象
15.实系数一元二次方程 的两根 的分布问题:
根的情况
等价命题
在 上有两根
在 上有两根
在 和 上各有一根
充要条件
注意:若在闭区间[m,n]讨论方程f(x)=0
有实数解的情况,可先利用在开区间(m,n)上实根分布的情况,得出结果,在令x=n和x=m检查端点的情况。
五、 思想方法篇
(二)数形结合思想
数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一,对于所研究的代数问题,有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决(以形助数);或者对于所研究的几何问题,可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决(以数助形),这种解决问题的方法称之为数形结合。
1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性,发挥数的思路的规范性与严密性,两者相辅相成,扬长避短。
2.恩格斯是这样来定义数学的:“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。这就是说:数形结合是数学的本质特征,宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此,数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。
3.数形结合的本质是:几何图形的性质反映了数量关系,数量关系决定了几何图形的性质。
4.华罗庚先生曾指出:“数缺性时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事非。”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形:或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系.
5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中,历年高考的解答题都有关于这个方面的考查(即用代数方法研究几何问题)。而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现。
6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领:
(1)对于研究距离、角或面积的问题,可直接从几何图形入手进行求解即可;
(2)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题,可通过函数的图象求解(函数的零点,顶点是关键点),作好知识的迁移与综合运用;
(3)对于以下类型的问题需要注意: 可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点(cosθ,sinθ)及余弦定理进行转化达到解题目的。
七、 基本知识篇
(三)数列
1.由Sn求an,an={ 注意验证a1是否包含在后面an 的公式中,若不符合要单独列出。一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式;
2.等差数列 ;
3.等比数列 ;
4.首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式 解决;
5.熟记等差、等比数列的定义,通项公式,前n项和公式,在用等比数列前n项和公式时,勿忘分类讨论思想;
6. 在等差数列中, , ;在等比数列中, ;
7. 当 时,对等差数列有 ;对等比数列有 ;
8.若{an}、{bn}是等差数列,则{kan+pbn}(k、p是非零常数)是等差数列;若{an}、{bn}是等比数列,则{kan}、{anbn}等也是等比数列;
9. 若数列 为等差(比)数列,则 也是等差(比)数列;
10. 在等差数列 中,当项数为偶数2n时, ;项数为奇数2n-1时, (即 );
11.若一阶线性递归数列an=kan-1+b(k≠0,k≠1),则总可以将其改写变形成如下形式: (n≥2),于是可依据等比数列的定义求出其通项公式;
八、 思想方法篇
(三)分类讨论的数学思想
分类讨论是一种重要的数学思想方法,当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结果,最终综合各类结果得到整个问题的解答。
1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种:
(1)涉及的数学概念是分类讨论的;
(2)运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的;
(3)求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性;
(4)数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值导致不同的结果的;
(5)较复杂或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解决的。
2.分类讨论是一种逻辑方法,在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法,但分类必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏 ,包含各种情况,同时要有利于问题研究。
十、 基本知识篇
(四)三角函数
1.三角函数符号规律记忆口诀:一全正,二正弦,三是切,四余弦;
2.对于诱导公式,可用“奇变偶不变,符号看象限”概括;
3.记住同角三角函数的基本关系,熟练掌握三角函数的定义、图像、性质;
4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式,正余弦定理,处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于1800,一般用正余弦定理实施边角互化;
5.正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线,对称中心为图象与x轴的交点;正(余)切型函数的对称中心是图象和渐近线分别与x轴的交点,但没有对称轴。
6.(1)正弦平方差公式:sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B);(2)三角形的内切圆半径r= ;(3)三角形的外接圆直径2R=
(五)平面向量
1.两个向量平行的充要条件,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ为实数。(1)向量式:a∥b(b≠0) a=λ b;(2)坐标式:a∥b(b≠0) x1y2-x2y1=0;
2.两个向量垂直的充要条件, 设a=(x1,y1),b=(x2,y2), (1)向量式:a⊥b(b≠0) a·b=0; (2)坐标式:a⊥b x1x2+y1y2=0;
3.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b= =x1x2+y1y2;其几何意义是a·b等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积;
4.设A(x1,x2)、B(x2,y2),则S⊿AOB= ;
5.平面向量数量积的坐标表示:
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2; ;
(2)若a=(x,y),则a2=a·a=x2+y2, ;
十一、 思想方法篇
(四)向量法
向量法是运用向量知识解决问题的一种方法,解题常用下列知识:
(1)向量的几何表示,两个向量共线的充要条件;
(2)平面向量基本定理及其理论;
(3)利用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题;
(4)两点间距离公式、线段的定比分点公式、平移公式
十三、 基本知识篇
(六)不等式
1.掌握不等式性质,注意使用条件;
2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式;勿忘数轴标根法,零点分区间法;
3.掌握用均值不等式求最值的方法,在使用a+b≥ (a>0,b>0)时要符合“一正二定三相等”;注意均值不等式的一些变形,如 。
十四、 思想方法篇
(五)配方法
配方法是指将一代数形式变形成一个或几个代数式平方的形式,其基本形式是:ax2+bx+c= .高考中常见的基本配方形式有:
(1) a2+b2= (a + b)2- 2a b = (a -b) 2+ 2 ab;
(2) (2) a2+ b2+ ab = ;
(3) (3)a2+ b2+c2= (a+b + c)2- 2 ab – 2 a c – 2 bc;
(4) (4) a2+ b2+ c2- a b – bc – a c = [ ( a - b)2 + (b - c)2 + (a - c)2];
(5) ;
配方法主要适用于与二次项有关的函数、方程、等式、不等式的讨论,求解与证明及二次曲线的讨论。
十六、 基本知识篇
(七)直线和圆的方程
1.设三角形的三顶点是A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则⊿ABC的重心G为( );
2.直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2: A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0;
3.两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是 ;
4.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件 :A=C≠0且B=0且D2+E2-4AF>0;
5.过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为:x0x+y0y=r2;
6.以A(x1,y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0;
7.求解线性规划问题的步骤是:(1)根据实际问题的约束条件列出不等式;(2)作出可行域,写出目标函数;(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解;
十七、 思想方法篇
(六)换元法
换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量(或代数式),对新的变量求出结果之后,返回去求原变量的结果。换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来,或者把隐含的条件显示出来,或者把条件与结论联系起来,或者变为熟悉的问题。其理论根据是等量代换。高中数学中换元法主要有以下两类:
(1)整体换元:以“元”换“式”; (2)三角换元 ,以“式”换“元”;
(3)此外,还有对称换元、均值换元、万能换元等;换元法应用比较广泛。如解方程,解不等式,证明不等式,求函数的值域,求数列的通项与和等,另外在解析几何中也有广泛的应用。运用换元法解题时要注意新元的约束条件和整体置换的策略。
十九、 基本知识篇
(八)圆锥曲线方程
1.椭圆焦半径公式:设P(x0,y0)为椭圆 (a>b>0)上任一点,焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则 (e为离心率);
2.双曲线焦半径公式:设P(x0,y0)为双曲线 (a>0,b>0)上任一点,焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则:(1)当P点在右支上时, ;
(2)当P点在左支上时, ;(e为离心率);
另:双曲线 (a>0,b>0)的渐近线方程为 ;
3.抛物线焦半径公式:设P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,F为焦点,则 ;y2=2px(p<0)上任意一点,F为焦点,则 ;
4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题;
5.共渐进线 的双曲线标准方程为 为参数,λ≠0);
6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式,
一般地,若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB, A、B两点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则弦长
,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想;
7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为 ,焦准距为p= ,抛物线的通径为2p,焦准距为p; 双曲线 (a>0,b>0)的焦点到渐进线的距离为b;
8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为Ax2+Bx2=1;
9.抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)为AB,A(x1,y1)、B(x2,y2),则有如下结论:(1)|AB|=x1+x2+p;(2)y1y2=-p2,x1x2= ;
10.过椭圆 (a>b>0)左焦点的焦点弦为AB,则 ,过右焦点的弦 ;
11.对于y2=2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为( ,y0),以简化计算;
12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法,设A(x1,y1)、B(x2,y2)为椭圆 (a>b>0)上不同的两点,M(x0,y0)是AB的中点,则KABKOM= ;对于双曲线 (a>0,b>0),类似可得:KAB.KOM= ;对于y2=2px(p≠0)抛物线有KAB=
13.求轨迹的常用方法:
(1)直接法:直接通过建立x、y之间的关系,构成F(x,y)=0,是求轨迹的最基本的方法;
(2)待定系数法:所求曲线是所学过的曲线:如直线,圆锥曲线等,可先根据条件列出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可;
(3)代入法(相关点法或转移法):若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1)的变化而变化,并且Q(x1,y1)又在某已知曲线上,则可先用x、y的代数式表示x1、y1,再将x1、y1
带入已知曲线得要求的轨迹方程;
(4)定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程;
(5)参数法:当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x、y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程。
二十、 思想方法篇
(七)向量法
向量法是运用向量知识解决问题的一种方法,解题常用下列知识:
(1)向量的几何表示,两个向量共线的充要条件;(2)平面向量基本定理及其理论;
(3)利用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题;
(4)两点间距离公式、线段的定比分点公式、平移公式。
二十二、 基本知识篇
(九)直线、平面、简单几何体
1.从一点O出发的三条射线OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上;
2. 已知:直二面角M-AB-N中,AE M,BF N,∠EAB= ,∠ABF= ,异面直线AE与BF所成的角为θ,则
3.立平斜公式:如图,AB和平面所成的角是 ,AC在平面内,AC和AB的射影AB成 ,设∠BAC= ,则cos cos =cos ;
4.异面直线所成角的求法:
(1)平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线;
(2)补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系;
5.直线与平面所成的角
斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角,它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线,是产生线面角的关键;
6.二面角的求法
(1)定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点),分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性;
(2)三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角;
(3)垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的平面与棱垂直;
(4)射影法:利用面积射影公式S射=S原cosθ,其中θ为平面角的大小,此方法不必在图形中画出平面角;
特别:对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出现棱,然后再选用上述方法(尤其要考虑射影法)。
7.空间距离的求法
(1)两异面直线间的距离,高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂线,然后再进行计算;
(2)求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解;
(3)求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作,因此,确定已知面的垂面是关键;二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解;
8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为θ,则S侧cosθ=S底;
9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为α,β,γ 因此有cos2α+cos2β+cos2γ =1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为α,β,γ 则有cos2α+cos2β+cos2γ =2;
10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长;
11.欧拉公式:如果简单多面体的顶点数为V,面数为F,棱数为E.那么V+F-E=2;并且棱数E=各顶点连着的棱数和的一半=各面边数和的一半;
12.球的体积公式V= ,表面积公式 ;掌握球面上两点A、B间的距离求法:(1)计算线段AB的长,(2)计算球心角∠AOB的弧度数;(3)用弧长公式计算劣弧AB的长。
二十三、 思想方法篇
(八)分析法、综合法
(1)分析法是从所求证的结果出发,逐步推出能使它成立的条件,直至已知的事实为止;分析法是一种“执果索因”的直接证法。
(2)综合法是从已经证明的结论、公式出发,逐步推出所要求证的结论。综合法是一种“由因导果”,叙述流畅的直接证法。
(3)分析法、 综合法是证明数学问题的两大最基本的方法。分析法“执果索因”的分析方法,思路清晰,容易找到解题路子,但书写格式要求较高,不容易叙述清楚,所以分析法、综合法常常交替使用。分析法、 综合法应用很广,几乎所有题都可以用这两个方法来解。
二十四、 基本知识篇
(十)排列组合二项式定理和概率
1.排列数公式: =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= (m≤n,m、n∈N*),当m=n时为全排列 =n(n-1)…2 1;
2.组合数公式: (m≤n), ;
3.组合数性质: ;
4.常用性质:n.n!=(n+1)!-n!;即 (1≤r≤n);
5.二项式定理:(1)掌握二项展开式的通项:
(2)注意第r+1项二项式系数与第r+1系数的区别;
6.二项式系数具有下列性质:
(1) 与首末两端等距离的二项式系数相等;
(2) 若n为偶数,中间一项(第 +1项)的二项式系数最大;若n为奇数,中间两项(第 和 +1项)的二项式系数最大;
(3)
7.F(x)=(ax+b)n展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为 ;偶数项的系数和为 ;
8.等可能事件的概率公式:(1)P(A)= ;(2)互斥事件分别发生的概率公式为:P(A+B)=PA.+PB.;(3)相互独立事件同时发生的概率公式为P(AB)=PA.PB.;(4)独立重复试验概率公式Pn(k)= (5)如果事件A、B互斥,那么事件A与 、 与 及事件 与
也都是互斥事件;(6)如果事件A、B相互独立,那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1-P(AB)=1-PA.PB.;(7)如果事件A、B相互独立,那么事件A、B至少有一个发生的概率是1-P( · )=1-P( )P( );
(十一)抽样方法、总体分布的估计与总体的期望和方差
1.掌握抽样的二种方法:(1)简单随机抽样(包括抽签符和随机数表法);(2)分层抽样,常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形;
2.总体分布的估计:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,一般地,样本容量越大,这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图;
3.总体特征数的估计:(1)学会用样本平均数 去估计总体平均数;(2)学会用样本方差 去估计总体方差 及总体标准差;
理科选修内容基本知识
十、概率与统计
1.理解随机变量,离散型随机变量的定义,能够写出离散型随机变量的分布列,由概率的性质可知,任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质:(1)pi≥0,i=1,2,…; (2) p1+p2+…=1;
2.二项分布:记作~B(n,p),其中n,p为参数,并记;
3.记住以下重要公式和结论:
x1
X2
…
xn
…
P
P1
P2
…
Pn
…
(1)期望值E= x1p1 + x2p2 + … + xnpn + … ;
(2)方差D= ;
(3)标准差;
(4)若~B(n,p),则E=np, D=npq,这里q=1- p;
4.掌握抽样的三种方法:(1)简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法);(2)系统抽样,也叫等距离抽样;(3)分层抽样,常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形;
5.总体分布的估计:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,一般地,样本容量越大,这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图;
6.正态总体的概率密度函数:式中是参数,分别表示总体的平均数与标准差;
7.正态曲线的性质:(1)曲线在x= 时处于最高点,由这一点向左、向右两边延伸时,曲线逐渐降低;(2)曲线的对称轴位置由确定;曲线的形状由确定,越大,曲线越矮胖;反过来曲线越高瘦;(3)曲线在x轴上方,并且关于直线x= 对称;
8.利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布的概率 P(x1<c(c>0)的解法掌握了吗?
10.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?注意到对二次项系数进行讨论了吗?
11.特别提配:二次方程ax2+bx+c=0的两根即为不等式ax2+bx+c>0(<0)解集的端点值,也是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标。
12.求反函数的步骤掌握了吗?(①反解x,②互解x、y,③注明定义域(此定义域如何求?)),原函数y= f(x)在区间[-a,a]上单调递增,则一定存在反函数,且反函数也单调递增;
13.判断函数的奇偶性时,注意到定义域的特点了吗?(关于原点对称这个必要非充分条件)。
14.函数单调性的证明方法是什么?(定义法,导数法)
15.特别注意函数单调性与奇偶性的逆用了吗?(①比较大小;②解不等式;③求参数的范围。)
16. 的图象及单调区间掌握了吗?如何利用它求函数的最值?与利用不等式求函数的最值的联系是什么?
17.研究函数问题准备好"数形结合"这个工具了吗?
18.研究函数的性质注意到定义域内进行了吗?
19.解对数函数问题时注意到真数与底数的限制了吗?指数、对数函数的图象与性质明确了吗?
20.你还记得对数恒等式(=N)和换底公式吗?
21.三角函数(正弦、余弦、正切)图象的草图能迅速画出吗?能写出它们的单调区间及其取最值时的x值的集合吗?(别忘了kZ)。
22.三角函数中的和、差、倍、降次公式及其逆用、变形用都掌握了吗?
23.会用五点法画y=Asin(ωx+φ)的草图吗?哪五点?会根据图象求参数A、ω、φ的值吗?
24.试卷中给出的积化和差和和差化积公式你会用吗?
25.正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?会用它们解斜三角形吗?如何实现边角互化?
26.你对三角变换中的几大变换清楚吗?(①角的变换:和差、倍角公式;②名的变换:切割化弦;③次的变换:升、降次公式;④形的变换:统一函数形式)
27.在三角函数中求一个角时,注意考虑两方面了吗(先求出某一个三角函数值,再判定角的范围)
28.形如y=Asin(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)的最小正周期会求吗?有关周期函数结论还记得多少?
29. 的用途掌握了吗?
30.在解含有正余弦函数问题时,你深入挖掘正余弦函数有界性了吗?例如已知,求t=sinβcosα的变化范围。
32.三角不等式或三角方程的通解一般式你注明kZ了吗?
33.你还记得弧度制下的弧长公式和扇形公式吗?(l=______,S=______ )
34.在用反三角表示直线的倾斜角、两条直线所成的角、二面角的平面角、直线与平面所成的角时,是否注意到了它们的范围?
35.常用的图象变换有几种(平移、伸缩和对称)?具体变换步骤还记得吗?
36.重要不等式是指哪几个不等式?由它们推出的不等式链是什么?
37.不等式证明的基本方法都掌握了吗?(比较法;分析法;综合法;数学归纳法。)
38.利用重要不等式求函数的最值时,是否注意到:①都是正的;②等号成立;③其中之一为定值。
39.不等式解集的规范格式是什么?(一般要写成区间或集合的形式)
40.解分式不等式应注意什么问题?(不能去分母而要移项通分)
41.解含参数不等式怎样讨论?注意解完之后要写上:"综上,原不等式的解集是……"
42.诸如(a-x)x2+2(a-2)x-4<0对一切x
R恒成立,求a的范围,你讨论二次项系数为零了吗?
43.解对数不等式应注意什么问题?(化成同底,利用单调性,底数和真数要大于零)
44."穿根法"解不等式的注意事项是什么?
45.会用不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|证一些简单问题。
46.不等式恒成立问题有哪几种处理方式?
47.等差、等比数列的重要性质(等差m+n=p+q→_____ ;等比:m+n=p+q→ ______)。
48.用等比数列求前n项和时应注意什么?(q=1时,Sn= ______ ;q≠1时,Sn=______= _______。)
49.数列求和中的错位相减法,拆项叠加相消法掌握了吗?还有哪些求和方法?适应题型分别是什么?
50.由an=Sn-Sn-1,求数列通项时注意到n≥2了吗?
55.立体几何中平行、垂直关系证明的思路明确了吗?每种平行、垂直转换的条件是什么?线//线 线//面面//面,线⊥线线⊥面面⊥面。
56.作二面角的平面角的主要方法是什么?(定义法、三垂线定理、垂面法)
57.求线面角的关键是什么?(找直线的射影)范围是什么?异面直线所成的角如何求?范围是什么?
58.在用向量法求异面直线所成的角、线面角、二面角的平面角时,应注意什么问题?
59.线段的定比分点公式记住了吗?λ的取值与分点P和的位置有何关系?
60.平移公式记准了吗?平移前函数的解析式、平移向量、平移后函数解析式、三者知二求另一个。
61.函数按向量平移与平常"左加右减"有何联系?
62.向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊!
63.直线的斜率公式、点到直线的距离公式、到角公式、夹角公式记住了吗?
64.何为直线的方向向量?直线的方向向量与直线 斜率有何关系?
65.在用点斜式、斜截式求直线方程时,你是否注意到k不存在的情况?
66.直线和圆的位置关系利用什么方法判定?(圆心到直线的距离与圆的半径的比较)直线与圆锥曲线的位置关系怎样判断?
67.利用圆锥曲线第二定解题时,你是否注意到定义中的定比前后项的顺序?
68.用圆锥曲线方程与直线方程联立求解时,在得到的方程中你注意到Δ≥0这一条件了吗?圆锥曲线本身的范围你注意到了吗?
69.解析几何问题求解中,平面几何知识利用了吗?题目中是否已经有坐标系了,是否需要建直角坐标系?
70.截距是距离吗?"截距相等"意味着什么?
71.解析几何中的对称问题有哪几种?(中心对称、轴对称)分别如何求解?
72.弦长公式记住了吗?
73.圆锥曲线的焦半径公式分别是什么?如何应用?
74.换元的思想,逆求的思想,从特殊到一般的思想,方程的思想,整体的思想都做好准备了吗?
75.解应用题应注意的最基本要求是什么?(审题,找准题目中的关键词,设未知数,列出函数关系式,代入初始条件,注明单位,写好答语)
76.二项展开式的通项公式是什么?它的主要用途有哪些?二项式系数的相关结论有哪些?
77.隔板法还记得吗?哪些问题可用此法?
78.导数的定义还记得吗?它的几何意义和物理意义分别是什么?利用导数可以解决哪些问题?具体步骤还记得吗?
79.“函数在极值点处的导数值为零”是否会灵活应用?
80.常见的概率计算公式还记得吗?
81.数学期望与方差分别是什么?在频率分布直方图中如何求相应区间内的概率?
二十六、 基本知识篇
(十二)导数及应用
1.导数的定义:f(x)在点x0处的导数记作 ;
2.根据导数的定义,求函数的导数步骤为:(1)求函数的增量 (2)求平均变化率 ;(3)取极限,得导数 ;
3.导数的几何意义:曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是 相应地,切线方程是
4.常见函数的导数公式:
5.导数的应用:(1)利用导数判断函数的单调性:设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果 那么f(x)为增函数;如果 那么f(x)为减函数;如果在某个区间内恒有 那么f(x)为常数;
(2)求可导函数极值的步骤:①求导数 ;②求方程 的根;③检验 在方程 根的左右的符号,如果左正右负,那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值;如果左负右正,那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值;
(3)求可导函数最大值与最小值的步骤:①求y=f(x)在(a,b)内的极值;②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个是最小值。
二十七、 思想方法篇
(十)7.另外:还有数学归纳法、同一法、整体代换法等.