2020高考数学三轮冲刺 专题 椭圆练习（含解析） 19页

椭圆 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1. 已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点为C上一点，且轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）A 解：由题意可设，，，‎ 令，代入椭圆方程可得，‎ 可得，‎ 设直线AE的方程为，‎ 令，可得，令，可得，‎ 设OE的中点为H，可得，‎ 由B，H，M三点共线，可得，‎ 即为，‎ 化简可得，即为，‎ 可得．‎ 故选：A．‎ 由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为，分别令，，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．‎ 19‎ 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎2. 已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）A 解：的周长为，‎ 的周长，‎ ‎，‎ ‎，‎ 离心率为，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 椭圆C的方程为．‎ 故选：A．‎ 利用的周长为，求出，根据离心率为，可得，求出b，即可得出椭圆的方程．‎ 本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎3. 曲线的方程为 ，若直线l与曲线有公共点，则k的取值范围是 ‎ A. B. ‎ 19‎ C. D. ‎ ‎（正确答案）A 试题分析：方程 表示的是动点到点，的距离之和为2，即有P的轨迹为线段，‎ 直线l为恒过定点的直线，‎ ‎ ， ，‎ 直线l与曲线有公共点，等价为，即为 ．‎ ‎4. 若椭圆C：的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：依题意可知，而 ‎ 椭圆的离心率．‎ 故选：C．‎ 先根据题意可知，进而求得a和c的关系，离心率可得．‎ 本题主要考查了椭圆的简单性质属基础题．‎ ‎5. 已知中，A、B的坐标分别为和，若三角形的周长为10，则顶点C的轨迹方程是 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎（正确答案）B 解：，三角形的周长为10，，‎ 19‎ 根据椭圆的定义知，顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且，，‎ ‎，故椭圆的方程为，‎ 故选：B．‎ 根据三角形的周长及，可得，根据椭圆的定义知顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，待定系数法求椭圆的方程．‎ 本题考查根据椭圆的定义，用待定系数法求椭圆的标准方程的方法，属于基础题．‎ ‎6. 已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是，，在线段AB上有且只有一个点P满足，则椭圆的离心率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）A 解：依题意，作图如下 ‎，，，，‎ 直线AB的方程为：，整理得：，‎ 设直线AB上的点 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 令，‎ 19‎ 则，‎ 由得：，于是，‎ ‎，‎ 整理得：，又，，‎ ‎，‎ ‎，又椭圆的离心率，‎ ‎，‎ 椭圆的离心率为．‎ 故选A．‎ 由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB的方程，由，得，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案．‎ 本题考查椭圆的性质，考查向量的数量积，考查直线的方程，着重考查椭圆性质的应用，是重点更是难点，属于难题．‎ 19‎ ‎7. 过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：椭圆的焦点，可得，设椭圆的方程为：，‎ 可得：，，解得，，‎ 所求的椭圆方程为：．‎ 故选：C．‎ 求出椭圆的焦点坐标，设出方程利用椭圆经过的点，求解即可．‎ 本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，考查计算能力．‎ ‎8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作一条直线不与x轴垂直与椭圆交于A，B两点，如果恰好为等腰直角三角形，该直线的斜率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：可设，，‎ 若构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，‎ 则，，‎ 由椭圆的定义可得的周长为‎4a，‎ 即有，即，‎ ‎，‎ 则，‎ 在中，‎ 19‎ ‎，‎ 直线AB的斜率为，‎ 故选：C．‎ 假设构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，根据椭圆的定义及性质求得，，则直线AB的斜率为．‎ 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线斜率与倾斜角的关系，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎9. 椭圆与双曲线有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）D 解：椭圆的焦点坐标，离心率为：，‎ 双曲线的焦点，，双曲线的离心率为2．‎ 可知，则，‎ 双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为：．‎ 故选：D．‎ 求出椭圆的离心率，得到双曲线的离心率，求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，然后求解即可．‎ 本题考查椭圆的简单性质，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力 ‎10. 椭圆上的点到直线的距离的最小值为 ‎ A. B. C. 3 D. 6‎ ‎（正确答案）A 19‎ 解：椭圆，P为椭圆上一点，‎ 设，，，‎ 到直线的距离：‎ ‎，‎ 当且仅当时取得最小值．‎ 点P到直线的距离的最小值为．‎ 故选：A．‎ 设，，，求出P到直线的距离d，由此能求出点P到直线的距离的最小值．‎ 本题考查点到直线的距离公式的最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的合理运用．‎ ‎11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于A、B两点，若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）D 解：如图，设，，‎ 若构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，‎ 则，，‎ 由椭圆的定义可得的周长为‎4a，‎ 即有，即，‎ 则，‎ 19‎ 在直角三角形中，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，‎ 则，‎ ‎．‎ 故选：D．‎ 设，，若构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则，，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得，开方得答案．‎ 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用椭圆的定义是解题的关键，是中档题．‎ ‎12. 已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是，，在线段AB上有且只有一个点P满足，则椭圆的离心率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）D 解：依题意，作图如下： ‎ 由，，，，‎ 可得直线AB的方程为：，整理得：，‎ 设直线AB上的点，则，‎ ‎，‎ 19‎ 由，‎ ‎ ‎ ‎，‎ 令，‎ 则，‎ 由得：，于是，‎ ‎，‎ 整理得：，又，，‎ ‎，‎ ‎，又椭圆的离心率，‎ ‎，‎ 可得，‎ 故选：D．‎ 由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB的方程，由，得，运用导数求得极值点，结合椭圆的离心率公式，解方程即可求得答案．‎ 本题考查椭圆的性质，向量的数量积的坐标表示，考查直线的方程的运用，着重考查椭圆离心率，以及化简整理的运算能力，属于中档题．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ 19‎ ‎13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且，则该椭圆的离心率是______．‎ ‎（正确答案）‎ ‎【分析】‎ 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为，考查化简整理的运算能力，设右焦点，将代入椭圆方程求得B，C的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，结合离心率公式，计算即可得到所求值方法二、运用向量的数量积的性质，向量垂直的条件：数量积为0，结合离心率公式计算即可得到所求属于中档题．‎ ‎【解答】‎ 解：设右焦点，‎ 将代入椭圆方程可得，‎ 可得，，‎ 由，可得，‎ 即有，‎ 化简为，‎ 由，即有，‎ 由，可得，‎ 可得，‎ 19‎ 另解：设右焦点，‎ 将代入椭圆方程可得，‎ 可得，，‎ ‎，，‎ ‎，则十，‎ 因为，代入得，‎ 由，可得，‎ 可得．‎ 故答案为．‎ ‎14. 已知，为椭圆C的两个焦点，P为C上一点，若，，成等差数列，则C的离心率为______ ．‎ ‎（正确答案）‎ 解：，，成等差数列，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ 19‎ 根据等差中项的定义及椭圆的定义列方程即可得出离心率．‎ 本题考查了椭圆的定义，等差中项的性质，属于基础题．‎ ‎15. 椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，，右顶点为A，直线与交于点若，则C的离心率等于______ ．‎ ‎（正确答案）‎ 解：如图所示，设，由，得：，‎ 根据三角形相似得：，求得：，‎ 又直线的方程为 将点代入，得：，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ 19‎ 由，得：，根据三角形相似得：，则，代入即可求得e的值．‎ 本题考查椭圆的离心率，考查三角形的相似的性质，考查数形结合思想的应用，属于中档题．‎ ‎16. 已知椭圆经过点，且点A到椭圆两焦点的距离之和为4，则该椭圆的离心率 ______ ．‎ ‎（正确答案）‎ 解：根据题意，椭圆上A到椭圆两焦点的距离之和为4，则，即，‎ 又由椭圆经过点，则有，‎ 又由，解可得，‎ 则，‎ 则该椭圆的离心率；‎ 故答案为：．‎ 根据题意，由椭圆的定义分析可得，将点A的坐标代入椭圆方程可得，由a的值解可得b的值，计算可得c的值，由椭圆离心率公式计算可得答案．‎ 本题考查椭圆的几何性质，要掌握椭圆的定义以及离心率的计算公式．‎ 三、解答题（本大题共3小题，共30分）‎ ‎17. 已知椭圆E：的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为的直线交E于A，M两点，点N在E上，．‎ Ⅰ当，时，求的面积；‎ 19‎ Ⅱ当时，求k的取值范围．‎ ‎（正确答案）解：Ⅰ方法一、时，椭圆E的方程为，，‎ 直线AM的方程为，代入椭圆方程，整理可得，‎ 解得或，则，‎ 由，可得，‎ 由，，可得，‎ 整理可得，由无实根，可得，‎ 即有的面积为；‎ 方法二、由，可得M，N关于x轴对称，‎ 由可得直线AM的斜率为1，直线AM的方程为，‎ 代入椭圆方程，可得，‎ 解得或，，，‎ 则的面积为；‎ Ⅱ直线AM的方程为，代入椭圆方程，‎ 可得，‎ 解得或，‎ 即有，‎ 19‎ ‎，‎ 由，可得，‎ 整理得，‎ 由椭圆的焦点在x轴上，则，即有，即有，‎ 可得，即k的取值范围是．‎ Ⅰ方法一、求出时，椭圆方程和顶点A，设出直线AM的方程，代入椭圆方程，求交点M，运用弦长公式求得，由垂直的条件可得，再由，解得，运用三角形的面积公式可得的面积；‎ 方法二、运用椭圆的对称性，可得直线AM的斜率为1，求得AM的方程代入椭圆方程，解方程可得M，N的坐标，运用三角形的面积公式计算即可得到；‎ Ⅱ直线AM的方程为，代入椭圆方程，求得交点M，可得，，再由，求得t，再由椭圆的性质可得，解不等式即可得到所求范围．‎ 本题考查椭圆的方程的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，以及弦长公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎18. 设椭圆的左焦点为F，右顶点为A，离心率为已知A是抛物线的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．‎ 求椭圆的方程和抛物线的方程；‎ 设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点异于，直线BQ与x轴相交于点若的面积为，求直线AP的方程．‎ ‎（正确答案）Ⅰ解：设F的坐标为．‎ 19‎ 依题意可得，‎ 解得，，，于是．‎ 所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为．‎ Ⅱ解：直线l的方程为，设直线AP的方程为，‎ 联立方程组，解得点，故 联立方程组，消去x，整理得，解得，或．‎ 直线BQ的方程为，‎ 令，解得，故D．‎ ‎．‎ 又的面积为，，‎ 整理得，解得，．‎ 直线AP的方程为，或．‎ 根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；‎ 设AP方程为，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．‎ 19‎ 本题考查了椭圆与抛物线的定义与性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎19. 已知椭圆E：的离心率为，右焦点为．‎ 求椭圆的方程；‎ 设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若，求直线l的方程．‎ ‎（正确答案）解：依题意得，，；分 ‎ 解得，；‎ 椭圆E的标准方程为；分 ‎ 设，，‎ 当MN垂直于x轴时，MN的方程为，不符题意；分 ‎ 当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为；分 ‎ 由得：，分 ‎ ‎，；分 ‎ ‎；‎ 又，；‎ ‎，‎ 解得，分 ‎ 直线l的方程为：分 根据椭圆的几何性质，求出a、b的值即可；‎ 19‎ 讨论直线MN的斜率是否存在，设出MN的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合，求出直线的斜率k，即可求出直线l的方程．‎ 本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆的应用问题，考查了根与系数关系的应用问题，平面向量的应用问题，是综合题．‎ 19‎