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- 2021-05-14 发布
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惠州市2014届高三第一次调研考试
数学 (理科)参考答案与评分标准
一.选择题:共8小题,每小题5分,满分40分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
D
C
A
D
B
1.【解析】,故,故选C.
2.【解析】,所以点(位于第二象限.故选B.
3.【解析】∵,∴,∴.故选A.
4.【解析】圆的圆心为,半径为,因为直线,所以,设直线 的方程为,由题意得或.
所以,直线的方程或.故选D.
5. 【解析】对于平面、、和直线、,真命题是“若, 则”.故选C
6.【解析】不等式组表示的可行域如图所示,
故面积为.故选A.
7.【解析】设切点为,则 ①,
∵,又切线l过A、M两点,
∴则 ②
联立①、②可解得,从而实数的值为故选D.
8.【解析】从定义出发,抓住的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键,当同奇偶时,根据※=将12分拆两个同奇偶数的和,当一奇一偶时,根据※=将12分拆一个奇数与一个偶数的积,再算其组数即可.
若同奇偶,有,前面的每种可以交换位置,最后一种只有1个点,这时有;
若一奇一偶,有,每种可以交换位置,这时有;
∴共有个.故选B
二.填空题:共7小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.
9.94.5 10.35 11. (或) 12. 13.36 14. 15. 5
9.【解析】从茎叶图中可知14个数据排序为:79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114中位数为94与95的平均数94.5 .
10.【解析】.
11.【解析】直线与直线垂直得,.
12.【解析】
.
13.【解析】
14.【解析】由得圆为,圆的圆心直线的直角坐标方程为,所以点到直线的距离是.
15.【解析】连接,切圆于点,.又,是中点,.
三、解答题:
16. (本小题满分12分)
解(1)∵
………………………4分
∴的最大值为2, ………………………5分
最小正周期为 ………………………6分
(2)由(1)知,
所以,即 ………………………8分
又是第二象限的角,所以……10分
所以 ………12分
17(本小题满分12分)
解:(1)若在做义工的志愿者中随机抽取6名,则抽取比例为……………2分
∴ 年龄大于40岁的应该抽取人. ………………………4分
(2)在上述抽取的6名志愿者中任取2名,假设选到年龄大于40岁的人数为,
∵ 6名志愿者中有2人的年龄大于40岁,其余4人的年龄在20到40岁之间,
∴ 可能的取值为. ………………………5分
则,, ………8分
∴的分布列为
……………10分
∴ 的数学期望为 ……………12分
18(本小题满分14分)
解: (1)取的中点,连、
、
则面,的长就是所要求的距离.
………………………3分
、,
,在直角三角形中,有……6分
(另解:由
(2)连结并延长交于,连结、.
则就是所求二面角的平面角. ……………9分
作于,则
在直角三角形中,
在直角三角形中,……………12分
,故所求的正弦值是 ……………14分
方法二: (1)以为原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.
则有、、、……2分
设平面的法向量为
则由
由,……4分
则点到面的距离为……6分
(2) …………8分
设平面的法向量为则由知:
由知:取 ……………10分
由(1)知平面的法向量为 ……………11分
则<>. ……………13分
结合图形可知,二面角的正弦值是 ……………14分
19.(本小题满分14分)
解:(1)数列是等差数列且,. ①…………2分
成等比数列,即②………4分
由①,②解得或…………5分
………6分
(2)证明;由(1)可得, …………7分
所以. …………8分
所以
. …………10分
,. …………11分
,
数列是递增数列,. …………13分
. …………14分
20(本小题满分14分)
解:(1)设,
由题意,可得,即, ……………2分
整理得,得(舍)或,所以. ……………4分
(2)由(1)知,可得椭圆方程为.
直线方程为 ……………………………………………5分
两点的坐标满足方程组,消去y并整理得……6分
解得得方程组的解 ……………………8分
不妨设,设的坐标为则
, …………10分
由得.
于是 …………11分
由得,
化简得, ………………………………13分
将代入得,
由得.
因此,点的轨迹方程是. …………14分
21(本小题满分14分)
解:∵的解集为,
∴的解集为, ……………………1分
∴,且方程的两根为
即,∴ ……2分
(1)∵方程有两个相等的实根,即有两个相等的实根
∴,
∴或 …………3分
∵,∴, ∴ …………4分
(2)
∵,∴的最小值为, ……………………5分
则,,解得, …………7分
∵,∴ …………………………………………8分
(3)由,得 (※)
①当时,方程(※) 有一解,
函数有一零点; ………………………………9分
②当且时,方程(※)有二解, …………10分
i)若,,函数
有两个零点; …………11分
ii) 若,0<,函数有两个零点
; …………………………………………13分
③当时,方程(※)有一解,
, 函数有一零点. …………14分