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- 2021-05-14 发布
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高三文科数学专题复习之圆锥曲线
知识归纳:
名 称
椭圆
双曲线
图 象
定 义
平面内到两定点的距离的和为常数(大于)的动点的轨迹叫椭圆即
当2﹥2时,轨迹是椭圆,
当2=2时,轨迹是一条线段
当2﹤2时,轨迹不存在
平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数(小于)的动点的轨迹叫双曲线即
当2﹤2时,轨迹是双曲线
当2=2时,轨迹是两条射线
当2﹥2时,轨迹不存在
标准方 程
焦点在轴上时:
焦点在轴上时:
注:根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上
焦点在轴上时:
焦点在轴上时:
常数的关 系
,,
最大,
,
最大,可以
渐近线
焦点在轴上时:
焦点在轴上时:
抛物线:
图形
方程
焦点
准线
(一)椭圆
1. 椭圆的性质:由椭圆方程
(1)范围:,椭圆落在组成的矩形中。
(2)对称性:图象关于y轴对称。图象关于x轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心,简称中心。x轴、y轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围,对称的截距。
(3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
椭圆共有四个顶点:,。加两焦点共有六个特殊点。叫椭圆的长轴,叫椭圆的短轴。长分别为。分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。
(4)离心率:椭圆焦距与长轴长之比。。。
椭圆形状与的关系:,椭圆变圆,直至成为极限位置圆,此时也可认为圆为椭圆在时的特例。椭圆变扁,直至成为极限位置线段,此时也可认为是椭圆在时的特例。
2. 椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数,那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数就是离心率。
椭圆的第二定义与第一定义是等价的,它是椭圆两种不同的定义方式
3. 椭圆的准线方程
对于,左准线;右准线
对于,下准线;上准线
焦点到准线的距离(焦参数)
(二)双曲线的几何性质:
1. (1)范围、对称性
由标准方程,从横的方向来看,直线x=-a,x=a之间没有图象,从纵的方向来看,随着x的增大,y的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不封闭,但仍称其对称中心为双曲线的中心。
(2)顶点
顶点:,特殊点:
实轴:长为2a,a叫做实半轴长。虚轴:长为2b,b叫做虚半轴长。
双曲线只有两个顶点,而椭圆则有四个顶点,这是两者的又一差异。
(3)渐近线
过双曲线的渐近线()
(4)离心率
双曲线的焦距与实轴长的比,叫做双曲线的离心率 范围:e>1
双曲线形状与e的关系:,e越大,即渐近线的斜率的绝对值就越大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔。
2. 等轴双曲线
定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为:;(2)渐近线互相垂直;(3)离心率。
3. 共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为,那么此双曲线方程就一定是:或写成。
4. 共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴,这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别:三量a,b,c中a,b不同(互换)c相同。共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法:将1变为-1。
5. 双曲线的第二定义:到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线。其中,定点叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线。常数e是双曲线的离心率。
6. 双曲线的准线方程:
对于来说,相对于左焦点对应着左准线,相对于右焦点对应着右准线;
焦点到准线的距离(也叫焦参数)。
对于来说,相对于下焦点对应着下准线;相对于上焦点对应着上准线。
(三)抛物线的几何性质
(1)范围
因为p>0,由方程可知,这条抛物线上的点M的坐标(x,y)满足不等式x≥0,所以这条抛物线在y轴的右侧;当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
(2)对称性
以-y代y,方程不变,所以这条抛物线关于x轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
(3)顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程中,当y=0时,x=0,因此抛物线的顶点就是坐标原点。
(4)离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e表示。由抛物线的定义可知,e=1。
【典型例题】
例1. 根据下列条件,写出椭圆方程
(1)中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8;
(2)和椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点,且经过点(2,-3);
(3)中心在原点,焦点在x轴上,从一个焦点看短轴两端的视角为直角,焦点到长轴上较近顶点的距离是。
分析:求椭圆的标准方程,首先要根据焦点位置确定方程形式,其次是根据a2=b2+c2及已知条件确定a2、b2的值进而写出标准方程。
解:(1)焦点位置可在x轴上,也可在y轴上
因此有两解:
(2)焦点位置确定,且为(0,),设原方程为,(a>b>0),由已知条件有,故方程为。
(3)设椭圆方程为,(a>b>0)
由题设条件有及a2=b2+c2,解得b=
故所求椭圆的方程是。
例2. 直线与双曲线相交于A、B两点,当为何值时,A、B在双曲线的同一支上?当为何值时,A、B分别在双曲线的两支上?
解:把代入
整理得:……(1)
当时,
由>0得且时,方程组有两解,直线与双曲线有两个交点
若A、B在双曲线的同一支,须>0,所以或。
故当或时,A、B两点在同一支上;当时,A、B两点在双曲线的两支上。
例3. 已知抛物线方程为(p>0),直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3,求p的值。
解:设与抛物线交于
由距离公式|AB|=
则有
由
从而
即
由于p>0,解得
例4. 过点(1,0)的直线l与中心在原点,焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点,直线y=x过线段AB的中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称,试求直线l与椭圆C的方程.
解法一:由e=,得,从而a2=2b2,c=b.
设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.
则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得,
(x12-x22)+2(y12-y22)=0,
设AB中点为(x0,y0),则kAB=-,
又(x0,y0)在直线y=x上,y0=x0,
于是-=-1,kAB=-1,
设l的方程为y=-x+1.
右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),
由点(1,1-b)在椭圆上,得1+2(1-b)2=2b2,b2=.
∴所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=-x+1.
解法二:由e=,从而a2=2b2,c=b.
设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x-1),
将l的方程代入C的方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2b2=0,
则x1+x2=,y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=-.
直线l:y=x过AB的中点(),则,
解得k=0,或k=-1.
若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身,不能在椭圆C上,所以k=0舍去,从而k=-1,直线l的方程为y=-(x-1),即y=-x+1,以下同解法一.
解法3:设椭圆方程为
直线不平行于y轴,否则AB中点在x轴上与直线中点矛盾。
故可设直线
,
,,,
,,
,,
,,,
,,
则,
,,
,
所以所求的椭圆方程为:
例5. 如图,已知△P1OP2的面积为,P为线段P1P2的一个三等分点,求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程.
解:以O为原点,∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.
设双曲线方程为=1(a>0,b>0)
由e2=,得.
∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=-x
设点P1(x1, x1),P2(x2,-x2)(x1>0,x2>0),
则由点P分所成的比λ==2,
得P点坐标为(),
又点P在双曲线=1上,
所以=1,
即(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ①
即x1x2= ②
由①、②得a2=4,b2=9
故双曲线方程为=1.
例6. 已知点B(-1,0),C(1,0),P是平面上一动点,且满足
(1)求点P的轨迹C对应的方程;
(2)已知点A(m,2)在曲线C上,过点A作曲线C的两条弦AD和AE,且AD⊥AE,判断:直线DE是否过定点?试证明你的结论.
(3)已知点A(m,2)在曲线C上,过点A作曲线C的两条弦AD,AE,且AD,AE的斜率k1、k2满足k1·k2=2.求证:直线DE过定点,并求出这个定点.
解:(1)设
【模拟试题】(答题时间:50分钟)
一、 选择题
1. 是任意实数,则方程所表示的曲线不可能是( )
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆
2. 已知椭的一条准线方程是,则实数的值是( )
A. 7或-7 B. 4或12 C. 1或15 D. 0
3. 双曲线的离心率,则的取值范围为( )
A. B. (-12,0) C. (-3,0) D. (-60,-12)
4. 以的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )
A. B.
C. D.
5. 抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
6. 已知点A(-2,1),的焦点为F,P是的点,为使取得最小值,点的坐标是( )
A. B. C. D.
7. 已知双曲线的渐近线方程为,一条准线方程为,则双曲线方程为( )
A. B.
C. D.
8. 抛物线到直线距离最近的点的坐标为( )
A. B. C. D.
9. 动圆的圆心在抛物线上,且动圆与直线相切,则动圆必过定点( )
A. (4,0) B. (2,0) C. (0,2) D. (0,-2)
10.中心在原点,焦点在坐标为(0,±5)的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为,则椭圆方程为( )
二、填空题
11. 到定点(2,0)的距离与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程为______________。
12.双曲线的一条准线是,则___________。
13. 已知点(-2,3)与抛物线的焦点距离是5,____________。
14.直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P,若过点P且以双曲线12x2-4y2=3的焦点作椭圆的焦点,那么具有最短长轴的椭圆方程为________________。
三、解答题
15. 已知双曲线的中心在原点,过右焦点F(2,0)作斜率为的直线,交双曲线于M、N 两点,且=4,求双曲线方程。
16. 过椭圆的左焦点作直线交椭圆于、,为右焦点。
求:的最值
17. 已知椭圆的一个焦点为,对应的准线方程为,且离心率满足, 成等比数列。
(1)求椭圆的方程。
(2)试问是否存在直线,使与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN恰被直线平分?若存在,求出的倾角的取值范围,若不存在,请说明理由。
18. 如图所示,抛物线y2=4x的顶点为O,点A的坐标为(5,0),倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点,求△AMN面积最大时直线l的方程,并求△AMN的最大面积.
【试题答案】
1. C 2. C 3. B 4. A 5. B
6. A 7. A 8. B 9. B 10.C
11.
12. - 13. 4 14. =1
15. 解:设所求双曲线方程为(a>0,b>0),由右焦点为(2,0)。知c=2,b2=4-a2
则双曲线方程为,设直线MN的方程为:,代入双曲线方程整理得:(20-8a2)x2+12a2x+5a4-32a2=0
设M(x1,y1),N(x2,y2),则
解得:,
故所求双曲线方程为:
16. 解:直线:为参数
、为与椭圆的交点
∴
∴
∴ 时时
17. 解:(1)依题意,成等比数列,
可得
设P()是椭圆上任一点
依椭圆的定义得
化简得
即为所求的椭圆方程
(2)假设存在
因与直线相交,不可能垂直轴
所以设的方程为:
由
消去得,
有两个不等实根
设两交点M、N的坐标分别为
线段MN恰被直线平分
即
代入得
直线倾角的范围为
解:由题意,可设l的方程为y=x+m,-5<m<0.
由方程组,消去y,得x2+(2m-4)x+m2=0……………①
∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N,
∴方程①的判别式Δ=(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0,
解得m<1,又-5<m<0,∴m的范围为(-5,0)
设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4-2m,x1·x2=m2,
∴|MN|=4.
点A到直线l的距离为d=.
∴S△=2(5+m),从而S△2=4(1-m)(5+m)2
=2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128.
∴S△≤8,当且仅当2-2m=5+m,即m=-1时取等号.
故直线l的方程为y=x-1,△AMN的最大面积为8.