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  • 2021-05-14 发布

江苏高考数学试题及答案解析

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‎2018年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)‎ 数学Ⅰ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.已知集合,,那么 .‎ ‎2.若复数满足,其中i是虚数单位,则的实部为 .‎ ‎3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 .‎ ‎4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的的值为 .‎ ‎5.函数的定义域为 .‎ ‎6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 ‎ .‎ ‎7.已知函数的图象关于直线对称,则的值是 .‎ 牛人数学助力高考数学 ‎8.在平面直角坐标系中,若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为,则其离心率的值是 .‎ ‎9.函数满足,且在区间上,, 则的值为 .‎ ‎10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .‎ ‎11.若函数在内有且只有一个零点,则在上的最大值与最小值的和为 .‎ ‎12.在平面直角坐标系中,为直线上在第一象限内的点,,以为直径的圆与直线交于另一点.若,则点的横坐标为 .‎ ‎13.在中,角所对的边分别为,,的平分线交于点,且,则的最小值为 .‎ ‎14.已知集合,.将 牛人数学助力高考数学 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列,记为数列的前项和,则使得成立的的最小值为 .‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.(本小题满分14分)‎ 在平行六面体中,.‎ 求证:(1);‎ ‎(2).‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 已知为锐角,,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的值.‎ 牛人数学助力高考数学 ‎17.(本小题满分14分)‎ 某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为,要求均在线段上,均在圆弧上.设OC与MN所成的角为.‎ ‎(1)用分别表示矩形和的面积,并确定的取值范围;‎ ‎(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为.求当为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.‎ ‎18.(本小题满分16分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,椭圆C过点,焦点,圆O的直径为.‎ ‎(1)求椭圆C及圆O的方程;‎ ‎(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.‎ ‎①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;‎ ‎②直线l与椭圆C交于两点.若的面积为,求直线l的方程.‎ 牛人数学助力高考数学 ‎19.(本小题满分16分)‎ 记分别为函数的导函数.若存在,满足且,则称为函数与的一个“S点”.‎ ‎(1)证明:函数与不存在“S点”;‎ ‎(2)若函数与存在“S点”,求实数a的值;‎ ‎(3)已知函数,.对任意,判断是否存在,使函数与在区间内存在“S点”,并说明理由.‎ ‎20.(本小题满分16分)‎ 设是首项为,公差为d的等差数列,是首项为,公比为q的等比数列.‎ ‎(1)设,若对均成立,求d的取值范围;‎ ‎(2)若,证明:存在,使得对均成立,并求的取值范围(用表示).‎ 牛人数学助力高考数学 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A.[选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)‎ 如图,圆O的半径为2,AB为圆O的直径,P为AB延长线上一点,过P作圆O的切线,切点为C.若,求 BC 的长.‎ B.[选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分)‎ 已知矩阵.‎ ‎(1)求的逆矩阵;‎ ‎(2)若点P在矩阵对应的变换作用下得到点,求点P的坐标.‎ C.[选修4—4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)‎ 在极坐标系中,直线l的方程为,曲线C的方程为,求直线l被曲线C截得的弦长.‎ D.[选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分)‎ 若x,y,z为实数,且x+2y+2z=6,求的最小值.‎ 牛人数学助力高考数学 ‎【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.学科#网 ‎22.(本小题满分10分)‎ 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点.‎ ‎(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;‎ ‎(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.‎ 牛人数学助力高考数学 ‎23.(本小题满分10分)‎ 设,对1,2,···,n的一个排列,如果当s0),‎ 则年总产值为4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ–sinθcosθ)‎ ‎=8000k(sinθcosθ+cosθ),θ∈[θ0,).‎ 设f(θ)= sinθcosθ+cosθ,θ∈[θ0,),‎ 则.‎ 令,得θ=,‎ 当θ∈(θ0,)时,,所以f(θ)为增函数;‎ 牛人数学助力高考数学 当θ∈(,)时,,所以f(θ)为减函数,‎ 因此,当θ=时,f(θ)取到最大值.‎ 答:当θ=时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.‎ ‎18.本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识,考查分析问题能力和运算求解能力.满分16分.‎ 解:(1)因为椭圆C的焦点为,‎ 可设椭圆C的方程为.又点在椭圆C上,‎ 所以,解得 因此,椭圆C的方程为.‎ 因为圆O的直径为,所以其方程为.‎ ‎(2)①设直线l与圆O相切于,则,‎ 所以直线l的方程为,即.‎ 由,消去y,得 ‎.(*)‎ 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,‎ 所以.‎ 因为,所以.‎ 因此,点P的坐标为.‎ ‎②因为三角形OAB的面积为,所以,从而.‎ 设,‎ 牛人数学助力高考数学 由(*)得,‎ 所以 ‎.‎ 因为,‎ 所以,即,‎ 解得舍去),则,因此P的坐标为.‎ 综上,直线l的方程为.‎ ‎19.本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分.‎ 解:(1)函数f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,则f′(x)=1,g′(x)=2x+2.‎ 由f(x)=g(x)且f′(x)= g′(x),得 ‎,此方程组无解,‎ 因此,f(x)与g(x)不存在“S”点.‎ ‎(2)函数,,‎ 则.‎ 设x0为f(x)与g(x)的“S”点,由f(x0)与g(x0)且f′(x0)与g′(x0),得 牛人数学助力高考数学 ‎,即,(*)‎ 得,即,则.‎ 当时,满足方程组(*),即为f(x)与g(x)的“S”点.‎ 因此,a的值为.‎ ‎(3)对任意a>0,设.‎ 因为,且h(x)的图象是不间断的,‎ 所以存在∈(0,1),使得,令,则b>0.‎ 函数,‎ 则.‎ 由f(x)与g(x)且f′(x)与g′(x),得 ‎,即(**)‎ 此时,满足方程组(**),即是函数f(x)与g(x)在区间(0,1)内的一个“S点”.‎ 因此,对任意a>0,存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.‎ ‎20.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分16分.‎ 解:(1)由条件知:.‎ 因为对n=1,2,3,4均成立,‎ 即对n=1,2,3,4均成立,‎ 即11,1d3,32d5,73d9,得.‎ 牛人数学助力高考数学 因此,d的取值范围为.‎ ‎(2)由条件知:.‎ 若存在d,使得(n=2,3,···,m+1)成立,‎ 即,‎ 即当时,d满足. 因为,则,‎ 从而,,对均成立.‎ 因此,取d=0时,对均成立.‎ 下面讨论数列的最大值和数列的最小值().‎ ‎①当时,, 当时,有,从而.‎ 因此,当时,数列单调递增,‎ 故数列的最大值为.‎ ‎②设,当x>0时,,‎ 所以单调递减,从而