全国高考理科数学试题及答案全国卷III 9页

www.ks5u.com ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷3）‎ 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则中元素的个数为 A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎2．设复数满足，则 A． B． C． D．2‎ ‎3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．‎ 根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 ‎4．的展开式中的系数为（）‎ A．-80 B．-40 C．40 D．80‎ ‎5．已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点．则的方程为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设函数，则下列结论错误的是（）‎ A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称 C．的一个零点为 D．在单调递减 ‎7．执行右图的程序框图，为使输出的值小于91，则输入的正整数的最小值为 A．5‎ B．4‎ C．3‎ D．2‎ ‎8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则前6项的和为 A．-24 B．-3 C．3 D．8‎ ‎10．已知椭圆（）的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数有唯一零点，则（）‎ A． B． C． D．1‎ ‎12．在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为 A．3 B． C． D．2‎ 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若满足约束条件则的最小值为________．‎ ‎14．设等比数列满足，则________．‎ ‎15．设函数则满足的的取值范围是________．‎ ‎16．为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：‎ ‎①当直线与成角时，与成角；‎ ‎②当直线与成角时，与成角；‎ ‎③直线与所成角的最小值为；‎ ‎④直线与所成角的最大值为．‎ 其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）‎ 三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（12分）‎ 的内角的对边分别为，已知 ‎（1）求；‎ ‎（2）设为边上一点，且，求的面积．‎ ‎18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．‎ ‎（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；‎ ‎（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？‎ ‎19．（12分）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形．，．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）过的平面交于点，若平面把四面体 分成体积相等的两部分．求二面角的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知抛物线，过点（2，0）的直线交于，两点，圆是以线段为直径的圆．‎ ‎（1）证明：坐标原点在圆上；‎ ‎（2）设圆过点（4，），求直线与圆的方程．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．‎ ‎（1）写出的普通方程：‎ ‎（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设：，为与的交点，求的极径．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集非空，求的取值范围．‎ www.ks5u.com ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国3）‎ 理科数学参考答案 一、选择题 ‎1．B 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D ‎7．D 8．B 9．A 10．A 11．C 12．A 二、填空题 ‎13． 14． 15． 16．②③‎ 三、解答题 ‎17．解：‎ ‎（1）由已知可得，所以 在中，由余弦定理得，即 解得（舍去），‎ ‎（2）由题设可得，所以 故面积与面积的比值为 又的面积为，所以的面积为 ‎18．解：‎ ‎（1）由题意知，所有可能取值为200,300,500，由表格数据知 ‎，，.‎ 因此的分布列为：‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎500‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200500‎ 当时，‎ 若最高气温不低于25，则；‎ 若最高气温位于区间[20,25），则；‎ 若最高气温低于20，则 因此 当时，‎ 若最高气温不低于20，则；‎ 若最高气温低于20，则 因此 所以时，的数学期望达到最大值，最大值为520元。‎ ‎19．解：‎ ‎（1）由题设可得，，从而 又是直角三角形，所以 取的中点，连结，‎ 则 又由于是正三角形，故 所以为二面角的平面角 在中，‎ 又，所以 ‎，故 所以平面平面 ‎（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则 由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为到平面的距离的，即为的中点，得，故 设是平面的法向量，则同理可取 则 所以二面角的余弦值为 ‎20．解：‎ ‎（1）设 由可得，则 又，故 因此的斜率与的斜率之积为，所以 故坐标原点在圆上 ‎（2）由（1）可得 故圆心的坐标为，圆的半径 由于圆过点，因此，‎ 故，‎ 即 由（1）可得 所以，解得或 当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为 当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为 ‎21．解：‎ ‎（1）的定义域为 ‎① 若，因为，所以不满足题意；‎ ‎② 若，由知，当时，；当时，。所以在单调递减，在单调递增。故是在的唯一最小值点。‎ 由于，所以当且仅当时，‎ 故 ‎（2）由（1）知当时，‎ 令，得，从而 故 而，所以的最小值为3‎ ‎22．解：‎ ‎（1）消去参数得的普通方程；消去参数得的普通方程 设，由题设得消去得 所以的普通方程为 ‎（2）的极坐标方程为 联立得 故，从而 代入得，所以交点的极径为 ‎23．解：‎ ‎（1）‎ 当时，无解；‎ 当时，由得，，解得；‎ 当时，由解得 所以的解集为 ‎（2）由得，而 且当时，‎ 故的取值范围为