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  • 2021-05-14 发布

全国高考理科数学试题及答案四川卷

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‎2012年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)‎ 数 学(理工类)‎ 参考公式:‎ 如果事件互斥,那么 球的表面积公式 ‎ ‎ 如果事件相互独立,那么 其中表示球的半径 ‎ 球的体积公式 如果事件在一次试验中发生的概率是,那么 ‎ 在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径 第一部分 (选择题 共60分)‎ 注意事项:‎ ‎1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。‎ ‎2、本部分共12小题,每小题5分,共60分。‎ 一、选择题:每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1、的展开式中的系数是( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎2、复数( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎3、函数在处的极限是( )‎ A、不存在 B、等于 C、等于 D、等于 ‎4、如图,正方形的边长为,延长至,使,连接、,则( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎5、函数的图象可能是( )‎ ‎ ‎ ‎ A B C D ‎6、下列命题正确的是( )‎ A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 ‎7、设、都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是( )‎ A、 B、 C、 D、且 ‎8、已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为,则( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗原料‎1千克、原料‎2千克;生产乙产品1桶需耗原料‎2千克,原料‎1千克。每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗、原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( )‎ A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元 ‎10、如图,半径为的半球的底面圆在平面内,过点作平面的垂线交半球面于点,过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交,所得交线上到平面的距离最大的点为,该交线上的一点满足,则、两点间的球面距离为( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎11、方程中的,且互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( )‎ A、60条 B、62条 C、71条 D、80条 ‎12、设函数,是公差为的等差数列,,则( )‎ A、 B、 C、 D、‎ 第二部分 (非选择题 共90分)‎ 注意事项:‎ ‎(1)必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答,作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。‎ ‎(2)本部分共10个小题,共90分。‎ 二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。)‎ ‎13、设全集,集合,,则___________。‎ ‎14、如图,在正方体中,、分别是、的中点,则异面直线与所成角的大小是____________。‎ ‎15、椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,当的周长最大时,的面积是____________。‎ ‎16、记为不超过实数的最大整数,例如,,,。设为正整数,数列满足,,现有下列命题:‎ ‎①当时,数列的前3项依次为5,3,2;‎ ‎②对数列都存在正整数,当时总有;‎ ‎③当时,;‎ ‎④对某个正整数,若,则。‎ 其中的真命题有____________。(写出所有真命题的编号)‎ 三、解答题(本大题共6个小题,共74分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。)‎ ‎17、(本小题满分12分) ‎ ‎ 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)和,系统和在任意时刻发生 故障的概率分别为和。‎ ‎(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求的值;‎ ‎(Ⅱ)设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量,求的概率分布列及数学期望。‎ ‎18、(本小题满分12分) ‎ ‎ 函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形。‎ ‎(Ⅰ)求的值及函数的值域;‎ ‎(Ⅱ)若,且,求的值。‎ ‎19、(本小题满分12分) ‎ ‎ 如图,在三棱锥中,,,,平面平面。‎ ‎(Ⅰ)求直线与平面所成角的大小;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的大小。‎ ‎20、(本小题满分12分) 已知数列的前项和为,且对一切正整数都成立。‎ ‎(Ⅰ)求,的值;‎ ‎(Ⅱ)设,数列的前项和为,当为何值时,最大?并求出的最大值。‎ ‎21、(本小题满分12分) ‎ ‎ 如图,动点到两定点、构成,且,设动点的轨迹为。‎ ‎(Ⅰ)求轨迹的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线与轴交于点,与轨迹相交于点,且,求的取值范围。‎ ‎ 22、(本小题满分14分)‎ ‎ 已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。‎ ‎(Ⅰ)用和表示;‎ ‎(Ⅱ)求对所有都有成立的的最小值;‎ ‎(Ⅲ)当时,比较与的大小,并说明理由。‎ 参考答案 一、选择题:本题考查基本概念和基本运算。每小题5分,满分60分。‎ ‎1. D 2. B 3. A 4. B 5. D 6. C ‎7. C 8. B 9. C 10. A 11. B 12. D 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算。每小题4分,满分16分。‎ ‎13. ‎ ‎14. ‎ ‎15. 3‎ ‎16. ①③④‎ 三、解答题 ‎17. 本小题主要考查相互独立事件、独立重复实验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力。‎ 解:(I)设“至少有一个系统不发生故障”为事件,那么 解得…………………………………………………………………………4分 ‎(II)由题意,‎ 所以,随机变量的概率分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 故随机变量的数学期望:‎ ‎…………………………..12分 ‎18‎ ‎.本小题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查数形结合、化归与转化等数学思想。‎ 解:(I)由已知可得,‎ 又正三角形的高为,从而 所以函数的周期,即 函数的值域为………………………………………………..6分 ‎(II)因为,由(I)有 ‎,即 由,知 所以 故 ‎……………………………………………………………………………………12分 ‎19. 本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查思维能力、空间想象能力,并考查应用向量知识解决数学问题的能力。‎ 解法一:‎ ‎(I)设的中点为,的中点为,连接,‎ 由已知,为等边三角形,‎ 所以 又平面平面,平面平面,‎ 所以平面 所以为直线与平面所成的角 不妨设,则 在中,‎ 所以,在中,‎ 故直线与平面所成的角的大小为………………………….6分 ‎(II)过作于,连接 由已知可得,平面 根据三垂线定理知,‎ 所以为二面角的平面角 由(I)知,‎ 在中,‎ 故二面角的大小为…………………………………………12分 解法二:‎ ‎(I)设AB的中点为D,作于点,连结CD 因为平面平面,平面平面=,‎ 所以平面 所以 由,知 设E为AC中点,则,从而 如图,以为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,不妨设,由已知可得,‎ 所以 所以,而为平面的一个法向量 设为直线与平面所成的角,‎ 则 故直线与平面所成的角的大小为…………………………….6分 ‎(II)由(I)有,‎ 设平面的一个法向量为,则 从而 取,则,所以 设二面角的平面角为,易知为锐角 而面的一个法向量为,则 故二面角的大小为………………………………………….12分 ‎20. 本小题主要考查等比数列、等差数列、对数等基础只是,考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力,考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想 解:‎ ‎(I)取,得 ①‎ 取,得 ②‎ 由②①,得 ③‎ ‎(1)若,由①知 ‎(2)若,由③知 ④‎ 由①、④解得,;或 综上可得,;或;或……5分 ‎(II)当时,由(I)知 当时,有,‎ 所以,即,‎ 所以 令,则 所以数列是单调递减的等差数列(公差为),从而 当时,,‎ 故时,取得最大值,且的最大值为 ‎……………………………………….12分 ‎21. 本小题主要考查直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考查思维能力、运算能力,考查函数、分类与整合等数学思想,并考查思维的严谨性。‎ 解:‎ ‎(I)设M的坐标为,显然有,且 当时,点的坐标为 当时,,由,有 ‎,即 化简可得,‎ 而点在曲线上 综上可知,轨迹的方程为…………………………………5分 ‎(II)由消去,可得 ‎ (*)‎ 由题意,方程(*)有两根且均在内,设 所以 解得,,且 设的坐标分别为,由有 所以 由,且,有 且 所以的取值范围是………………………………………..12分 ‎22. 本小题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识,考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识,考查函数、转化与化归、特殊与一般等数学思想方法。‎ 解:‎ ‎(I)由已知得,交点的坐标为,对求导得,则抛物线在点处的切线方程为,即,则……………3分 ‎(II)由(I)知,则成立的充要条件是 即知,对所有成立,特别地,取得到 当,时,‎ 当时,显然 故时,对所有自然数都成立 所以满足条件的的最小值为…………………………………………………..8分 ‎(III)由(I)知,则 下面证明:‎ 首先证明:当时,‎ 设函数 则 当时,;当时,‎ 故在区间上的最小值 所以,当时,,即得 由知,因此,从而 ‎…………………………………………………14分