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- 2021-05-14 发布
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2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共23题,共150分,共4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘
贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签
字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写
的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.
A. B. C. D.
2. 设集合,,若,则
A. B. . C. D.
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯
A.1盏 B.3盏
C.5盏 D.9盏
4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为
A.
B.
C.
D.
5.设满足约束条件 则的最小值是
A. B. C. D.
6.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有
A.12种 B.18种 C. 24种 D.36种
理科数学试题 第1页(共4页)
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则
A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩
8.执行右面的程序框图,如果输入的,则输出的
A.2
B.3
C.4
D.5
9.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为,则的离心率为
A. B. C. D.
10.已知直三棱柱中,, , , 则异面直线与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
11.若是函数的极值点,则的极小值为
A. B. C. D.
12.已知是边长为的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.一批产品的二等品率为,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取
次,表示抽到二等品件数,则 .
14.函数的最大值是 .
15.等差数列的前项和为,,,则 .
16.已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点.若为的中点,则 .
理科数学试题 第2页(共4页)
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必
考题,每个试题考生都必须作答。第22/23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
的内角的对边分别为,已知.
(1)求;
(2)若,的面积为,求.
18.(12分)
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖
方法有关;
箱产量<50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确
到0.01).
附:
.
理科数学试题 第3页(共4页)
19.(12分)
如图,四棱锥中,侧面为等边三角形且垂直于地面,,,是的中点.
(1)证明:直线;
(2)点在棱上,且直线与底面所成角为,求二面角的余弦值.
20.(12分)
设为坐标原点,动点在椭圆上,过作轴的垂线,垂足为,点满足.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设点在直线上,且. 证明:过点且垂直于的直线过的左焦点.
21.(12分)
已知函数,且.
(1)求;
(2)证明:存在唯一的极大值点,且.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做则按所做的第一题计分。
22.[选修:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,以坐标原点为极点,正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为.
(1) 为曲线上的动点,点在线段上,且满足,求点 的轨迹的直角坐标方程;
(2)设点的极坐标为,点在曲线上,求面积的最大值.
23.[选修:不等式选讲](10分)
已知.证明:
(1);
(2).
理科数学试题 第4页(共4页)
参考答案
一、选择题
1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D
7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B
二、填空题
13. 1.96 14. 1 15. 16. 6
三、解答题
17.(1)由得,即,
,得,则有.
(2)由(1)可知,则,得,
又,则.
18.(1)旧养殖法箱产量低于50kg的频率为
,
新养殖法箱产量不低于50kg的频率为
,
而两种箱产量相互独立,则.
(2)由频率分布直方图可得列联表
箱产量<50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
则,
所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
(3)新养殖法箱产量低于50kg的面积为,
产量低于55kg的面积为,
所以新养殖法箱产量的中位数估计值为(kg).
19.(1)取中点,连结.因为为中点,则.而由题可知,则,即四边形为平行四边形,所以.又,故.
(2)因为,则以为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示.
取,设则得,,则,,可得点,所以.
取底面的法向量为,则,解得,则.因为,设面的法向量为,由得,取得,
则.故二面角的余弦值为.
20.(1)设,则,将点代入中得,所以点的轨迹方程为.
(2)由题可知,设,则,
.由得,由(1)有,则有,所以,即过点
且垂直于的直线过的左焦点.
21.(1)的定义域为,则等价于.
设,则.由题可知,则由解得,所以为上的增函数,为上的减函数.则有
,解得.
(2)由(1)可知,则.
设,则.由解得,所以为 上的增函数,为上的减函数.又因为,则在上存在唯一零点使得,即,且为,上的增函数,为上的减函数,则极大值为.
而,所以.
综上,.
22.(1)设极坐标为,极坐标为.则,
.由得的极坐标方程为.所以 的直角坐标方程为.
(2)设极标为,由题可知,则有
.
即当时,面积的最大值为.
23.(1)
(2)因为
,
所以,解得.