河南高考理科数学试题 12页

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项：‎ ‎ 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.‎ ‎ 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.‎ ‎ 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. ‎ ‎ 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ （1） 设复数z满足＝i，则|z|＝‎ ‎(A)1 (B) (C) (D)2‎ ‎(2)sin20°cos10°－con160°sin10°＝‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎(3)设命题P：nN，>，则P为 ‎ (A)nN， > (B) nN， ≤‎ ‎ (C)nN， ≤ (D) nN， ＝‎ ‎ (4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ‎ (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312‎ ‎ (5)已知M(x0，y0)是双曲线C： 上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是 ‎ (A)(－，) (B)(－，)‎ ‎(C)(，) (D)(，)‎ ‎(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 ‎ (A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛 ‎(7)设D为ABC所在平面内一点，则 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎(8)函数f(x)＝的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为 ‎(A)()，k (b)()，k ‎(C)()，k (D)()，k ‎(9)执行右面的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝‎ ‎(A)5 (B)6 (C)7 (D)8‎ ‎ ‎ ‎2r r 正视图 正视图 俯视图 r ‎2r （10） 的展开式中，的系数为 ‎(A)10 (B)20 (C)30 (D)60‎ （11） 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，‎ （12） 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 （13） 表面积为16 ＋ 20，则r＝‎ ‎(A)1‎ ‎(B)2‎ ‎(C)4‎ ‎(D)8‎ ‎12.设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a1，若存在唯一的 整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是( )‎ A.[，1) B. [) C. [) D. [，1)‎ 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 ‎(13)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝ ‎ ‎(14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 .‎ ‎(15)若x，y满足约束条件，则的最大值为 .‎ ‎(16)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是 . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎(17)(本小题满分12分)‎ ‎ Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0， ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式：‎ A B C F E D ‎(Ⅱ)设 ，求数列}的前n项和 ‎(18)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，‎ E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，‎ DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.‎ ‎(1)证明：平面AEC⊥平面AFC ‎(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值 ‎(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.‎ 年销售量/t 年宣传费(千元)‎ ‎(x1－)2‎ ‎(w1－)2‎ ‎(x1－)(y－)‎ ‎(w1－)(y－)‎ ‎46.6‎ ‎56.3‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1469‎ ‎108.8‎ 表中w1 ＝1， ， ＝‎ ‎(Ⅰ)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)‎ ‎(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；‎ ‎(Ⅲ)以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z＝0.2y－x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：‎ （i） 年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？‎ （ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？‎ 附：对于一组数据(u1 v1)，(u2 v2)…….. (un vn)，其回归线v＝u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：‎ ‎(20)(本小题满分12分)‎ 在直角坐标系xoy中，曲线C：y＝与直线y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，‎ ‎(Ⅰ)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ 已知函数f(x)＝ ‎ ‎(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线 的切线；‎ ‎(Ⅱ)用 表示m，n中的最小值，设函数 ，讨论h(x)零点的个数 C D A E B O 请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎(22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲 如图，AB是☉O的直径，AC是☉O的切线，BC交☉O于点E ‎ ‎ （I） 若D为AC的中点，证明：DE是☉O的切线；‎ （II） 若OA＝CE，求∠ACB的大小. ‎ ‎(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中.直线:x＝－2，圆：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ （I） 求，的极坐标方程；‎ （II） 若直线的极坐标方程为，设与的交点为， ，求△C2MN的面积 ‎ ‎(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 ‎ 已知函数＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.‎ ‎(Ⅰ)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎(Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围 ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题答案 选择题答案 一、 选择题 ‎（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B ‎（7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D A、B卷非选择题答案 二、填空题 ‎ ‎（13）1 （14） （15）3 （16）‎ 二、 解答题 ‎（17）解：‎ ‎（I）由，可知 可得 即 由于可得 又，解得 所以是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为 ‎（II）由 设数列的前n项和为，则 ‎（18）解：‎ ‎（I）连结BD，设BDAC=G，连结EG，FG，EF.‎ 在菱形ABCD中不妨设GB=1.由ABC=120°，‎ 可得AG=GC=.由 BE平面ABCD, AB=BC可知AE=EC.‎ 又AEEC，所以EG=，且EGAC.在RtEBG中，‎ 可得BE=故DF=.在RtFDG中，可得FG=.‎ 在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=，‎ 可得FE=.从而 又因为 所以平面 （I） 如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC的方向为x轴，y轴正方向，‎ 为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz. ‎ 由（I）可得所以 故 所以直线AE与直线CF所成直角的余弦值为.‎ ‎（19）解：‎ ‎ （I）由散点图可以判断，适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型。 ……2分 ‎ （II）令，先建立y关于w的线性回归方程。由于 ‎ ‎ ‎。‎ 所以y关于w的线性回归方程为，因此y关于x的回归方程为。 ……6分 ‎ （III）（i）由（II）知，当x=49时，年销售量y的预报值 年利润z的预报值 ‎。 ……9分 ‎ （ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值 ‎ 所以当，即x=46.24时，取得最大值 ‎ 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。 ……12分 ‎（20）解：‎ ‎（I）有题设可得又 处的导数值为，C在点出的切线方程为 ‎，即.‎ 股所求切线方程为 （I） 存在符合题意的点，证明如下：‎ 设P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线PM，PN的斜率分别为 故 从而 当b=-a时，有 ‎（21）解：‎ ‎（I）设曲线y=f(x)与x轴相切于点 因此，当 ‎（II）当 是的零点 综上，当 ‎（22）解：‎ ‎（I）链接AE，由已知得，‎ 在中，由已知得，DE=DC故 链接OE，则OBE=OEB又ACB+ABC=90°所以DEC+OEB=90°‎ 故，DE是得切线 ‎（II）设CE=1，AE=X，由已知得，‎ 由摄影定理可得，AE=CE.BE，所以即 可得，所以 ‎ ‎ ‎（23）解：‎ ‎ （I）因为，，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为。 ……5分 ‎ （II）将代入，得，解得，。故，即。‎ ‎ 由于的半径为1，所以的面积为。 ……10分 ‎（24）解： ‎ ‎ （I）当时，化为，‎ ‎ 当时，不等式化为，无解；‎ ‎ 当时，不等式化为，解得；‎ ‎ 当时，不等式化为，解得。‎ ‎ 所以的解集为。 ……5分 ‎（II）由题设可得，‎ ‎ 所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，的面积为。‎ ‎ 由题设得，故。‎ ‎ 所以a的取值范围为 ……10分