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  • 2021-05-14 发布

新人教版高中数学精品论文集之二高考数学填空题的解法

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高考数学填空题的解法 填空题是数学高考的三种基本题型之一,其求解方法分为:直接运算推理法、赋值计算法、规律发现法、数形互助法等等. 解题时,要有合理的分析和判断,要求推理、运算的每一步骤都正确无误,还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求. 下面将按知识分类加以例说.‎ 1. 函数与不等式 例1 已知函数,则 讲解 由,得,应填4.‎ 请思考为什么不必求呢?‎ 例2 ‎ 集合的真子集的个数是 讲解 ,显然集合M中有90个元素,其真子集的个数是,应填.‎ ‎ 快速解答此题需要记住小结论;对于含有n个元素的有限集合,其真子集的个数是 例3 ‎ 若函数的图象关于直线对称,则 讲解 由已知抛物线的对称轴为,得 ,而,有,故应填6.‎ 例4 ‎ 如果函数,那么 ‎     ‎ 讲解 容易发现,这就是我们找出的有用的规律,于是 ‎ 原式=,应填 ‎ 本题是2002年全国高考题,十分有趣的是,2003年上海春考题中也有一道类似题:‎ ‎ 设,利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法,可求得 1. 三角与复数 例2 ‎  已知点P在第三象限,则角的终边在第象限.‎ 讲解 由已知得 ‎       ‎ 从而角的终边在第二象限,故应填二.‎ 例3 不等式()的解集为.‎ 讲解 注意到,于是原不等式可变形为 ‎     ‎ 而,所以,故应填 例4 ‎ 如果函数的图象关于直线对称,那么 讲解 ,其中.‎ 是已知函数的对称轴,‎ ‎,‎ 即    ,‎ 于是     故应填 .‎ ‎ 在解题的过程中,我们用到如下小结论:‎ ‎ 函数和的图象关于过最值点且垂直于x轴的直线分别成轴对称图形.‎ 例5 设复数在复平面上对应向量,将按顺时针方向旋转后得到向量,对应的复数为,则 讲解 应用复数乘法的几何意义,得 ‎     ‎ ‎      ,‎ 于是   ‎ ‎ 故应填 ‎ ‎ 例9 设非零复数满足 ,则代数式 的值是____________.‎ ‎ 讲解 将已知方程变形为  ,‎ 解这个一元二次方程,得 ‎       ‎ ‎ 显然有, 而,于是 ‎ 原式=‎ ‎   =‎ ‎   =‎ ‎ 在上述解法中,“两边同除”的手法达到了集中变量的目的,这是减少变元的一个上策,值得重视.‎ 1. 数列、排列组合与二项式定理 例10 已知是公差不为零的等差数列,如果是的前n项和,那么 ‎ 讲解 特别取,有,于是有 ‎        故应填2.‎ 例11 数列中, , 则 ‎ 讲解 分类求和,得 ‎ ‎ ‎ ,故应填.‎ 例12 有以下四个命题:‎ 例13 ‎①‎ ‎②‎ ‎③凸n边形内角和为 ④凸n边形对角线的条数是 其中满足“假设时命题成立,则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当(是题中给定的n的初始值)时命题成立”的命题序号是       .‎ 讲解 ①当n=3时,,不等式成立;‎ ② 当n=1时,,但假设n=k时等式成立,则 ‎   ;‎ ‎③ ,但假设成立,则 ‎      ‎ ‎④ ,假设成立,则 ‎    ‎ 故应填②③.‎ ‎  例13 某商场开展促销活动,设计一种对奖券,号码从000000到999999. 若号码的奇位数字是不同的奇数,偶位数字均为偶数时,为中奖号码,则中奖面(即中奖号码占全部号码的百分比)为       .‎ ‎ 讲解  中奖号码的排列方法是: 奇位数字上排不同的奇数有种方法,偶位数字上排偶数的方法有,从而中奖号码共有种,于是中奖面为 ‎             ‎ ‎ 故应填 例14 ‎ 的展开式中的系数是 讲解 由知,所求系数应为的x项的系数与项的系数的和,即有 ‎     ‎ 故应填1008.‎ ‎4. 立体几何 ‎ 例15 过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上,这个球的表面积是________.‎ 讲解 长方体的对角线就是外接球的直径, 即有 ‎    ‎ 从而   ,故应填 例16 若四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是正四面体,则其体积是       (只需写出一个可能的值).‎ 讲解 本题是一道很好的开放题,解题的开窍点是:每个面的三条棱是怎样构造的,依据“三角形中两边之和大于第三边”,就可否定{1,1,2},从而得出{1,1,1},{1,2,2},{2,2,2}三种形态,再由这三类面构造满足题设条件的四面体,最后计算出这三个四面体的体积分别为: , ,,故应填.、 、 中的一个即可.‎ 例17 如右图,E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体 A B D C E F A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ 的面上的射影可能是     .(要求:把可能的图的序号都填上)‎ 讲解 因为正方体是对称的几何体,所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为:上下、左右、前后三个方向的射影,也就是在面ABCD、面ABB‎1A1、面ADD‎1A1上的射影.‎ 四边形BFD1E在面ABCD和面ABB‎1A1上的射影相同,如图所示;‎ 四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内,它在面ADD‎1A1上的射影显然是一条线段,如图所示. 故应填.‎ ‎5.解析几何 例18 直线被抛物线截得线段的中点坐标是___________.‎ 讲解 由消去y,化简得 ‎         ‎ 设此方程二根为,所截线段的中点坐标为,则 ‎        ‎ 故应填(3,2).‎ ‎ 例19 椭圆上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,则当m取最大值时,点P的坐标是_____________________.‎ 讲解 记椭圆的二焦点为,有 ‎ ‎ 则知 ‎ ‎ 显然当,即点P位于椭圆的短轴的顶点处时,m取得最大值25.‎ ‎ 故应填或 ‎ 例20 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的函数解析式是,在杯内放一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的半径r的取值范围是___________.‎ 讲解 依抛物线的对称性可知,大圆的圆心在y轴上,并且圆与抛物线切于抛物线的顶点,从而可设大圆的方程为 ‎ ‎ 由 ‎ 消去x,得 (*)‎ 解出 或 ‎ 要使(*)式有且只有一个实数根,只要且只需要即 ‎ 再结合半径,故应填 填空题的类型一般可分为:完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田,创新型的填空题将会不断出现. 因此,我们在备考时,既要把关注这一新动向,又要做好应试的技能准备.‎