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- 2021-05-14 发布
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高考数学填空题的解法
填空题是数学高考的三种基本题型之一,其求解方法分为:直接运算推理法、赋值计算法、规律发现法、数形互助法等等. 解题时,要有合理的分析和判断,要求推理、运算的每一步骤都正确无误,还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求. 下面将按知识分类加以例说.
1. 函数与不等式
例1 已知函数,则
讲解 由,得,应填4.
请思考为什么不必求呢?
例2 集合的真子集的个数是
讲解 ,显然集合M中有90个元素,其真子集的个数是,应填.
快速解答此题需要记住小结论;对于含有n个元素的有限集合,其真子集的个数是
例3 若函数的图象关于直线对称,则
讲解 由已知抛物线的对称轴为,得 ,而,有,故应填6.
例4 如果函数,那么
讲解 容易发现,这就是我们找出的有用的规律,于是
原式=,应填
本题是2002年全国高考题,十分有趣的是,2003年上海春考题中也有一道类似题:
设,利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法,可求得
1. 三角与复数
例2 已知点P在第三象限,则角的终边在第象限.
讲解 由已知得
从而角的终边在第二象限,故应填二.
例3 不等式()的解集为.
讲解 注意到,于是原不等式可变形为
而,所以,故应填
例4 如果函数的图象关于直线对称,那么
讲解 ,其中.
是已知函数的对称轴,
,
即 ,
于是 故应填 .
在解题的过程中,我们用到如下小结论:
函数和的图象关于过最值点且垂直于x轴的直线分别成轴对称图形.
例5 设复数在复平面上对应向量,将按顺时针方向旋转后得到向量,对应的复数为,则
讲解 应用复数乘法的几何意义,得
,
于是
故应填
例9 设非零复数满足 ,则代数式 的值是____________.
讲解 将已知方程变形为 ,
解这个一元二次方程,得
显然有, 而,于是
原式=
=
=
在上述解法中,“两边同除”的手法达到了集中变量的目的,这是减少变元的一个上策,值得重视.
1. 数列、排列组合与二项式定理
例10 已知是公差不为零的等差数列,如果是的前n项和,那么
讲解 特别取,有,于是有
故应填2.
例11 数列中, , 则
讲解 分类求和,得
,故应填.
例12 有以下四个命题:
例13 ①
②
③凸n边形内角和为
④凸n边形对角线的条数是
其中满足“假设时命题成立,则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当(是题中给定的n的初始值)时命题成立”的命题序号是 .
讲解 ①当n=3时,,不等式成立;
② 当n=1时,,但假设n=k时等式成立,则
;
③ ,但假设成立,则
④ ,假设成立,则
故应填②③.
例13 某商场开展促销活动,设计一种对奖券,号码从000000到999999. 若号码的奇位数字是不同的奇数,偶位数字均为偶数时,为中奖号码,则中奖面(即中奖号码占全部号码的百分比)为 .
讲解 中奖号码的排列方法是: 奇位数字上排不同的奇数有种方法,偶位数字上排偶数的方法有,从而中奖号码共有种,于是中奖面为
故应填
例14 的展开式中的系数是
讲解 由知,所求系数应为的x项的系数与项的系数的和,即有
故应填1008.
4. 立体几何
例15 过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上,这个球的表面积是________.
讲解 长方体的对角线就是外接球的直径, 即有
从而 ,故应填
例16 若四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是正四面体,则其体积是 (只需写出一个可能的值).
讲解 本题是一道很好的开放题,解题的开窍点是:每个面的三条棱是怎样构造的,依据“三角形中两边之和大于第三边”,就可否定{1,1,2},从而得出{1,1,1},{1,2,2},{2,2,2}三种形态,再由这三类面构造满足题设条件的四面体,最后计算出这三个四面体的体积分别为: , ,,故应填.、 、 中的一个即可.
例17 如右图,E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体
A
B
D
C
E
F
A1
B1
C1
D1
的面上的射影可能是 .(要求:把可能的图的序号都填上)
讲解 因为正方体是对称的几何体,所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为:上下、左右、前后三个方向的射影,也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影.
四边形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同,如图所示;
四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内,它在面ADD1A1上的射影显然是一条线段,如图所示. 故应填.
5.解析几何
例18 直线被抛物线截得线段的中点坐标是___________.
讲解 由消去y,化简得
设此方程二根为,所截线段的中点坐标为,则
故应填(3,2).
例19 椭圆上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,则当m取最大值时,点P的坐标是_____________________.
讲解 记椭圆的二焦点为,有
则知
显然当,即点P位于椭圆的短轴的顶点处时,m取得最大值25.
故应填或
例20 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的函数解析式是,在杯内放一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的半径r的取值范围是___________.
讲解 依抛物线的对称性可知,大圆的圆心在y轴上,并且圆与抛物线切于抛物线的顶点,从而可设大圆的方程为
由
消去x,得 (*)
解出 或
要使(*)式有且只有一个实数根,只要且只需要即
再结合半径,故应填
填空题的类型一般可分为:完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田,创新型的填空题将会不断出现. 因此,我们在备考时,既要把关注这一新动向,又要做好应试的技能准备.