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数学
B单元 函数与导数
B1 函数及其表示
14．、[2014·安徽卷] 若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝______．
14.、
2．、[2014·北京卷] 下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )
A．y＝e－xB．y＝x3
C．y＝lnxD．y＝|x|
2．B、
21．、、[2014·江西卷] 将连续正整数1，2，…，n(n∈N*)从小到大排列构成一个数123…n，F(n)为这个数的位数(如n＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F(12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率．
(1)求p(100)；
(2)当n≤2014时，求F(n)的表达式；
(3)令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n)＝f(n)－g(n)，S＝{n|h(n)＝1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p(n)的最大值．
21．解：(1)当n＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p(100)＝.
(2)F(n)＝
(3)当n＝b(1≤b≤9，b∈N*)，g(n)＝0；
当n＝10k＋b(1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N)时，g(n)＝k；
当n＝100时，g(n)＝11，即g(n)＝
1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N，
同理有f(n)＝
由h(n)＝f(n)－g(n)＝1，可知n＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，
所以当n≤100时，S＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}．
当n＝9时，p(9)＝0.
当n＝90时，p(90)＝＝＝.
当n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)＝＝＝，由y＝关于k单调递增，故当n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)的最大值为p(89)＝.
又<，所以当n∈S时，p(n)的最大值为.
3．[2014·山东卷] 函数f(x)＝的定义域为( )
A．(0，2) B．(0，2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
3．C
B2 反函数
5．[2014·全国卷] 函数y＝ln(＋1)(x＞－1)的反函数是( )
A．y＝(1－ex)3(x＞－1)
B．y＝(ex－1)3(x＞－1)
C．y＝(1－ex)3(x∈R)
D．y＝(ex－1)3(x∈R)
5．D
B3 函数的单调性与最值
2．、[2014·北京卷] 下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )
A．y＝e－xB．y＝x3
C．y＝lnxD．y＝|x|
2．B
4．、[2014·湖南卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )
A．f(x)＝B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x
4．A
19．、、、[2014·江苏卷] 已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．
(1)证明：f(x)是R上的偶函数．
(2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围．
(3)已知正数a满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)0)，则t>1，所以m≤－＝
－对任意t>1成立．
因为t－1＋＋1≥2＋1＝3, 所以－≥－，
当且仅当t＝2, 即x＝ln2时等号成立．
因此实数m的取值范围是.
(3)令函数g(x)＝ex＋－a(－x3＋3x)，则g′(x) ＝ex－＋3a(x2－1)．
当x≥1时，ex－>0，x2－1≥0.又a>0，故g′(x)>0，所以g(x)是[1，＋∞)上的单调递增函数，因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是g(1)＝e＋e－1－2a.
由于存在x0∈[1，＋∞)，使ex0＋e－x0－a(－x＋3x0)<0成立，当且仅当最小值g(1)<0，
故e＋e－1－2a<0, 即a>.
令函数h(x) ＝x－(e－1)lnx－1，则h′(x)＝1－.令h′(x)＝0, 得x＝e－1.
当x∈(0，e－1)时，h′(x)<0，故h(x)是(0，e－1)上的单调递减函数；
当x∈(e－1，＋∞)时，h′(x)>0，故h(x)是(e－1，＋∞)上的单调递增函数．
所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(e－1)．
注意到h(1)＝h(e)＝0，所以当x∈(1，e－1)⊆(0，e－1)时，h(e－1)≤h(x)h(e)＝0，即a－1>(e－1)lna，故ea－1>ae－1.
综上所述，当a∈时，ea－1ae－1.
15．、、[2014·四川卷] 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sinx时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：
①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；
②若函数f(x)∈B，则f(x)有最大值和最小值；
③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∈/B；
④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x＞－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
15．①③④
21．、[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；
(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e－2＜a＜1.
21．解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b，所以g′(x)＝ex－2a.
当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．
当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；
当＜a＜时，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)，
所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增，
于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.
综上所述，当a≤时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当＜a＜时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；
当a≥时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.
(2)证明：设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知，
f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．
则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．
故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.
同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．
由(1)知，当a≤时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；
当a≥时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．
所以＜a＜.
此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．
因此x1∈(0，ln(2a))，x2∈(ln(2a)，1)，必有
g(0)＝1－b＞0，g(1)＝e－2a－b＞0.
由f(1)＝0有a＋b＝e－1<2，有
g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0.
解得e－2＜a＜1.
所以，函数f(x)在区间(0，1)内有零点时，e－2＜a＜1.
B4 函数的奇偶性与周期性
4．[2014·重庆卷] 下列函数为偶函数的是( )
A．f(x)＝x－1B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－xD．f(x)＝2x＋2－x
4．D
14．、[2014·安徽卷] 若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝______．
14.
5．[2014·广东卷] 下列函数为奇函数的是( )
A．2x－B．x3sinx
C．2cosx＋1D．x2＋2x
5．A
9．、[2014·湖北卷] 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )
A．{1，3}B．{－3，－1，1，3}
C．{2－，1，3}D．{－2－，1，3}
9．D
4．、[2014·湖南卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )
A．f(x)＝B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x
4．A
15．[2014·湖南卷] 若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________．
15．－
19．、、、[2014·江苏卷] 已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．
(1)证明：f(x)是R上的偶函数．
(2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围．
(3)已知正数a满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)0)，则t>1，所以m≤－＝
－对任意t>1成立．
因为t－1＋＋1≥2＋1＝3, 所以－≥－，
当且仅当t＝2, 即x＝ln2时等号成立．
因此实数m的取值范围是.
(3)令函数g(x)＝ex＋－a(－x3＋3x)，则g′(x) ＝ex－＋3a(x2－1)．
当x≥1时，ex－>0，x2－1≥0.又a>0，故g′(x)>0，所以g(x)是[1，＋∞)上的单调递增函数，因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是g(1)＝e＋e－1－2a.
由于存在x0∈[1，＋∞)，使ex0＋e－x0－a(－x＋3x0)<0成立，当且仅当最小值g(1)<0，
故e＋e－1－2a<0, 即a>.
令函数h(x) ＝x－(e－1)lnx－1，则h′(x)＝1－.令h′(x)＝0, 得x＝e－1.
当x∈(0，e－1)时，h′(x)<0，故h(x)是(0，e－1)上的单调递减函数；
当x∈(e－1，＋∞)时，h′(x)>0，故h(x)是(e－1，＋∞)上的单调递增函数．
所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(e－1)．
注意到h(1)＝h(e)＝0，所以当x∈(1，e－1)⊆(0，e－1)时，h(e－1)≤h(x)h(e)＝0，即a－1>(e－1)lna，故ea－1>ae－1.
综上所述，当a∈时，ea－1ae－1.
12．[2014·全国卷] 奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝( )
A．－2B．－1
C．0D．1
12．D
15．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 偶函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．
15．3
5．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
5．C
13．[2014·四川卷] 设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________．
13．1
B5二次函数
10．[2014·江苏卷] 已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．
10.
14．、[2014·全国卷] 函数y＝cos2x＋2sinx的最大值为________．
14.
B6指数与指数函数
5．[2014·安徽卷] 设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则( )
A．b0，且a≠1)的图像如图12所示，则下列函数图像正确的是( )
图12
AB
CD图13
8．B
3．、[2014·辽宁卷] 已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则( )
A．a＞b＞cB．a＞c＞b
C．c＞b＞aD．c＞a＞b
3．D
15．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
15．(－∞，8]
5．，[2014·山东卷] 已知实数x，y满足axy3
B．sinx>siny
C．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)
D.>
5．A
7．[2014·陕西卷] 下列函数中，满足“f(x＋y)＝
f(x)f(y)”的单调递增函数是( )
A．f(x)＝x3B．f(x)＝3x
C．f(x)＝xD．f(x)＝
7．B
12．[2014·陕西卷] 已知4a＝2，lgx＝a，则x＝________．
12.
7．、[2014·四川卷] 已知b＞0，log5b＝a，lgb＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
A．d＝acB．a＝cd
C．c＝adD．d＝a＋c
7．B
9．、[2014·四川卷] 设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是( )
A．[，2] B．[，2]
C．[，4] D．[2，4]
9．B
4．[2014·天津卷] 设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则( )
A．a＞b＞cB．b＞a＞c
C．a＞c＞bD．c＞b＞a
4．C
B7对数与对数函数
12．[2014·天津卷] 函数f(x)＝lgx2的单调递减区间是________．
12．(－∞，0)
11．[2014·安徽卷] ＋log3＋log3＝________.
11.
8．、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x＞0)，g(x)＝logax的图像可能是( )
AB
CD
图12
8．D
8．，，[2014·福建卷] 若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图12所示，则下列函数图像正确的是( )
图12
AB
CD图13
8．B
13．、[2014·广东卷] 等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．
13．5
3．、[2014·辽宁卷] 已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则()
A．a＞b＞cB．a＞c＞b
C．c＞b＞aD．c＞a＞b
3．D
6．，[2014·山东卷] 已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图像如图11所示，则下列结论成立的是( )
图11
A．a>1，x>1B．a>1，01D．00，且a≠1)的图像如图12所示，则下列函数图像正确的是( )
图12
AB
CD图13
8．B
15．[2014·湖北卷] 如图14所示，函数y＝f(x)的图像由两条射线和三条线段组成．
若∀x∈R，f(x)＞f(x－1)，则正实数a的取值范围为________．
图14
15.
13．、[2014·江苏卷] 已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝.若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
13.
15．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
15．(－∞，8]
6．，[2014·山东卷] 已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图像如图11所示，则下列结论成立的是( )
图11
A．a>1，x>1B．a>1，01D．00，f(x)在(e，＋∞)上单调递增．
∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne＋＝2，
∴f(x)的极小值为2.
(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，
令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)，
设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，
当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，
∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.
又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图像(如图所示)，可知
①当m>时，函数g(x)无零点；
②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；
③当0时，函数g(x)无零点；
当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；
当0a>0，<1恒成立，
等价于f(b)－b0)，
∴(*)等价于h(x)在(0，＋∞)上单调递减．
由h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
得m≥－x2＋x＝－＋(x>0)恒成立，
∴m≥，
∴m的取值范围是.
20．、[2014·安徽卷] 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．
20．解： (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝1＋a－2x－3x2.
令f′(x)＝0，得x1＝，
x2＝，且x1x2时，f′(x)<0；
当x10.
故f(x)在和内单调递减，
在内单调递增．
(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，
①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．
②当0ln(kx)，
即x＞lnx＋lnk成立．
①若0＜k≤1，则lnk≤0，易知当x＞0时，x＞lnx≥lnx＋lnk成立．
即对任意c∈[1，＋∞)，取x0＝0，
当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.
②若k＞1，令h(x)＝x－lnx－lnk，则h′(x)＝1－＝，
所以当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在(1，＋∞)上单调递增．
取x0＝4k，h(x0)＝4k－ln(4k)－lnk＝2(k－lnk)＋2(k－ln2)，
易知k＞lnk，k＞ln2，所以h(x0)＞0.
因此对任意c∈(0，1)，取x0＝，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.
综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.
方法三：(1)同方法一．
(2)同方法一．
(3)证明：①若c≥1，取x0＝0，
由(2)的证明过程知，ex＞2x，
所以当x∈(x0，＋∞)时，有cex≥ex＞2x＞x，
即x＜cex.
②若0＜c＜1，
令h(x)＝cex－x，则h′(x)＝cex－1.
令h′(x)＝0得x＝ln.
当x＞ln时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．
取x0＝2ln，
则h(x0)＝ce2ln－2ln＝2，
易知－ln＞0，又h(x)在(x0，＋∞)内单调递增，
所以当x∈(x0，＋∞)时，恒有h(x)＞h(x0)＞0，
即x＜cex.
综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.
11．、[2014·广东卷] 曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．
11．5x＋y＋2＝0
11．[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．
11．－3
23．、[2014·江苏卷] 已知函数f0(x)＝(x>0)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.
(1)求2f1＋f2的值；
(2)证明：对任意的n∈N*，等式＝都成立．
23．解： (1)由已知，得f1(x)＝f′0(x)＝′＝－，
于是f2(x)＝f1′(x)＝′－′＝
－－＋，
所以f1＝－，f2＝－＋.
故2f1＋f2＝－1.
(2)证明：由已知得，xf0(x)＝sinx，等式两边分别对x求导，得f0(x)＋xf0′(x)＝cosx，
即f0(x)＋xf1(x)＝cosx＝sin.
类似可得
2f1(x)＋xf2(x)＝－sinx＝sin(x＋π)，
3f2(x)＋xf3(x)＝－cosx＝sin，
4f3(x)＋xf4(x)＝sinx＝sin(x＋2π)．
下面用数学归纳法证明等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin对所有的n∈N*都成立．
(i)当n＝1时，由上可知等式成立．
(ii)假设当n＝k时等式成立，即kfk－1(x)＋xfk(x)＝sin.
因为[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kfk－1′(x)＋fk(x)＋xfk′(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，
′＝cos·′＝sin，
所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝sin，
因此当n＝k＋1时，等式也成立．
综合(i)(ii)可知，等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin对所有的n∈N*都成立．
令x＝，可得nfn－1＋fn＝sin(n∈N*)，
所以＝(n∈N*)．
21．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)＝alnx＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，
f(1))处的切线斜率为0.
(1)求b；
(2)若存在x0≥1，使得f(x0)＜，求a的取值范围．
21．解：(1)f′(x)＝＋(1－a)x－b.
由题设知f′(1)＝0，解得b＝1，
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知，f(x)＝alnx＋x2－x，
f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1)．
(i)若a≤，则≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f(1)<，即－1<，解得－－11，
故当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.
f(x)在上单调递减，在上单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f<.
而f＝aln＋＋>，所以不合题意．
(iii)若a>1, 则f(1)＝－1＝<，符合题意．
综上，a的取值范围是(－－1，－1)∪(1，＋∞)．
20．，[2014·山东卷] 设函数f(x)＝alnx＋，其中a为常数．
(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
20．解：(1)由题意知，当a＝0时，f(x)＝，x∈(0，＋∞)．
此时f′(x)＝，所以f′(1)＝.
又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋＝.
当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，
由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，
①当a＝－时，Δ＝0，
f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a＜－时，Δ＜0，g(x)＜0，
f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
③当－＜a＜0时，Δ＞0.
设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，
则x1＝，
x2＝.
因为x1＝
＝＞0，
所以，x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，
x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，
x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．
综上可得，当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－＜a<0时，f(x)在，上单调递减，
在上单调递增．
19．、、[2014·四川卷] 设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．
(1)证明：数列{bn}为等比数列；
(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列{anb}的前n项和Sn.
19．解：(1)证明：由已知得，bn＝2an＞0，
当n≥1时，＝2an＋1－an＝2d.
故数列{bn}是首项为2a1，公比为2d的等比数列．
(2)函数f(x)＝2x在点(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x－a2)，
其在x轴上的截距为a2－.
由题意知，a2－＝2－，
解得a2＝2，
所以d＝a2－a1＝1，an＝n，bn＝2n，anb＝n·4n.
于是，Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)×4n－1＋n×4n，
4Sn＝1×42＋2×43＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1，
因此，Sn－4Sn＝4＋42＋…＋4n－n·4n＋1＝－n·4n＋1＝，
所以，Sn＝.
19．、[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝x2－ax3(a＞0)，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)若对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)＝1，求a的取值范围．
19．解：(1)由已知，有f′(x)＝2x－2ax2(a>0)．令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
0
所以，f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是(－∞，0)，.
当x＝0时，f(x)有极小值，且极小值f(0)＝0；
当x＝时，f(x)有极大值，且极大值f＝.
(2)由f(0)＝f＝0及(1)知，当x∈时，f(x)>0；当x∈时，f(x)<0.
设集合A＝{f(x)|x∈(2，＋∞)}，集合B＝，则“对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)＝1”等价于A⊆B，显然0∉B.下面分三种情况讨论：
(i)当>2，即0时，有f(1)<0，且此时f(x)在(1，＋∞)上单调递减，故B＝，A＝(－∞，f(2))，所以A不是B的子集．
综上，a的取值范围是.
B12 导数的应用
21．、[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；
(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e－2＜a＜1.
21．解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b，所以g′(x)＝ex－2a.
当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．
当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；
当＜a＜时，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)，
所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增，
于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.
综上所述，当a≤时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当＜a＜时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；
当a≥时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.
(2)证明：设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知，
f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．
则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．
故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.
同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．
由(1)知，当a≤时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；
当a≥时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．
所以＜a＜.
此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．
因此x1∈(0，ln(2a))，x2∈(ln(2a)，1)，必有
g(0)＝1－b＞0，g(1)＝e－2a－b＞0.
由f(1)＝0有a＋b＝e－1<2，有
g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0.
解得e－2＜a＜1.
所以，函数f(x)在区间(0，1)内有零点时，e－2＜a＜1.
15．[2014·安徽卷] 若直线l与曲线C满足下列两个条件：
(i)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(ii)曲线C在点P附近位于直线l的两侧．则称直线l在点P处“切过”曲线C.
下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①直线l：y＝0在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝x3；
②直线l：x＝－1在点P(－1，0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2；
③直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝sinx；
④直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝tanx；
⑤直线l：y＝x－1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y＝lnx.
15．①③④
20．、[2014·安徽卷] 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．
20．解： (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝1＋a－2x－3x2.
令f′(x)＝0，得x1＝，
x2＝，且x1x2时，f′(x)<0；
当x10.
故f(x)在和内单调递减，
在内单调递增．
(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，
①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．
②当0ln(kx)，
即x＞lnx＋lnk成立．
①若0＜k≤1，则lnk≤0，易知当x＞0时，x＞lnx≥lnx＋lnk成立．
即对任意c∈[1，＋∞)，取x0＝0，
当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.
②若k＞1，令h(x)＝x－lnx－lnk，则h′(x)＝1－＝，
所以当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在(1，＋∞)上单调递增．
取x0＝4k，h(x0)＝4k－ln(4k)－lnk＝2(k－lnk)＋2(k－ln2)，
易知k＞lnk，k＞ln2，所以h(x0)＞0.
因此对任意c∈(0，1)，取x0＝，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.
综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.
方法三：(1)同方法一．
(2)同方法一．
(3)证明：①若c≥1，取x0＝0，
由(2)的证明过程知，ex＞2x，
所以当x∈(x0，＋∞)时，有cex≥ex＞2x＞x，
即x＜cex.
②若0＜c＜1，
令h(x)＝cex－x，则h′(x)＝cex－1.
令h′(x)＝0得x＝ln.
当x＞ln时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．
取x0＝2ln，
则h(x0)＝ce2ln－2ln＝2，
易知－ln＞0，又h(x)在(x0，＋∞)内单调递增，
所以当x∈(x0，＋∞)时，恒有h(x)＞h(x0)＞0，
即x＜cex.
综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.
21．[2014·广东卷] 已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋1(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a<0时，试讨论是否存在x0∈∪，使得f(x0)＝f.
21．[2014·湖北卷] π为圆周率，e＝2.71828…为自然对数的底数．
(1)求函数f(x)＝的单调区间；
(2)求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数．
21．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
因为f(x)＝，所以f′(x)＝.
当f′(x)>0，即0e时，函数f(x)单调递减．
故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．
(2)因为e<3<π，所以eln3π3.
由<，得ln 3e0，此时f′(x)<0;
当x∈((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)时，sinx<0，此时f′(x)>0.
故f(x)的单调递减区间为(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)，单调递增区间为((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)．
(2)由(1)知，f(x)在区间(0，π)上单调递减．又f＝0，故x1＝.
当n∈N*时，因为
f(nπ)f＝[(－1)nnπ＋1][(－1)n＋1(n＋1)π＋1]＜0，
且函数f(x)的图像是连续不断的，所以f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)内至少存在一个零点．又f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)上是单调的，故
nπ＜xn＋1＜(n＋1)π.
因此，当n＝1时，＝＜；
当n＝2时，＋＜(4＋1)＜；
当n≥3时，
＋＋…＋<
＜＜
＝＜＜.
综上所述，对一切n∈N*，＋＋…＋＜.
11．[2014·江西卷] 若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
11．(e，e) [解析]由题意知，y′＝lnx＋1，直线斜率为2.由导数的几何意义知，令lnx＋1＝2，得x＝e，所以y＝elne＝e，所以P(e，e)．
21．、、[2014·江西卷] 将连续正整数1，2，…，n(n∈N*)从小到大排列构成一个数123…n，F(n)为这个数的位数(如n＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F(12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率．
(1)求p(100)；
(2)当n≤2014时，求F(n)的表达式；
(3)令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n)＝f(n)－g(n)，S＝{n|h(n)＝1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p(n)的最大值．
21．解：(1)当n＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p(100)＝.
(2)F(n)＝
(3)当n＝b(1≤b≤9，b∈N*)，g(n)＝0；
当n＝10k＋b(1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N)时，g(n)＝k；
当n＝100时，g(n)＝11，即g(n)＝
1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N，
同理有f(n)＝
由h(n)＝f(n)－g(n)＝1，可知n＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，
所以当n≤100时，S＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}．
当n＝9时，p(9)＝0.
当n＝90时，p(90)＝＝＝.
当n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)＝＝＝，由y＝关于k单调递增，故当n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)的最大值为p(89)＝.
又<，所以当n∈S时，p(n)的最大值为.
12．、[2014·辽宁卷] 当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．[－5，－3] B.
C．[－6，－2] D．[－4，－3]
12．C
11．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
11．D
21．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.
(1)求a；
(2)证明：当k＜1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．
21．解：(1)f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.
曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线方程为y＝ax＋2.
由题设得－＝－2，所以a＝1.
(2)证明：由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.
设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4，
由题设知1－k>0.
当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k>0，
g(x)单调递增，g(－1)＝k－1<0，g(0)＝4，
所以g(x)＝0在(－∞，0]上有唯一实根．
当x>0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，
则g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x)．
h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0，
所以g(x)＝0在(0，＋∞)上没有实根．
综上，g(x)＝0在R有唯一实根，
即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．
12．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－∞，－1)
12．C
21．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)＝alnx＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，
f(1))处的切线斜率为0.
(1)求b；
(2)若存在x0≥1，使得f(x0)＜，求a的取值范围．
21．解：(1)f′(x)＝＋(1－a)x－b.
由题设知f′(1)＝0，解得b＝1，
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知，f(x)＝alnx＋x2－x，
f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1)．
(i)若a≤，则≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f(1)<，即－1<，解得－－11，
故当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.
f(x)在上单调递减，在上单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f<.
而f＝aln＋＋>，所以不合题意．
(iii)若a>1, 则f(1)＝－1＝<，符合题意．
综上，a的取值范围是(－－1，－1)∪(1，＋∞)．
20．，[2014·山东卷] 设函数f(x)＝alnx＋，其中a为常数．
(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
20．解：(1)由题意知，当a＝0时，f(x)＝，x∈(0，＋∞)．
此时f′(x)＝，所以f′(1)＝.
又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋＝.
当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，
由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，
①当a＝－时，Δ＝0，
f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a＜－时，Δ＜0，g(x)＜0，
f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
③当－＜a＜0时，Δ＞0.
设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，
则x1＝，
x2＝.
因为x1＝
＝＞0，
所以，x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，
x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，
x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．
综上可得，当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－＜a<0时，f(x)在，上单调递减，
在上单调递增．
21．、、[2014·陕西卷] 设函数f(x)＝lnx＋，m∈R.
(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；
(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数；
(3)若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．
21．解：(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝lnx＋，则f′(x)＝，
∴当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减；
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增．
∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne＋＝2，
∴f(x)的极小值为2.
(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，
令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)，
设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，
当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，
∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.
又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图像(如图所示)，可知
①当m>时，函数g(x)无零点；
②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；
③当0时，函数g(x)无零点；
当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；
当0a>0，<1恒成立，
等价于f(b)－b0)，
∴(*)等价于h(x)在(0，＋∞)上单调递减．
由h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
得m≥－x2＋x＝－＋(x>0)恒成立，
∴m≥，
∴m的取值范围是.
19．、[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝x2－ax3(a＞0)，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)若对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)＝1，求a的取值范围．
19．解：(1)由已知，有f′(x)＝2x－2ax2(a>0)．令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
0
所以，f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是(－∞，0)，.
当x＝0时，f(x)有极小值，且极小值f(0)＝0；
当x＝时，f(x)有极大值，且极大值f＝.
(2)由f(0)＝f＝0及(1)知，当x∈时，f(x)>0；当x∈时，f(x)<0.
设集合A＝{f(x)|x∈(2，＋∞)}，集合B＝，则“对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)＝1”等价于A⊆B，显然0∉B.下面分三种情况讨论：
(i)当>2，即0时，有f(1)<0，且此时f(x)在(1，＋∞)上单调递减，故B＝，A＝(－∞，f(2))，所以A不是B的子集．
综上，a的取值范围是.
21．[2014·浙江卷] 已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a＞0)．若f(x)在[－1，1]上的最小值记为g(a)．
(1)求g(a)；
(2)证明：当x∈[－1，1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.
21．解：(1)因为a>0，－1≤x≤1，所以，
(i)当00，故f(x)在(a，1)上是增函数．
所以g(a)＝f(a)＝a3.
(ii)当a≥1时，有x≤a，则f(x)＝x3－3x＋3a，f′(x)＝3x2－3<0，故f(x)在(－1，1)上是减函数，所以g(a)＝f(1)＝－2＋3a.
综上，g(a)＝
(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(a)．
(i)当00，则h(x)在(a，1)上是增函数，所以h(x)在[a，1]上的最大值是h(1)＝4－3a－a3，而00，知t(a)在(0，1)上是增函数，所以t(a)0)，则t>1，所以m≤－＝
－对任意t>1成立．
因为t－1＋＋1≥2＋1＝3, 所以－≥－，
当且仅当t＝2, 即x＝ln2时等号成立．
因此实数m的取值范围是.
(3)令函数g(x)＝ex＋－a(－x3＋3x)，则g′(x) ＝ex－＋3a(x2－1)．
当x≥1时，ex－>0，x2－1≥0.又a>0，故g′(x)>0，所以g(x)是[1，＋∞)上的单调递增函数，因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是g(1)＝e＋e－1－2a.
由于存在x0∈[1，＋∞)，使ex0＋e－x0－a(－x＋3x0)<0成立，当且仅当最小值g(1)<0，
故e＋e－1－2a<0, 即a>.
令函数h(x) ＝x－(e－1)lnx－1，则h′(x)＝1－.令h′(x)＝0, 得x＝e－1.
当x∈(0，e－1)时，h′(x)<0，故h(x)是(0，e－1)上的单调递减函数；
当x∈(e－1，＋∞)时，h′(x)>0，故h(x)是(e－1，＋∞)上的单调递增函数．
所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(e－1)．
注意到h(1)＝h(e)＝0，所以当x∈(1，e－1)⊆(0，e－1)时，h(e－1)≤h(x)h(e)＝0，即a－1>(e－1)lna，故ea－1>ae－1.
综上所述，当a∈时，ea－1ae－1.
10．[2014·江西卷] 在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图像不可能是( )
AB
CD
10．B
21．、[2014·辽宁卷] 已知函数f(x)＝π(x－cosx)－2sinx－2，g(x)＝(x－π)＋－1.证明：
(1)存在唯一x0∈，使f(x0)＝0；
(2)存在唯一x1∈，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1＞π.
21．证明：(1)当x∈时，f′(x)＝π＋πsinx－2cosx＞0，所以f(x)在区间上为增函数．又f(0)＝－π－2＜0，f＝－4＞0，所以存在唯一x0∈，使f(x0)＝0.
(2)当x∈时，化简得g(x)＝(π－x)·＋－1.
令t＝π－x则t∈.记u(t)＝g(π－t)＝
－－t＋1，则u′(t)＝.
由(1)得，当t∈(0，x0)时，u′(t)＜0；当t∈时，u′(t)＞0.所以在上u(t)为增函数，由u＝0知，当t∈时，u(t)＜0，所以u(t)在上无零点．
在(0，x0)上u(t)为减函数，
由u(0)＝1及u(x0)＜0知存在唯一t0∈(0，x0)，使u(t0)＝0.
于是存在唯一t0∈，使u(t0)＝0.
设x1＝π－t0∈，则g(x1)＝g(π－t0)＝u(t0)＝0.因此存在唯一的x1∈，使g(x1)＝0.
由于x1＝π－t0，t0＜x0，所以x0＋x1＞π.
9．[2014·山东卷] 对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x
取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( )
A．f(x)＝B．f(x)＝x2
C．f(x)＝tanxD．f(x)＝cos(x＋1)
9．D
15．、、[2014·四川卷] 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sinx时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：
①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；
②若函数f(x)∈B，则f(x)有最大值和最小值；
③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∈/B；
④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x＞－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
15．①③④
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