全国高考文科数学卷一及答案 9页

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文 一、选择题：每小题5分,共60分 ‎1、已知集合，则集合中的元素个数为 ‎ （A） 5 （B）4 （C）3 （D）2‎ ‎2、已知点，向量，则向量 ‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎3、已知复数满足，则（ ） ‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎5、已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，是C的准线与E的两个交点，则 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）‎ ‎（A）斛 （B）斛 （C）斛 （D）斛 ‎7、已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎8、函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）‎ ‎ （A） ‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎9、执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）‎ ‎ （A） （B） （C）7 （D）8‎ ‎10、已知函数 ，‎ 且，则 ‎ ‎ （A） ‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则( )‎ ‎（A） ‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎12、设函数的图像与的图像关于直线对称，且 ‎，则( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分 ‎13、数列中为的前n项和，若，则 .‎ ‎14.已知函数的图像在点的处的切线过点，则 .‎ ‎15. 若x,y满足约束条件 ,则z=3x+y的最大值为 ．‎ ‎16.已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点， ，当周长最小时，该三角形的面积为 ．‎ 三、解答题 ‎17. （本小题满分12分）已知分别是内角的对边，.‎ ‎（I）若，求 ‎ ‎（II）若，且 求的面积.‎ ‎18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，，‎ ‎（I）证明：平面平面；‎ ‎（II）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.‎ ‎19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费和年销售量 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.‎ ‎（I）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；‎ ‎（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；‎ ‎（III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为 ，根据（II）的结果回答下列问题：‎ ‎（i）当年宣传费=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？‎ ‎（ii）当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？‎ ‎20. （本小题满分12分）已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点.‎ ‎（I）求k的取值范围；‎ ‎（II）若，其中O为坐标原点，求.‎ ‎21. （本小题满分12分）设函数.‎ ‎（I）讨论的导函数的零点的个数；‎ ‎（II）证明：当时.‎ 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 ‎22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图AB是O直径，AC是O切线，BC交O与点E.‎ ‎（I）若D为AC中点，证明：DE是O切线；‎ ‎（II）若 ，求的大小.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（I）求的极坐标方程.‎ ‎（II）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求 的面积.‎ ‎24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 .‎ ‎（I）当 时求不等式 的解集；‎ ‎（II）若的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.‎ ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文 答案 一、 选择题 ‎（1）D（2）A（3）C（4）C （5）B（6）B（7）B（8）D（9）C（10）A（11）B（12）C 二、 填空题 ‎（13）6 （14）1 （15）4 （16） ‎ 三、 解答题 ‎17、解：‎ ‎（I）由题设及正弦定理可得=2ac.‎ 又a=b，可得cosB== ……6分 ‎（II）由（I）知=2ac.‎ 因为B=，由勾股定理得.‎ 故，的c=a=.‎ 所以△ABC的面积为1. ……12分 ‎18、解：‎ ‎（I）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.‎ 因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.‎ 又AC平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED. ……5分 ‎ ‎（II）设AB=，在菱形ABCD中，又∠ABC= ，可得 AG=GC=，GB=GD=.‎ 因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中，可的EG=.‎ 由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形，可得BE=.‎ 由已知得，三棱锥E-ACD的体积=×AC·GD·BE=.‎ 故=2 ……9分 ‎ 从而可得AE=EC=ED=.‎ 所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与 △ECD的面积均为.‎ 故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2. ……12分 ‎19、解：‎ ‎（I）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费的回归方程式类型.‎ ‎（II）令，先建立y关于w的线性回归方程式.由于 ‎,‎ ‎，‎ 所以y关于w的线性回归方程为,因此y关于的回归方程为 ‎（Ⅲ）（i）由（II）知，当=49时，年销售量y的预报值 ‎，‎ 年利润z的预报值 ‎ ……9分 ‎（ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值 ‎ .‎ 所以当，即=46.24时，取得最大值.‎ 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. ……12分 ‎20、解：‎ ‎（I）由题设，可知直线的方程为.‎ 因为与C交于两点，所以.‎ 解得 .‎ 所以k的取值范围为. ……5分 ‎（II）设.‎ 将代入方程，整理得 ‎.‎ 所以.‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎ 由题设可得=12，解得k=1，所以的方程是y=x+1.‎ 故圆心C在上，所以. ……12分 ‎21、解：‎ ‎（I）的定义域为.‎ 当≤0时，没有零点；‎ 当时，因为单调递增，单调递减，所以在单调递增，又，‎ 当b满足0＜b＜且b＜时，，故当＜0时存在唯一零点.‎ ‎ ……6分 ‎（II）由（I），可设在的唯一零点为，当时，＜0；‎ 当时，＞0.‎ 故在单调递减，在单调递增，所以时，取得最小值，最小值为.‎ 由于，所以.‎ 故当时，. ……12分 ‎22、解：‎ ‎（I）连接AE，由已知得，AE⊥BC,AC⊥AB.‎ 在Rt△AEC中，由已知得，DE=DC,故∠DEC=∠DCE.‎ 连结OE，则∠OBE=∠OEB.‎ 又∠OED+∠ABC=，所以∠DEC+∠OEB=，故∠OED=，DE是O的切线.‎ ‎ ……5分 ‎ ‎ ‎ ‎（II）设CE=1，AE=，由已知得AB=，BE=.由射影定理可得，，‎ 所以，即.可得，所以∠ACB=.‎ ‎ ……10分 ‎ ‎23、解：‎ ‎（I）因为，所以的极坐标方程为，‎ 的极坐标方程为. ……5分 ‎ ‎（II）将代入，得，解得 ‎.故，即 由于的半径为1，所以的面积为. ……10分 ‎ ‎24、解：‎ ‎（I）当时，化为.‎ 当时，不等式化为，无解；‎ 当时，不等式化为，解得；‎ 当，不等式化为-+2＞0，解得1≤＜2.‎ 所以的解集为. ……5分 ‎ ‎（II）由题设可得，‎ 所以函数的图像与轴围成的三角形的三个丁点分别为 ‎,△ABC的面积为.‎ ‎ 由题设得＞6，故＞2.‎ 所以的取值范围为. ……10分 ‎