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- 2021-05-14 发布
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2011年高考数学高考模拟试题
河北正定中学 杨春辉
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合则等于
A.(0,2) B.(-1,2) C.(-1,+∞) D.(2,+∞)
2.复数,那么复数在复平面上对应的点所在的象限是
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.在的展开式中,含的项的系数是( )
A. B. C. D.
4.若实数满足则的最小值为
A.0 B. C.8 D.1
5.在等差数列中,有,则此数列的前13项之和为
A.24 B.39 C.52 D.104
6.已知、是两条不重合的直线,、、是三个两两不重合的平面,则下列四个命题中真命题是
A.若∥,∥,则∥
B.若∥,∥,则∥
C.若∥,∩=,∩= ,则∥
D.若,,∥,则∥
7.已知函数在时取最小值,则函数是
A.偶函数且图像关于点对称 B.偶函数且图像关于点对称
C.奇函数且图像关于点对称 D.奇函数且图像关于点对称
8.设,则
A. B. C. D.
9.将5名同学分配到A、B、C三个宿舍中,每个宿舍至少安排1名学生,那么不同的分配方案有
A.76 B.100 C.132 D.150
10.函数,若实数满足,并且,则的取值范围是
A. B. C. D.
11.过双曲线的左焦点作直线与圆相切于点,与双曲线的右支交于点,若,则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
12.四面体PABC中,ACBC,AC=,BC=1,是正三角形,且平面PAB
平面ABC,则四面体PABC的外接球的表面积为
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上).
13.设向量与向量共线,则 .
14.不等式的解集为,则实数的取值范围是 .
15.已知不平行于轴的直线与抛物线交于、两点,点、到轴的距离的差等于,则抛物线的焦点坐标为 .
16.已知是定义在上的函数,且满足,,,则
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).
17.(本题满分10分)
在中,,求的最小值.
18.(本题满分12分)
在一块倾斜放置的矩形木块上钉着一个形如“等腰三角形”的五行铁钉,钉子之间留有空隙作为通道,自上而下第1行2个铁钉之间有1个空隙,第2行3个铁钉之间有2个空隙……第5行6个铁钉之间有5个空隙(如图).某人将一个玻璃球从第1行的空隙向下滚动,玻璃球碰到第2行居中的铁钉后以相等的概率滚入第2行的左空隙或右空隙,以后玻璃球按类似方式继续往下滚动,落入第5行的某一个空隙后,掉入木板下方相应的球槽.玻璃球落入不同球槽得到的分数如图所示.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若此人进行4次相同试验,求至少3次获得4分的概率.
19.(本题满分12分)
四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,侧面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD,PD⊥AC,E是棱PA的中点.
(I)求证:PC//平面EBD;
(II)求二面角E-BD-A的大小.
20.(本题满分12分)
已知函数其中为自然对数的底数, .
(Ⅰ)设,求函数的最值;
(Ⅱ)若对于任意的,都有成立,求的取值范围.
21.(本题满分12分)
过椭圆C:上一点P,作圆O:的两条切线PA、PB,切点为A、B,直线AB与轴、轴分别相交于M、N两点.
(I)设P,且,求直线AB的方程.
(II)若椭圆C的短轴长为8,且,求此椭圆的方程.
(III)试问椭圆C上是否存在满足的点P,说明理由.
22.(本题满分12分)
已知数列满足
(I)求数列的通项公式;
(II)若数列中,前项和为,且
证明:
参考答案:
一、DADBC, CDBDA,CB
二、13.;14.;15. 16.
三、17.解:
由题意,,则,
所以当,即时,有最小值
18.解:(Ⅰ)从第1行开始,玻璃球从一个空隙向下滚动,碰到此空隙下方的一个铁钉后以的概率落入铁钉左边的空隙,同样以的概率落入铁钉右边的空隙.玻璃球继续往下滚动时,总有落入铁钉左边和右边空隙的两种结果.到最后落入某一个球槽内,一共进行了4次独立重复试验,设4次独立重复试验中落入左边空隙的次数为η,则.
,
,
.
则.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,此人一次试验获得4分的概率,他进行4次相同试验可以看着他进行了4次独立重复试验,
则至少3次获得4分的概率.
19.解:(I)证明:在矩形ABCD中,设AC、BD交点为O,则O是AC中点.又E是PA中点,所以EO是△PAC的中位线. 所以PC//EO.............................3分
又EOÌ平面EBD,PC Ë 平面EBD.所以PC//平面EBD.....................5分
(II) 取AB中点H,则由PA=PB,得PH⊥AB,所以PH⊥平面ABCD. 以H为原点,建立空间直角坐标系H-(如图).设,则
.
所以,,
由PD⊥AC,得, 即,.
所以,
设是平面EBD的法向量,
不妨取,则得到平面EBD的一个法向量.
由于是平面ABD的法向量,故是平面ABD的一个法向量.
设与夹角,的大小与二面角E-BD-A大小相等.
,.
所以求二面角E-BD-A的大小为.
20.解:(Ⅰ)当时,,.
当在上变化时,,的变化情况如下表:
-
+
∴时,,.
(Ⅱ)∵,,
∴原不等式等价于:,
即, 亦即.
∴对于任意的,原不等式恒成立,等价于对恒成立,
∵对于任意的时, (当且仅当时取等号).
∴只需,即,解之得或.
因此,的取值范围是.
21.解:(1)以O,P为直径的两个端点,
构造圆的方程(1)及 (2)
两式相减得AB方程为
(2)令
令
又P点在椭圆上,
,
椭圆方程为
(3)若,由切线定理|PA|=|PB|,知四边形必是正方形,
要使P点存在,下列方程必有解
时,存在点P;若,这样的点P不存在。
22.解:(I)解法一、……………………①
………………………………②
②-①得
为公比为2,首项为2的等比数列.
递推叠加得
解法二、……………………①
设
即与①式比较系数
得:x=1,y=0
∴数列{}是以首项a1+1,公比为2的等比数列,即
(II)
……………………………………②
由②可得:………………③
③-②,得
即………………………………④
又由④可得………………⑤
⑤-④得
即是等差数列.