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- 2021-05-14 发布
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广东高考理数选择、填空题热点分析
考点 1:集合
1.集合的运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符合
表示 A∪B A∩B 全集为 U，集合 A 的补集为
图形
表示
意义 {x|x∈A 或 x∈B} {x|x∈A，且 x∈B} {x|x∈U，且 x∉A}
2.若 A 含有 n 个元素，则 A 的子集有 2n 个，真子集有 个，非空真子集有 个.
备考题目：
1.已知集合 , ，则
A. B. C. D.
2． ，则 =( )
A． B． C． D．
3．设集合 ， ，则 ( )
A． B． C． D．
4．若全集 U=R，则正确表示集合 M=｛—1，0，1｝和 N=｛ ｝关系的图是( )
5.设常数 ,集合 , .若 ,则 的取值范
围为（ ）
A ． B． C． D．
考点 2：复数
1.复数的概念:复数 的实部 、虚部 .
UC A
2{ | 2 3 0}M x x x= − − = { | 2 4}N x x= − < ≤ M N =
{ | 1 3}x x− < ≤ { | 1 4}x x− < ≤ { 3,1}− { 1,3}−
( ){ }, | 0, ,A x y x y x y R= + = ∈ A B
(1, 1)− { } { }1 1x y= = − { }1, 1− ( ){ }1, 1−
2{ | 2 }A x y x x= = − { | 2 }xB y y= = A B =
0 2)（ ， [0 2]， (1, 2] 0 2]（ ，
02 =+ xxx
a∈R ( )( ){ }| 1 0A x x x a= − − ≥ { }| 1B x x a= ≥ − A B = R a
( ),2−∞ ( ],2−∞ ( )2,+∞ [ )2,+∞
( , )z a bi a b R= + ∈ a b
, 的共轭复数
2.设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝
（4）除法
3.虚数单位ｉ的性质：
4.复数的几何意义
备考题目：
1.设 是虚数单位,若复数 是纯虚数,则 的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
2.复数 的共轭复数是________．
3．已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．在复平面内，复数 对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知a＋2i
i ＝b＋i(a，b∈R)，其中 i 为虚数单位，则 a＋b＝________．
6．设复数 z 满足 z(2－3i)＝6＋4i (i 为虚数单位)，则 ________．
考点 3：平面向量
设 ，则：
加法： 减法：
数乘; 数量积：
22 babiaz +=+= z z a bi= −
idbca )()( +++
idbca )()( −+−
ibcadbdac )()( ++−
=+
+=
dic
bia
z
z
2
1 idc
adbc
dc
bdac
dc
iadbcbdac
dicdic
dicbia
222222
)()(
))((
))((
+
−++
+=+
−++=−+
−+
1 2 3 4, 1, , 1i i i i i i= = − = − =
z a bi Z a b= + ←→一一对应复数 复平面内的点（ , )
i 10 ( )3a a Ri
− ∈− a
5
2i −
1z i= −
2
1
z
z
=−
2 2− 2i 2i−
i
i−1
z =
( ) ( )2211 ,,, yxbyxa ==
( )2121 , yyxxba ++=+ ( )2121 , yyxxba −−=−
( )11, yxa λλλ = 2121cos yyxxbaba +==⋅ θ
求模： ， 求夹角：
平行： 垂直：
备考题目：
1．已知平面向量 , ,且 ,则 ( )
A． B． C． D．
2.已知 是不共线向量， ， ，当 ∥ 时，实数 等于
A . B.0 C. D .
3．若向量 =(1,1)， =(2，5)， =(3, )满足条件(8 — )· =30，则 = ( )
A．6 B．5 C．4 D．3
4．若向量 满足 的夹角为 ，则 （ ）
A. B. C． D．
5．已 知 ,则 （ ）
A． B． C．5 D．25
6.在平行四边形 中， 与 交于点 是线段 的中点， 的延长线与 交于
点 ．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
考点 4：算法框图
1.阅读下面的程序框图 1，运行相应的程序，若输出 的值为 0，则判断框内为（ ）
A. B. C. D.
2.执行如图 2 的程序框图，如果输入的 的值是 6，那么输出的 的值是（ ）
A．15 B．105 C．120 D．720
21,ee 212 eea += 21 eeb −= λ a b λ
1−
2
1− 2−
N p
2
1
2
1 yxa += 2)( baba +=+ 1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos x x y ya b
x y x ya b
θ +⋅= =
+ ⋅ +
1 2 2 1/ / 0a b a b x y x yλ⇔ = ⇔ − =
1 2 1 20 0a b a b x x y y⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ + =
( )1,2a = ( )2,b m= − / /a b 2 3a b+ =
( )2, 4− − ( )3, 6− − ( )4, 8− − ( )5, 10− −
a b c x a b c x
,a b 2, ,a b a b= = 且 060 + =a b
6 2+ 2 3 4 12
(2,1), 10,| | 5 2a a b a b= ⋅ = + = | |b =
5 10
ABCD AC BD O E， OD AE CD
F AC = a BD = b AF =
1 1
4 2
+a b 2 1
3 3
+a b 1 1
2 4
+a b 1 2
3 3
+a b
S
3i > 4i > 5i > 6i >
开始
S=1，i=1
S=S*i
i=i+1
i>5
否
是
输出 S
结束
3.执行如图 3 所示的程序框图,输出的 值为 .
4.执行程序框图 4，若 ，则输出的 .
5.阅读右边程序框图 5，该程序输出的结果是 .
图 3 图 4 图 5
6. 定 义 某 种 运 算 ， 运 算 原 理 如 下 图 所 示 ， 则 式 子
的值为（ ）
A．4 B．8 C．11 D．13
考点 5：命题及逻辑语言
1．四种命题（注：互为逆否命题的两个命题真假性相同.）
命题 表达形式
原命题 若 p 则 q
逆命题 若 q 则 p
否命题 若 p 则 q
逆否命题 若 q 则 p
2．充分条件与必要条件
若 p⇒q，q p，则 p 是 q 的充分不必要条件；
若 p q，q⇒p，则 p 是 q 的必要不充分条件；
若 p⇒q，q⇒p，则 p 是 q 的充分且必要条件；
若 p q，q p，则 p 是 q 的既不充分又不必要条件.
3. 全称命题： ，其否定为： .
特称命题： ，其否定为： .
z
0.8p = n =
aS b= ⊗
1
3
1100lgln)4
5tan2(
−
⊗+⊗ e
π
¬ ¬
¬ ¬
≠
≠
≠ ≠
, ( )x M p x∀ ∈ , ( )x M p x¬∃ ∈
, ( )x M p x∃ ∈ , ( )x M p x¬∀ ∈
开始
1 0n S= =，
S p< ?
是
输入 p
结束
输出 n1
2nS S= +
否
1n n= +
4．“且”、“或”、“非”的真假判断
：p、q 中只要有一个为真， 为真；要假全假.
：p、q 中只要有一个为假， 为假；要真全真.
命题 p 的否定 ： 与 p 真假性相反.
备考题目：
1.命题“ ”的否定是 .
2.命题“若 是正切函数，则 是周期函数”的否命题是（ ）
A．若 是正切函数，则 不是周期函数.
B．若 是周期函数，则 是正切函数.
C．若 不是正切函数，则 不是周期函数.
D．若 不是周期函数，则 不是正切函数.
3.“ ”是“ ”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
4.下列结论正确的是( )
A．若 p∨q 为真命题,则 p∧q 为真命题
B．“x=5”是“x2-4x-5=0”的充分不必要条件
C．命题“若 x<-1,则 x2-2x-3>0”的否命题为“若 x<-1,则 x2-2x-3≤0”
D．已知命题 p:任意 x∈R,使得 x2+x-1<0,则 p:存在 x∈R,使得 x2+x-1>0
5．已知命题 p: x∈R，使 sin x＝ ；命题 q: x∈R，都有 x2＋x＋1＞0.给出下列结论
①命题“ ”是真命题 ②命题“ ”是假命题
③命题“ ”是真命题 ④命题“ 是假命题
其中正确的是 （ ）
A．②③ B．②④ C．③④ D．①②③
考点 6：函数的性质
1．函数的定义域：使函数有意义的 x 的取值范围，一定用区间或集合表示.
求函数定义域要注意一下几点：
p q∨ p q∨
p q∧ p q∧
p¬ p¬
2,x R x x∀ ∈ ≠
( )f x ( )f x
( )f x ( )f x
( )f x ( )f x
( )f x ( )f x
( )f x ( )f x
3>x 42 >x
Ø
∃ 5
2
∀
p q∧ p q¬ ¬∨
( p) q¬ ∨ ( )p q¬∨
（1） ，则 ；
（2） ，则 ；
（3） 则 ，且底数 且 ；
（4）若 .
2．函数单调性：
① 增函数 与 符号相同.
② 减函数 与 符号相反.
3．函数奇偶性：
⑴偶函数的判定：①定义域一定要关于原点对称；②满足
⑵奇函数的判定：①定义域一定要关于原点对称；②满足
4．函数的周期性：满足 f(x＋T)＝f(x)
5．函数的零点
(1)函数 y＝f(x)的零点⇔方程 f(x)＝0 的根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标
(2)函数零点的判定：若 f(a)·f(b)＜0，则 y＝f(x)在(a，b)内有零点
备考题目：
1.函数 的定义域是 .
2.下列函数中与函数 相同的是( )
A. B. C. D.
3.下列给出的定义在 R 上的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是( )
A. B. C. D.
4.下列函数中,既是偶函数又在区间(0, )上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
5.函数 的图像关于（ ）
A. 轴对称 B.直线 对称 C.坐标原点对称 D.直线 对称
6.设函数 ，若 是奇函数，则 的值为 .
0( 1)xy
x x
−=
−
2 xy = 2y x x= − xxxf sin)( 3 −= xx eexf −−=)(
xy = 0≥x
xy 1= 0≠x
,1 xogy a= 0>x ,0>a 1≠a
0 , 0y x x= ≠则
( )y f x= 1 2 1 2( )[ ( ) ( )] 0x x f x f x⇔ − − > ⇔ 1 2x x− 1 2( ) ( )f x f x−
( )y f x= 1 2 1 2( )[ ( ) ( )] 0x x f x f x⇔ − − < ⇔ 1 2x x− 1 2( ) ( )f x f x−
)()( xfxf =−
)()( xfxf −=−
( ) xxf =
2xy x
= 2( )y x= lg10xy = 2log2 xy =
+∞
1y x x
= + xy e−= 2 1y x= − + lg | |y x=
1( )f x xx
= −
y xy −= xy =
( )
>
<=
)0(),(
0,2)(
xxg
xxf
x
)(xf )2(g
7. 定 义 在 上 的 函 数 满 足 . 若 当 时 . , 则 当
时, = ___________.
8.已知 ＜1,那么 的取值范围为 ( )
A.( ,+∞) B.(0, )∪(1,+∞) C.( ,1) D.(0, )∪( ,+∞)
9.已知偶函数 在 单调递增，则满足 ＜ 的 取值范围为( )
A.（ ， ） B.［ ， ） C.（ ， ） D.［ ， ）
10.若 ,则函数 的两个零点分别位于区间( )
A. 和 内 B. 和 内
C. 和 内 D. 和 内
11.已知函数 满足 ，且 时， ，则当
时， 与 的图象的交点个数为( )
A.13 B.12 C.11 D.10
12.函数 是幂函数且在 上单调递减,则实数 的值为 .
考点 7：函数与导数
1、 导数的运算:
⑴ 常见函数的导数:
① ； ② ；③ ； ④ ；
⑤ ； ⑥ ；⑦ ； ⑧ .
⑵ 导数的运算法则：
（ 为常数）
2、微积分基本定理（求定积分）： ，其中
( )f x [0, )+∞ (2 1)f x − 1( )3f
1
3
2
3
1
3
2
3
1
2
2
3
1
2
2
3
a b c< < ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )f x x a x b x b x c x c x a= − − + − − + − −
( ),a b ( ),b c ( ),a−∞ ( ),a b
( ),b c ( ),c +∞ ( ),a−∞ ( ),c +∞
)(xfy = )( Rx∈ ( 2) 2 ( )f x f x+ = [ 1,1]x∈ − ( ) 1f x x= − +
[ 10 ,10 ]x∈ − )(xfy = 4( ) logg x x=
R ( )f x ( 1) 2 ( )f x f x+ = 0 1x≤ ≤ ( ) (1 )f x x x= −
1 0x− ≤ ≤ ( )f x
3
2log a a
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
x
( ) 22 2 31 m my m m x − −= − − (0, )+∞ m
'C 0= 1')( −= nn nxx xx cos)(sin ' = xx sin)(cos ' −=
aaa xx ln)( ' = xx ee =')( axxa ln
1)(log ' =
xx 1)(ln ' =
[ ( ) ( )]' ( )' ( )'f x g x f x g x± = ± [ ( ) ( )]' ( )' ( ) ( ) ( )'f x g x f x g x f x g x⋅ = ⋅ + ⋅
[ ( )]' ( )'c f x c f x= c 2
( ) ( )' ( ) ( ) ( )'[ ]' ( ( ) 0)( ) [ ( )]
f x f x g x f x g x g xg x g x
−= ≠
( ) ( ) ( )b
a
f x dx F b F a= −∫ [ ]'( ) ( )F x f x=
备考题目：
1.曲线 在点 处的切线方程为
2.函数 的单调递增区间是（ ）A. B.（0，3） C.（1，4） D.
3.函数 f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知 f(x)在 时取得极值，则 a 等于 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.已知 ,函数 在 上是单调减函数，则 的最大值为 （ ）
A.1 B. 2 C. 3 D.4
5.已知 为自然对数的底数,设函数 ,则（ ）
A.当 时, 在 处取得极小值 B.当 时, 在 处取得极大值
C.当 时, 在 处取得极小值 D.当 时, 在 处取得极大值
6.已知 为常数,函数 有两个极值点 ,则（ ）
A. B.
C. D.
7.直线 l 过抛物线 C: x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于（ ）
A. B.2 C. D.
8.若对于任意的 ，都有 成立，则 c 的取值范围为 .
9.已知函数 是定义在 R 上的奇函数， ， ，则不等式
的解集是
考点 8：不等式
1．基本不等式： 当且仅当 时等号成立.
2．绝对值不等式：求解绝对值不等式可用几何意义法或零点分段法.
3．若 ，则 ；
若 ，则 .
xey x
=
2
(2 )2
e，
)(xf 0)1( =f 0)()(
2
>−′
x
xfxfx ）（ 0>x
0)(2 >xfx
( ) ( 3) xf x x e= − ( ),2−∞ ( )2 + ∞，
3−=x
0>a ( ) axxxf +−= 3 ( )+∞,1 a
e )2,1()1)(1()( =−−= kxexf kx
1=k )(xf 1=x 1=k )(xf 1=x
2=k )(xf 1=x 2=k )(xf 1=x
a ( )( ) lnf x x x ax= − 1 2 1 2, ( )x x x x<
1 2
1( ) 0, ( ) 2f x f x> >− 1 2
1( ) 0, ( ) 2f x f x< <−
1 2
1( ) 0, ( ) 2f x f x> <− 1 2
1( ) 0, ( ) 2f x f x< >−
4
3
8
3
16 2
3
[0 3]x∈ ， 3 2 22 9 12 8x x x c c− + + <
2 ( 0, 0)a b ab a b+ ≥ > > a b=
( ) ( )f x x a x b x R= − + − ∈ ( )f x a b≥ −
( ) ( )f x x a x b x R= − − − ∈ ( )a b f x a b− − ≤ ≤ −
备考题目：
1. 则（ ）
A． B． C． D．
2.下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是（ ）
A． B． C． D．
3.当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）.
A. B. C. D.
4.若正数 a，b 满足 ，则 的最大值是 .
5.不等式 的解集为 .
6.若 ，都有 ，则实数 的取值范围为 .
考点 9：线性规划求最值问题
1．目标函数形如 时，平移直线 求最值；
2．目标函数形如 时，可转化为可行域中的点 到定点 的距离的平方
的最值问题；
3．目标函数形如 时，可转化过可行域中的点 和定点 的直线的斜率最值问题；
备考题目：
1.设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的取值范围为（ ）.
（A） （B） （C） （D）
2.设变量 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）.
（A） （B） （C） （D）
1a b+ =
1
2
3log 2, ln 2, 5 ,a b c= = =
a b c< < b c a< < c a b< <
a b>
1a b> + 1a b> − 2 2a b> 3 3a b>
2x > 1
2x ax
+ ≥− a
( ],2−∞ ( ],4−∞ [ )0,+∞ [ ]2,4
1 1
1 1a b
++ +
2 1x x+ − ≤
x R∀ ∈ 1 3 1x x a+ + + ≥ − a
z ax by= + 0ax by+ =
2 2( ) ( )z x a y b= − + − ( , )x y ( , )a b
y bz x a
−= − ( , )x y ( , )a b
,x y
3 6 0
2 0
3 0
x y
x y
y
+ − ≥
− − ≤
− ≤
yz x
=
( )0,3 [ ]0,3 ( )3,0− [ ]3,0−
,x y
2 0
2 4 0
2 4 0
x y
x y
x y
+ − ≥
− + ≥
− − ≤
2 2z x y= +
2
2 2 2 1
3. 已知平面直角坐标系 上的区域 由不等式组 给定，若 为 上的动点，
点 的坐标为 ，则 的最大值为 .
4.设 满足约束条件 则 的最小值为 .
5. 记关于 的不等式组 所表示的平面区域为 .若直线 与 有公共点，则
实数 的取值范围为（ ）
（A） （B） （C） （D）
考点 10：等差等比数列
名称 等差数列 等比数列
定义 ( 为常数)
通项公
式 （ ）
中项
若三数 成等差数列
若 三 数 成 等 比 数 列
（ 同号）.
前 项
和
重要性
质
若 m+n=p+q,则 若 m+n=p+q，则
备考题目：
1.等差数列{an}的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为( )
A．130 B．170 C．210 D．260
2.已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则 a1＋a10 等于( )
A．7 B．5 C．－5 D．－7
3.等差数列｛ ｝的公差不为零，首项 ＝1， 是 和 的等比中项，则数列的前 10 项之和是na 1a 2a 1a 5a
xOy D
0 2
2
2
x
y
x y
≤ ≤
≤
≤
( , )M x y D
A ( 2,1) z OM OA= ⋅
,x y
2 0
2 1 0,
0
x y
x y
y
+ + ≥
+ + ≤
≥
2 2( 1) ( 2)z x y= + + −
,x y
0
3 4
3 4
x
x y
x y
≥
+ ≥
+ ≤
D ( 1)y a x= + D
a
1( ,4)2
1 ,42
1( , ) (4, )2
−∞ +∞
1 ,2
+∞
1n na a d+ − = d 1 ( 0, 2)n
n
a q q na
+ = ≠ 且为常数, ≥
1 ( 1)na a n d= + − 1
1
n
na a q −= 1, 0a q ≠
a A b、 、
2
a bA
+⇔ = a b、G、 2 ,G ab⇒ =
ab
n 1( )
2
n
n
n a as
+= 1
( 1)
2
n nna d
−= +
1
1
(1 ) , 11
, 1
n
n
a q qs q
na q
− ≠= −
=
m n p qa a a a+ = + m n p qa a a a⋅ = ⋅
（ ）
A. 90 B. 100 C. 145 D. 190
4.已知 为等比数列，Sn 是它的前 n 项和.若 ， 且 与 2 的等差中项为 ，则
= .
5.已知等比数列 的公比为正数，且 , ，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D.
考点 11：排列组合
1．排列数 ，
2．组合数
3．排列问题：直接法、分类法、间接法、插空法、捆绑法、特殊位置优先排列法；
4．组合问题：分组分配问题、选人选产品问题；
备考题目：
1.某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则
不同的赠送方法共有 ( )
A．4 种 B．10 种 C．18 种 D．20 种
2.小明有 4 枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把 4 个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚
硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有（ ）．
A．4 种 B．5 种 C．6 种 D．9 种
3.现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张，从中任取 3 张，要求这 3 张卡片
不能是同一种颜色，且绿色卡片至多 1 张. 不同取法的种数为（ ）[来源:学
A．484 B．472 C．252 D．232
4.有标号分别为 1，2，3 的红色卡片 3 张，标号分别为 1，2，3
的蓝色卡片 3 张，现将全部的 6 张卡片放在 2 行 3 列的格内（如图）．若颜色相同的卡片在同一行，则
不同的放法种数为 （用数字作答）.
5.从 1、3、5、7 中任取 2 个数字，从 0、2、4、6、8 中任取 2 个数字，组成没有重复数字的四位数，
其中能被 5 整除 的四位数共有__________个（用数字作答）.
考点 12：二项式定理
1.二项式定理 ，展开式共 项；
2.展开式通项为 ，其中 为该项的二项式系数；
{ }na 2 3 12a a a⋅ = 4a 7a 5
4 5S
{ }na 2
3 7 44a a a⋅ = 2 2a = 1a =
2 2
2
( 1)( 2) ( 1)m
nA n n n n m= − − ⋅⋅⋅ − + 1 2 3n
nA n n= × × ⋅⋅⋅⋅× = ！
( 1)( 2) ( 1) = ( )
m
m n
n m
m
A n n n n m nC A m n m m
− − ⋅⋅⋅ − += = − ⋅
！
！ ！ ！
0 0 1 1 1 2 2 2 0( )n n n n n n
n n n na b C a b C a b C a b C a b− −+ = + + +⋅⋅⋅+ 1n +
1
r n r r
r nT C a b−
+ = r
nC
备考题目：
1.已知等比数列{ }的第 5 项是二项式 展开式的常数项,则 为 .
2. 的展开式中 的系数为 .（数字作答）[来源:学。科。网]
3.若 展开式中 项的系数为 20,则 的最小值 .
4.若 ＝ ,
则 =（ ）
A．27 B．28 C．7 D．8
5.设 是大于 1 的自然数, 的展开式为
.若点 的
位置如图所示，则 .
考点 13：概率
1.互斥事件（不能同时发生）概率公式：
2.对立事件（不能同时发生，且非 A 则 B）概率公式：
3.条件概率： 表示在事件 B 已发生的前提下事件 A 发生的概率
4.独立事件概率公式：
5.古典概型： ；
6.几何概型：
7.二项分布：若随机变量 ，则
8.正态分布：若随机变量 ，则
na 61( )3x x
− 3 7a a
( )( )8x y x y− + 2 7x y
2 6( )bax x
+ 3x 22 ba +
( )84 3+xx ( ) ( ) ( )12
12
2
210 222 +++++++ xaxaxaa
( )115312log aaaa ++++
na ,0≠
n
a
x
+1
n
n xaxaxaa ++++
2
210 )2,1,0)(,( =iaiA ii
______=a
( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = +
( ) 1 ( )P A P B= −
( )P A B
( ) ( ) ( ),P AB P A B P B= ⋅ ( )( ) ( )
P ABP A B P B
=
( ) ( ) ( )P AB P A P B= ⋅
基本事件的总数
包含的基本事件的个数AAP =)(
等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的
积等）的区域长度（面积或体构成事件AAP =)(
~ ( , )X B n p ( ) ,E X np= ( ) (1 )D X np p= −
2~ ( , )X N µ σ ,( ) ( )b
a
P a X b x dxµ σϕ≤ ≤ = ∫
备考题目：
1.某校高三年级举行一次演讲比赛共有 10 位同学参赛，其中一班有 3 位，二班有 2 位，其他班有 5 位，
若采用抽签方式确定他们的演讲顺序，则一班有 3 位同学恰好被排在一起，而二班的 2 位同学没有被
排在一起的概率为（ ）
A． B． C． D．
2.由不等式 确定的平面区域记为 ，不等式 ，确定的平面区域记为 ，
在 中随机取一点，则该点恰好在 内的概率为（ ）
A. B. C. D.
3.从 , , , , , , , , , 中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是 的概率为 .
4.某射击运动员在练习射击中，每次射击命中目标的概率是 ，则这名运动员在 10 次射击中，至少有
9 次命中的概率是 ．（记 ，结果用含 的代数式表示）.
5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是
0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45
6.已知随机变量 服从正态分布 .若 ，则 等于 .
考点 14：统计
1．抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样
注：三种抽样方法中每个个体被抽到的概率都为
2．两图四数：
(1) 众数、中位数、平均数、方差 （标准差 ）
(2) 茎叶图
(3)频率分布直方图
①每个小矩形的面积为每组的频率；
②每组频率的和即每个小矩形的面积的和为 1.
3. 回归直线方程 必过样本中心点
10
1 1
20
1
40
1
120
≤−−
≥
≤
02
0
0
xy
y
x
1Ω
−≥+
≤+
2
1
yx
yx
2Ω
1Ω 2Ω
8
1
4
1
4
3
8
7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6
3
5
103
5 p=（ ） p
X ( )2,1N ( )1 3 0.6826P X≤ ≤ = ( )3P X >
N
nP =
2S S
y b x a
∧ ∧ ∧
= + ( , )x y
备考题目：
1.对一个容量为 的总体抽取容量为 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同
方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 ，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知变量 与 正相关，且由观测数据算得样本平均数 ， ，则由该观测的数据算得的
线性回归方程可能是 ( )
A. B. C. D.
3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和如图
2
所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层
抽样的方法抽取 的学生进行调查，则样本容量和抽取
的高中生近视人数分别为（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.随机变量 的取值为 0,1,2，若 ， ，则
5.设样本数据 的均值和方差分别为 1 和 4，若 （ 为非零常数，
），则 的均值和方差分别为（ ）
A. B. C. D.
考点 15：立体几何
备考题目：
1.设 a，b 是两条直线，α，β是两个平面，则 a⊥b 的一个充分条件是（ ）
A．a⊥α，b//β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α//β
C．a⊂α，b//β，α⊥β D．a⊂α，b⊥β，α//β
2.已知两条直线 ，两个平面 ．给出下面四个命题：
① ， ； ② ， ， ；
③ ， ； ④ ， ， ．
N n
321 ,, ppp
321 ppp <= 132 ppp <= 231 ppp <= 321 ppp ==
x y 3x = 3.5y =
0.4 2.3y x
∧
= + 2 2.4y x
∧
= − 2 9.5y x
∧
= − + 2 3 6a b+ =
2%
200 20 100 20 200 10 100 10
ξ ( ) 10 5P ξ = = ( ) 1E ξ = ( )D ξ =
1 2 10, , ,x x x i iy x a= + a
1,2, ,10i = 1 2, 10,y y y
1+ ,4a 1 ,4a a+ + 1,4 1,4+a
m n， α β，
m n∥ m nα α⇒⊥ ⊥ α β∥ m α⊂ n m nβ⊂ ⇒ ∥
m n∥ m nα α⇒∥ ∥ α β∥ m n∥ m nα β⇒⊥ ⊥
其中正确命题的序号是（ ）
Ａ．①③ Ｂ．②④ Ｃ．①④ Ｄ．②③
3.某四棱锥的三视图如下左图所示，该四棱锥的表面积是（ ）
A．32 B．16+ C．48 D．
4.如下右图是一个几何体的三视图．若它的体积是 3 3，则 a＝________.
5.如图，正四棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为
（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
考点 16：解析几何
1．直线与直线的位置关系：
若 , ,
① （ 不同时为 0）
② ；
2．直线与圆的位置关系：
直线 与圆 的位置关系有三种:
; ;
3．两圆位置关系：
⑴外离： ；⑵外切： ；⑶相交： ；
⑷内切： ；⑸内含： .
4．椭圆与双曲线（以焦点在 x 轴为例）
（1）椭圆 的焦轴距为 ，长轴为 ，短轴为 ，且 ，
16 2 16 32 2+
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 2AA AB= 1A B 1AD
1
5
2
5
3
5
4
5
1 1 1 1: 0l A x B y C+ + = 2 2 2 2: 0l A x B y C+ + =
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1/ / 0l l A B A B AC A C⇒ − = ≠且 1 2,A A
1 2 1 2 1 2 0l l A A B B⊥ ⇔ + =
0=++ CByAx 222 )()( rbyax =−+−
0<∆⇔⇔> 相离rd 0=∆⇔⇔= 相切rd 0>∆⇔⇔< 相交rd
21OOd =
rRd +> rRd += rRdrR +<<−
rRd −= rRd −<
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 2c 2a 2b 2 2 2a b c= +
1A
1D
1C
1B
D
B
C
A
离心率
（2）双曲线 的焦轴距为 ，实轴为 ，虚轴为 ，且 ，
离心率
5．抛物线（其中 ）
标准方程
开口方向 向右 向左 向上 向下
准线方程
焦点
定义 到定点 与到定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线( )
离心率
备考题目：
1.过点 的直线 与圆 有公共点，则直线 的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.圆心在直线 上的圆 与 轴的正半轴相切，圆 截 轴所得弦的长为 ，则圆 的
标准方程为 .
3.双曲线 C: 的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为 ，则 C 的焦距等于
（ ）
A. 2 B. C.4 D.
4.已知双曲线 的一条渐近线平行于直线 双曲线的一个焦点
在直线 上，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
(0 1)ce ea
= < <
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > 2c 2a 2b 2 2 2c a b= +
( 1)ce ea
= >
0p >
2 2y p x= 2 2y px= − 2 2x py= 2 2x py= −
2
px = −
2
px =
2
py = −
2
py =
, 02
pF
, 02
pF − 0, 2
pF
0, 2
pF −
F l F l∉
1e =
( 3,1)P − l 122 =+ yx l
]60
π，（ ]30
π，（ ]60[
π， ]30[
π，
02 =− yx C y C x 32 C
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 3
2 2 4 2
)0,0(12
2
2
2
>>=− bab
y
a
x ,102: += xyl
l
1205
22
=− yx 1520
22
=− yx 1100
3
25
3 22
=− yx 125
3
100
3 22
=− yx
5. 设 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 是 上 的 点
则 的离心率为 .
6.已知抛物线 的准线过双曲线 的一个焦点, 且双曲线的离心率为 2, 则
该双曲线的方程为 .
考点 17：极坐标与参数方程
，
备考题目：
1.在极坐标系中，圆 的圆心到直线 的距离是___________
2.若点 在曲线 （ 为参数）上，则 的取值范围是 .
3.在极坐标系 中，圆 C 的极坐标方程为 ，则圆心的极坐
标是 .
4.已知在平面直角坐标系 中曲线 的参数方程为 （ 为参数）.若以 x 轴正半
轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
则曲线 被截直线 l 所得弦长
为 .
5.已知直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的极坐标方程为 ，点 是直线
上的一个动点，过点 作曲线 的切线，切点为 ，则 的最小值为 .
考点 18：几何证明选讲
备考题目：
2cosρ θ= cos 2ρ θ =
( , )P x y 2 cos
sin
x
y
θ
θ
= − +
=
θ y
x
( )0 2θ π≤ < 2cos 2 3sinρ θ θ= −
,0)6cos( =+ πθρ
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1 2, ,F F P C 2 1 2 ,PF F F⊥
1 2 30PF F∠ = ° C
2 8y x=
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
2 2 2
t n ( 0)
x y
ya xx
ρ
θ
= + = ≠
( , )ρ θ
xoy C 3 3cos
1 3sin
x
y
θ
θ
= + = +
θ
C
l
24 2
2
2
x t
y t
= −
=
t C 1ρ = P l
P C Q | |PQ
1.如图 1，在 中，D、E 分别在边 AB、AC 上，CD 平分∠ACB，DE∥BC，若 AC=10，AE=4，那
么 BC=___________.
2.如图 2，在 中， ， 于点 ,以 为直径的圆与 交于点 ，若
， ，则 .
图 1 图 2
3.如图 3，已知△ABC 内接于圆 O，点 D 在 OC 的延长线上，AD 是圆 O 的切线，若∠OAC＝60°，AC＝
1，则 AD 的长为 .
4.如图 4，已知 为半圆 的直径， ， 为半圆上一点，过点 作半圆的切 ，过点
作 于 ，交半圆 于点 ， ，则 的长为 .
图 3 图 4
考点 19：新定义问题
备考题目：
1.定义运算 a b= 则函数 f(x)=1 2x 的大致图象是（ ）
2.对于函数 ,若存在常数 ,使得 取定义域内的每一个值，都有 ，则称
为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是（ ）
ABC∆ 90oACB∠ = CE AB⊥ E AE AC D
2 4BE AE= = 3CD = ______AC =
AB O 4AB = C C CD A
AD CD⊥ D O E 1DE = BC
ABC∆
⊕
>
≤
,,
,,
bab
baa ⊕
)(xf 0≠a x )2()( xafxf −=
)(xf
A. B. C. D.
3.已知平面上的线段 l 及点 P，在 l 上任取一点 Q，线段 PQ 长度的最小值称为点 P 到线段 l 的距离，
记作 d（P，l）．设 l 是长为 2 的线段，点集 D={P|d（P，l）≤1}所表示图形的面积为（ ）
A . π B. 2π C. 2+π D. 4+π
4.在集合{a，b，c，d}上定义两种运算 和 如下：
那么 d （ ）
A．a B．b C．c D．d
5. 定义：若函数 的图像经过变换 后所得图像对应函数的值域与 的值域相同，则 称变换
是的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换 ，其中 不属于 的同值变换的是（ ）
A． ， 将函数 的图像关于 轴对称
B． ， 将函数 的图像关于 轴对称
C． ， 将函数 的图像关于点 对称
D． ， 将函数 的图像关于点 对称
)(xf T )(xf T
T T )(xf
2)1()( −= xxf T )(xf y
12)( 1 −= −xxf T )(xf x
32)( += xxf T )(xf ( )1,1−
( ) sin 3f x x
π = + T )(xf ( )1,0−
xxf =)( 2)( xxf = xxf tan)( = )1cos()( += xxf
⊕ ⊗
⊗ ( )a c⊕ =
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