北京高考数学试题理 10页

‎2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）‎ 数学（理工农医类）‎ ‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷 1至2页，第II卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 ‎ ‎ 第I卷（选择题共40分）‎ ‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。‎ ‎ 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。‎ ‎ 一、本大题共8小题．每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎ （1）设全集U=R，集合M={x| x>1，P={x| x2>1}，则下列关系中正确的是 ‎ （A）M＝P （B）PM （C）MP （ D）‎ ‎（2）“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的 ‎ （A）充分必要条件 （B）充分而不必要条件 ‎ （C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎ （3）若，且，则向量与的夹角为 ‎ （A）30° （B）60° （C）120° （D）150°‎ ‎ （4）从原点向圆 x2＋y2－12y＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 ‎ （A）π （B）2π （C）4π （D）6π ‎（5）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是 ‎ （A）sin(α+β)>sinα+sinβ （B）sin(α+β)>cosα+cosβ ‎ （C）cos(α+β)0；④.‎ ‎ 当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 .‎ ‎（14）已知n次多项式,‎ ‎ 如果在一种算法中，计算（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值共需要 次运算．‎ ‎ 下面给出一种减少运算次数的算法：（k＝0， 1，2，…，n－1）．利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的 值共需要 次运算．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（15）（本小题共13分） ‎ ‎ 已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a, ‎ ‎（I）求f(x)的单调递减区间；‎ ‎（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．‎ ‎（16）（本小题共14分）‎ ‎ 如图, 在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝2，AA1＝，AD⊥DC，AC⊥BD, 垂足未E，‎ ‎ （I）求证：BD⊥A1C；‎ ‎ （II）求二面角A 1－BD－C 1的大小；‎ ‎ （III）求异面直线 AD与 BC 1所成角的大小．‎ ‎ ‎ ‎（17）（本小题共13分）‎ ‎ 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率，‎ ‎ （I）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ；‎ ‎ （II）求乙至多击中目标2次的概率；‎ ‎ （III）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．‎ ‎（18）（本小题共14分）‎ ‎ 如图，直线 l1：y＝kx（k>0）与直线l2：y＝－kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2．‎ ‎（I）分别用不等式组表示W1和W2；‎ ‎（II）若区域W中的动点P(x，y)到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；‎ ‎（III）设不过原点O的直线l与（II）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点．求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合．‎ ‎ （19）（本小题共12分）‎ 设数列{an}的首项a1=a≠，且, ‎ 记，n＝＝l，2，3，…·．　‎ ‎（I）求a2，a3；‎ ‎（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；‎ ‎（III）求．‎ ‎（20）（本小题共14分）‎ ‎ 设f(x)是定义在[0, 1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0, 1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．‎ ‎ 对任意的[0，l]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．‎ ‎（I）证明：对任意的x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若f(x1)≤f(x2)，则(x*，1)为含峰区间；‎ ‎（II）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x1，x2∈(0，1)，满足x2－x1≥2r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5＋r；‎ ‎（III）选取x1，x2∈(0, 1)，x1＜x2，由（I）可确定含峰区间为(0，x2)或(x1，1)，在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x2)的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.‎ ‎（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）‎ ‎2005年普通高等学校招生全国统一考试数学 ‎（理工农医类）（北京卷）参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎ （1） C （2）B （3）C （4）B （5）D （6）C （7）A （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎（9） （10）－；－ （11）15 （12）(1, e)；e ‎ ‎（13）②③ （14）n(n＋3)；2n 三、解答题（本大题共6小题，共80分）‎ ‎ （15）（共13分）‎ ‎ 解：（I） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，‎ ‎ 所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．‎ ‎ （II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，‎ ‎ 所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2． ‎ 故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，‎ ‎ 即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．‎ ‎（16）（共14分）‎ ‎（I）在直四棱柱ABCD－AB1C1D1中，‎ ‎∵AA1⊥底面ABCD．∴ AC是A1C在平面ABCD上的射影． ‎ ‎ ∵BD⊥AC．∴ BD⊥A1C；‎ ‎（II）连结A1E，C1E，A1 C1．‎ ‎ 与（I）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，‎ ‎∴ ∠A1EC1为二面角A1－BD－C1的平面角． ∵ AD⊥DC，∴ ∠A1D1C1=∠ADC＝90°，　‎ ‎ 又A1D1=AD＝2，D1C1= DC＝2，AA1=且 AC⊥BD，　‎ ‎ ∴ A1C1＝4，AE＝1，EC＝3，∴ A1E＝2，C1E＝2，‎ ‎ 在△A1EC1中，A1C12＝A1E2＋C1E2， ∴ ∠A1EC1＝90°，‎ ‎ 即二面角A1－BD－C1的大小为90°．‎ ‎（III）过B作 BF//AD交 AC于 F，连结FC1，‎ ‎ 则∠C1BF就是AD与BC1所成的角． ∵ AB＝AD＝2， BD⊥AC，AE＝1， ∴ BF=2，EF＝1，FC＝2，BC＝DC，∴ FC1=，BC1＝，‎ ‎ 在△BFC1 中，,∴ ∠C1BF=‎ ‎ 即异面直线AD与BC1所成角的大小为．‎ ‎（17）（共13分）　‎ 解：（I）P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P P(ξ＝3)＝，‎ ‎ ξ的概率分布如下表：‎ ‎ ‎ ‎ Eξ＝, （或Eξ=3·=1.5）；‎ ‎ （II）乙至多击中目标2次的概率为1－=；‎ ‎ （III）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B2，则A＝B1＋B2，‎ ‎ B1，B2为互斥事件．‎ ‎ 所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为.‎ ‎（18）（共14分）‎ 解：（I）W1={(x, y)| kx0}，‎ ‎ （II）直线l1：kx－y＝0，直线l2：kx＋y＝0，由题意得 ‎ , 即，‎ ‎ 由P(x, y)∈W，知k2x2－y2>0，‎ ‎ 所以 ，即,‎ ‎ 所以动点P的轨迹C的方程为；‎ ‎ （III）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x＝a（a≠0）．由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为（a，0），即它们的重心重合，‎ ‎ 当直线l1与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠0）．‎ ‎ 由，得 ‎ 由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k2－m2≠0且 ‎△=>0‎ 设M1，M2的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，‎ 则, , ‎ 设M3，M4的坐标分别为(x3, y3)，(x4, y4)， ‎ 由得 从而，‎ 所以y3+y4=m(x3+x4)+2n＝m(x1+x2)+2n＝y1+y2,‎ ‎ 于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合．　‎ ‎（19）（共12分）‎ 解：（I）a2＝a1+=a+，a3=a2=a+；‎ ‎（II）∵ a4=a3+=a+, 所以a5=a4=a+,‎ 所以b1=a1－=a－, b2=a3－=(a－), b3=a5－=(a－),‎ 猜想：{bn}是公比为的等比数列·‎ ‎ 证明如下：‎ ‎ 因为bn+1＝a2n+1－=a2n－=(a2n－1－)=bn, (n∈N*)‎ ‎ 所以{bn}是首项为a－, 公比为的等比数列·‎ ‎ （III）.‎ ‎（20）（共14分）‎ ‎（I）证明：设x*为f(x) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*, 1]上单调递减．‎ ‎ 当f(x1)≥f(x2)时，假设x*(0, x2)，则x1f(x1)，‎ ‎ 这与f(x1)≥f(x2)矛盾，所以x*∈(0, x2)，即(0, x2)是含峰区间.‎ ‎ 当f(x1)≤f(x2)时，假设x*( x2, 1)，则x*<≤x1f(x2)，‎ ‎ 这与f(x1)≤f(x2)矛盾，所以x*∈(x1, 1)，即(x1, 1)是含峰区间.　‎ ‎（II）证明：由（I）的结论可知：　‎ ‎ 当f(x1)≥f(x2)时，含峰区间的长度为l1＝x2；‎ ‎ 当f(x1)≤f(x2)时，含峰区间的长度为l2=1－x1；‎ ‎ 对于上述两种情况，由题意得 ‎ ①‎ ‎ 由①得 1＋x2－x1≤1+2r，即x1－x1≤2r.‎ ‎ 又因为x2－x1≥2r，所以x2－x1=2r, ②‎ ‎ 将②代入①得 ‎ x1≤0.5－r, x2≥0.5－r， ③‎ ‎ 由①和③解得 x1＝0.5－r， x2＝0.5＋r．‎ ‎ 所以这时含峰区间的长度l1＝l1＝0.5＋r，即存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r．‎ ‎（III）解：对先选择的x1；x2，x1x3时，含峰区间的长度为x1．‎ ‎ 由条件x1－x3≥0.02，得x1－(1－2x1)≥0.02，从而x1≥0.34．‎ ‎ 因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取 x1＝0.34，x2＝0.66，x3=0.32．‎